高三文科数学一轮复习不等式6-2_图文

第2讲 一元二次不等式及其解法

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【2013年高考会这样考】 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问 题. 2.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题. 【复习指导】 1.不等式解法是不等式中的重要内容,它的应用范围几乎涉 及到高中数学的所有章节,且常考常新,“三个二次”之间的 联系的综合应用等问题是高考的热点. 2.由于本节内容涉及的计算较多,因此学习时应注意运算能 力的训练.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

基础梳理 1.一元二次不等式的定义 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中 a≠0),叫作一元二次不等式.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不 等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解 集.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表:
判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2 2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实 根x1,x2(x1 <x2)
考基自主导学

有两相等实根 b x1=x2=-2a

没有实数 根

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

续表
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} {x|x>x2或x<x1}
? b? ? ? ?x|x≠- ? 2a? ? ? ?

R

?

?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

一个技巧 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a的符 号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次 方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等 式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a>0)的形 式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,(x1< x2)(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于取两边,小于夹中 间”求解集.
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解 集;不要忘了二次项系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分 类讨论,分类要不重不漏.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)不等式x2-3x+2<0的解集为 ( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析 B.(-2,-1) D.(1,2) ).

∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.

故原不等式的解集为(1,2). 答案 D

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

2.(2011· 广东)不等式2x2-x-1>0的解集是(
? 1 ? A.?-2,1? ? ?

).

B.(1,+∞)
? 1? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析

∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,

1 ∴x>1或x<-2.
? 1? 故原不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ?

答案

D
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是(
? ? ? 1 ?x?x≠- A. 3 ? ? ? ? ? 1 ? C.?x?-3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?- ? B. 3 ? ? ? ?

).

? 1? ≤x≤3? ? ?

D.R

解析 ∴9x
2

∵9x2+6x+1=(3x+1)2≥0,
? 1? ? ? +6x+1≤0的解集为?x|x=-3?. ? ? ? ?

答案

B

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

4.(2012· 许昌模拟)若不等式ax2+bx-2<0的解集为
? ? ? 1 ?x?-2<x< 4 ? ? ? ? ? ?,则ab=( ? ?

).

A.-28 B.-26 C.28 D.26 解析 ∵x=-2, 1 4 是方程ax2+bx-2=0的两根,∴

?-2 1 1 ? a =?-2?×4=-2, ? ?-b=-7, 4 ? a ∴a=4,b=7.∴ab=28. 答案 C
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

5.不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值 范围为________. 解析 当a=0时,不等式为1≥0恒成立;
?a>0, ? 当a≠0时,须? ?Δ≤0, ? ?a>0, ? 即? 2 ?4a -4a≤0. ?

∴0<a≤1,综上0≤a≤1. 答案 [0,1]

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

考向一 一元二次不等式的解法
?x2+2x,x≥0, ? 【例1】?已知函数f(x)=? 2 ?-x +2x,x<0, ?

解不等式f(x)>3.

[审题视点] 不等式组. 解

对x分x≥0、x<0进行讨论从而把f(x)>3变成两个

?x≥0, ? 由题意知? 2 ?x +2x>3 ?

?x<0, ? 或? 2 ?-x +2x>3, ?

解得:x>1.

故原不等式的解集为{x|x>1}.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练



解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式;(2)确定 判别式Δ的符号;(3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程 的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)结合二次函数的 图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的 二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练1】 函数f(x)= 2x2+x-3 +log3(3+2x-x2)的定义域为 ________. 解析
?2x2+x-3≥0, ? 依题意知? ?3+2x-x2>0, ?

3 ? ?x≤- 或x≥1, 2 解得? ?-1<x<3. ? ∴1≤x<3. 故函数f(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3)
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

考向二

含参数的一元二次不等式的解法

【例2】?求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. [审题视点] 先求方程12x2-ax=a2的根,讨论根的大小,确定 不等式的解集. 解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=-4,x2=3.
? a a? a a ? ? ?x|x<- 或x> ?; ①a>0时,-4<3,解集为 4 3? ? ? ?

②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

? a a? a a ? ? ?x|x< 或x>- ?. ③a<0时,-4>3,解集为 3 4? ? ? ? ? a a? ? ? ?x|x<- 或x> ?; 综上所述:当a>0时,不等式的解集为 4 3? ? ? ?

当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
? a a? ? ? ?x|x< 或x>- ?. 当a<0时,不等式的解集为 3 4? ? ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然 后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨 论两根的大小关系,从而确定解集形式.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练2】 解关于x的不等式(1-ax)2<1. 解 由(1-ax)2<1,得a2x2-2ax<0,即ax(ax-2)<0, 当a=0时,x∈?. 当a>0时,由ax(ax-2)<0,得a 2 即0<x<a. 2 当a<0时,a<x<0. 综上所述:当a=0时,不等式解集为空集;当a>0时,不等式
? ? ? 2 ?x?0<x< 解集为 a ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?;当a<0时,不等式解集为?x? ? ? ?a ? ?
考基自主导学 考向探究导析

2

? 2? x?x-a?<0, ? ?

? ? <x<0?. ? ?
活页限时训练

考题专项突破

考向三

不等式恒成立问题

【例3】?已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立, 求实数a的取值范围. [审题视点] 化为标准形式ax2+bx+c>0后分a=0与a≠0讨

?a>0, ? 论.当a≠0时,有? ?Δ=b2-4ac<0. ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0对一切实数恒成 立,显然a=-2时,解集不是R,因此a≠-2,
?a+2>0, ? 从而有? ?Δ=42-4?a+2??a-1?<0, ? ?a>-2, ? 整理,得? ??a-2??a+3?>0, ? ?a>-2, ? 所以? ?a<-3或a>2, ?

所以a>2. 故a的取值范围是(2,+∞).

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a =0时,b=0,c>0;当a≠0时,
?a>0, ? ? ?Δ<0; ?

不等式ax2+bx+c

<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c<
?a<0, ? 0;当a≠0时,? ?Δ<0. ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【训练3】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞) 时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为

x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立, 只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

法二 令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0, ? 2 即Δ=4a -4(2-a)≤0或?a<-1, ?g?-1?≥0. ? 解得-3≤a≤1. 所求a的取值范围是[-3,1].

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

规范解答11——怎样求解含参数不等式的恒成立问题 【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题 者的青睐,且由于新课标对导数应用的加强,这些不等式恒成 立问题往往与导数问题交织在一起,在近年的高考试题中不难 看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题, 破解的方法主要有:分离参数法和函数性质法. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价 转化,使之转化为函数的最值问题.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【示例】?(本题满分12分)(2011· 浙江)设函数f(x)=a2ln x-x2+ ax,a>0. (1)求f(x)的单调区间; (2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. 注 e为自然对数的底数.

第(1)问求f′(x),令f′(x)>0或f′(x)<0可求单调区间;第(2) 问只需fmin≥e-1且f(x)max≤e2即可.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

[解答示范] (1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,(2分) ?x-a??2x+a? a2 所以f′(x)= x -2x+a=- .(4分) x 由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a), 减区间为(a,+∞).(6分) (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.(8分) 由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增, 要使e-1≤f(x)≤e2,对x∈[1,e]恒成立,
?f?1?=a-1≥e-1, ? 只要? ?f?e?=a2-e2+ae≤e2, ?

(10分)

解得a=e.(12分)
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

对于含参不等式的恒成立问题,我们不是直接去解它,而是 通过变量分离,将其转化为最值问题后,得到所求变量的不等 式(组),再解得范围,或者转化为函数问题,用函数知识得到 所求变量的不等式(组),求出范围.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

【试一试】 设函数f(x)=ax3-3x+1,若对于任意x∈[-1,1], 都有f(x)≥0成立,求实数a的值. [尝试解答] (1)若x=0,则不论a取何值,f(x)=1>0恒成立.
3

3 (2)若x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax -3x+1≥0可化为a≥ x2 - 3?1-2x? 1 3 1 .设g(x)= 2- 3,则g′(x)= , x3 x x x4
? ?1 ? 1? ∴g(x)在区间 ?0,2? 上单调递增,在区间 ?2,1? 上单调递减.∴ ? ? ? ? ?1? g(x)max=g?2?=4,从而a≥4. ? ?

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

3 (3)若x<0,即x∈[-1,0)时,f(x)=ax -3x+1≥0可化为a≤ 2 x
3

1 - 3. x 3?1-2x? 3 1 设h(x)=x2-x3,则h′(x)= x4 , ∴h(x)在[-1,0)上单调递增. ∴h(x)min=h(-1)=4,从而a≤4. 综上所述,实数a的值为4.

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练

单击此处进入

活页限时训练

考基自主导学

考向探究导析

考题专项突破

活页限时训练


相关文档

高三数学文科一轮复习课件6.2一元二次不等式及其解法
高考数学(文科)一轮复习配套课件:第6章不等式 2
高三数学湘教版文科一轮复习课件6.2一元二次不等式及其解法
2019高三一轮总复习文科数学课件:6-2一元二次不等式及其解法
金版教程高三数学文科一轮复习课件6.2一元二次不等式及其解法
高三数学(文科)高考一轮总复习课时跟踪检测6-2一元二次不等式及其解法含解析
2013届高考文科数学一轮复习考案6.2 简单不等式的解法
2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件:6.2均值不等式
(北师大版)高三数学文科一轮复习: 第6章 第2节 基本不等式学案
(北师大版)高三数学文科一轮复习: 第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式学案
电脑版