北师大版数学必修一《集合》复习课件(1)_图文

章末复习课 知识概览 对点讲练 知识点一 数形结合思想的应用 数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观 的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对 图形的认识,数形结合的转化,可以培养思维的灵活性、 形象性,使问题化难为易,化抽象为具体.通过“形” 往往可以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用的 方法是数轴法和 Venn 图法. 例1 已知集合 A={x|x<-1 或 x≥1}, B={x|2a<x<a+1, a<1},B?A,求实数 a 的取值范围. 解 ∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠?. 画出数轴分析,如图所示. 由图知,要使 B?A,需 2a≥1 或 a+1≤-1, 1 即 a≥ 或 a≤-2. 2 1 又∵a<1,∴实数 a 的取值范围是 a≤-2 或 ≤a<1. 2 规律方法 解此类题一定要看是否包括端点临界值. 集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助 Venn 图、 数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象 化、明朗化,从而使问题获解. 变式迁移 1 已知全集 U={x|x2<50,x∈N},L∩(?UM)= {1,6},M∩(?UL)={2,3},?U(M∪L)={0,5},求集合 M 和 L. 解 第一步:求得全集U={x|x2<50,x∈N} ={0,1,2,3,4,5,6,7}; 第二步:将L∩(?UM)={1,6},M∩(?UL)={2,3}, ?U(M∪L)={0,5}中的元素在Venn图中依次定位; 第三步:将元素4,7定位; 第四步:根据图中的元素位置,得集合M= {2,3,4,7},集合L={1,4,6,7}. 知识点二 分类讨论思想的应用 分类讨论的思想是中学数学中重要的思想方法之 一,它是根据研究对象本质属性的不同,将研究对象分 成若干类,然后就每一类分别研究得出每一类的结论, 需特别注意分类时的不重不漏性. 例 2 已知集合 P={x|x2-1=0},Q={x|ax=1},若 Q? P,求实数 a. 分析 解题时需对集合 P 的子集 Q 中的元素个数进行 讨论, 集合 P 中有两个元素, 所以集合 Q 中的元素有 0 个(空集)、1 个、2 个三种情况,得到对应的集合 Q 有 四种情况. 解 由题意得 P={-1,1},再由 Q?P 得: Q=?或 Q={1}或 Q={-1}或 Q={-1,1}. ①当 Q=?时,得 a=0; ②当 Q={1}时,得 a×1=1,即 a=1; ③当 Q={-1}时,得 a×(-1)=1,即 a=-1; ④当 Q={-1,1}时, 由于 a 不为 0 时, ax=1 为一次方程, 不可能有两解,此时 a 不存在,综上可知 a=-1,0,1. 规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法.如 B;(2)A=B.而对于(1)A B A?B即可分两类:(1)A 又可分两类:①A≠?;②A=?.从而使问题得到解 决.需注意A=?这种情况易被遗漏.解决含待定系数 的集合问题时,常常会引起讨论,因而要注意检验是 否符合全部条件,合理取舍,谨防增解. 变式迁移 2 设集合 A={x|x2+4x=0},集合 B={x|x2+ 2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 B?A,求实数 a 的取 值范围. 解 (1)若 0∈B,则 a=± 1, 当 a=1 时,B={x|x2+4x=0}=A; 当 a=-1 时,B={0}?A. (2)若-4∈B,则 a=7 或 a=1, 当 a=7 时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4}?A; 当 a=1 时,满足题意. (3)若 B=?,则满足 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无解, 应有 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. 综上所述,a 的范围为 a≤-1 或 a=1. 知识点三 等价转化思想的运用 在解答数学问题时,常常会遇到一些直接求解比较 复杂的问题,此时常常把待求问题通过某种方式转化成 与其等价的问题进行求解,如在本章中集合关系 A∩B= A?A?B;A∩B=A∪B?A=B 等. 例3 已知 A={x|x2+3x-4=0},B={x|x2+(a+1)x-a -2=0},且 A∪B=A,求实数 a 的值和集合 B. 解 ∵A∪B=A,∴B?A, 而 A={x|(x+4)(x-1)=0}={1,-4}, B={x|(x+a+2)(x-1)=0}, ①当 B 中只有一个元素时,则-a-2=1, 即 a=-3,此时 B={1}. ②当 B 中有两个元素时,-a-2=-4, 即 a=2,此时 B={1,-4}. 综上可知,a=-3 时,B={1}; a=2 时,B={1,-4}. 规律方法 在解决一个问题时,若从问题的正面入手 较麻烦或不易入手时,可转化成其等价的熟悉问题求 解, 也可从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系, 即“正难则反”的解题策略. 变式迁移 3 已知集合 A={x∈R|4≤x<5},B={x∈R|k- 1≤x<2k-1},若 A∩B≠A,求实数 k 的取值范围. 解 从 A∩B≠A 的反面考虑,运用补集思想求解. 若 A∩B=A,则 A?B,又 A≠?, ? ? ?k-1≤4 ?k≤5 则? ,得? ,即 3≤k≤5, ? ? ?2k-1≥5 ?k≥3 又 k∈R,所以当 A∩B≠A 时, 实数 k 的取值范围为集合 {k|3≤k≤5}的补集,即{k|k<3,或 k>5}. 课时作业 一、选择题 1.已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6},则集合{2,7,8}是 A.M∪N C.(?IM)∪(?IN) B . M∩ N D.(?IM)∩(?IN) ( D ) 解析 ∵(?IM)∩(?IN)=?I(M∪N), 而{2,7,8}=?I(M∪N). 2.已知集合M={(x,y)|x+y=2

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