高中数学第三章函数的应用3.1_3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教版

第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的 零点 [学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与 方程根的关系(重点). 2.会求函数的零点 (重点). 3. 掌握函数零点存在的条件,并会判断函数零点的个数(重 点、难点). [知识提炼· 梳理] 1.函数的零点 函数 y=f(x)的零点的定义:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫作函数 y=f(x)的零点. 温馨提示 函数的“零点”不是一个点,而是一个 数,实际上是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴的交点 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就 是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标, 即方程 f(x) =0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y =f(x)有零点. 3.函数零点的存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 温 馨提 示 (1) 函 数 y = f(x) 在 (a , b) 内 有零 点 , f(a)· f(b)<0 不一定成立; (2)函数 y=f(x)满足 f(a)· f(b)>0,函数 y=f(x)也可能 有零点. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 二 次 函 数 的 图 象 通 过 零 点 时 , 函 数 值 一 定 变 号.( ) (2)若函数 y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x) 在(a,b)内有唯一零点.( ) (3)已知函数 f(x)=2x,则函数 y=f(x)-5 有一个零 点.( ) 解析:(1)错,如二次函数 f(x)=(x-1)2 的零点为 x= 1,但 x=1 左右的函数值符号不变. (2)错,如 f(x)=x3-x 在区间[-2,2]上有 f(2)· f(- 2)<0,但 f(x)在(-2,2)内有三个零点-1,0,1. (3)对,因为 2x-5=0 有唯一解. 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.下列函数没有零点的是( A.f(x)=0 C.f(x)=x -2 2 ) B.f(x)=3 1 D.f(x)=x-x 解析: 函数 f(x)=3 不能满足 f(x)=0, 因此没有零点; 函数 f(x)=0 有无数个零点; 函数 f(x)=x2-2 有两个零点, 1 为± 2;函数 f(x)=x- 有两个零点,为±1. x 答案:B 3.方程 x3-x-1=0 在[1,1.5]内的实数解( A.有 3 个 C.至少有 1 个 B.有 2 个 D.有 0 个 ) 解析:令 f(x)=x3-x-1,则 f(1)=-1<0,f(1.5)= 1.53-1.5-1=1.53-2.5>0. 答案:C 3 4.函数 f(x)= x+6 的零点是________. 4 3 3 解析:由 x+6=0 得 x=-8,即函数 f(x)= x+6 4 4 的零点是-8. 答案:-8 5.函数 f(x)=x3-3x2+2x 的零点个数为________. 解析:由 x3-3x2+2x=0 得 x(x-1)(x-2)=0, 得 x=0 或 x=1 或 x=2.故函数 f(x)有 3 个零点. 答案:3 类型 1 求函数的零点(自主研析) [典例 1] (1)f(x)=x2-3x+2 的零点是________; (2)f(x)=x4-1 的零点是___________; (3)若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3, 则a =______,b=________. 解析:(1)令 f(x)=0,即(x-1)(x-2)=0, 所以零点为 1 和 2. (2)由 x4-1=0,得(x2+1)(x-1)(x+1)=0, 所以 x=±1,所以函数 f(x)=x4-1 的零点是 1 和- 1. (3)由于函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3, 所以 2 和 3 是方程 x2-ax-b=0 的两个根, 所以 2+3=-(-a),2×3=-b,所以 a=5,b=- 6. 答案:(1)1 和 2 (2)1 和-1 (3)5 -6 归纳升华 1.代数法:函数零点就是相应方程的实数根,可解 相应方程求函数的零点. 2.几何法:作出函数 y=f(x)的图象,确定图象与 x 轴的交点的横坐标,求函数的零点. [变式训练] 若 f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点 3,则 函数 g(x)=bx2+3ax 的零点是________. 解析:因为 f(x)=ax-b 的零点是 3, 所以 f(3)=0,即 3a-b=0,也就是 b=3a. 所以 g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).所以方程 g(x)=0 的两个根为-1 和 0,即函数 g(x)的零点为-1 和 0. 答案:-1 和 0 类型 2 探求零点所在区间 [典例 2] (1)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个 区间是( ) B.(-1,0) D.(1,2) ) A.(-2,-1) C.(0,1) (2)在区间(3,5)上一定有零点的函数是( A.f(x)=2xln (x-2)-3 C.f(x)=2 -4 x B.f(x)=-x3-3x+5 1 D.f(x)=- +2 x 解析:(1)因为函数 f(x)的图象是连续不断的一条曲 线,又 f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0, f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以

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