2019年高考数学一轮总复习专题18任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式课件理_图文

第四章 三角函数、平面向量与复数 1.三角函数 2.平面向量 3.复数 第18讲 任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式 【学习目标】 1.了解任意角的概念,弧度制的概念,能进行弧度 与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.掌握同角三角函数的基本公式并能灵活运用. 4.掌握正弦、余弦的诱导公式,并能灵活运用. 【基础检测】 1.若α是第四象限的角,则下列函数值一定是负 值的是( ) C α α A.sin B.cos 2 2 α C.tan D.cos 2α 2 3π 【解析】∵2kπ+ <α<2kπ+2π,k∈Z, 2 3π α α ∴kπ+ < <kπ+π,k∈Z,∴ 在第二或第四象 4 2 2 α 限,tan <0一定成立. 2 5 2.已知△ABC中,tan A=- ,则cos A=( 12 12 5 5 12 A. B. C.- D.- 13 13 13 13 D ) 5 【解析】在△ABC中,由tan A=- <0知,∠A 12 2 2 sin A + cos A 2 为钝角,所以cos A<0,1+tan A= = cos2A 1 169 12 = ,所以cos A=- ,故选D. cos2A 144 13 3.已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB 为 120°,半径 长为 6,则弓形 AOB 的面积是 12π -9 3 . 120 2 2 【解析】∵120°= π= π,∴l=6× π= 180 3 3 1 4π,∵S扇形OAB= ×4π×6=12π,S△OAB= 2 1 1 · OA· OB· sin 120°= ×6×6×sin 120°=9 3, 2 2 ∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9 3, ∴弓形AOB的面积为12π-9 3. sin2(α+π )· cos(π +α)· cos(-α-2π ) 4.化简 ? ? ? 3?π tan(π +α)· sin ? +α?· sin (-α-2π ) 2 ? ? 1 =____. sin2α·(-cos α)· cos α 【解析】原式= tan α·cos3α·(-sin α) sin2αcos2α = 2 =1. sin αcos2α 【知识要点】 1.角的概念 (1)角的概念的推广 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按顺时针方向 旋转而成的角叫做负角;当一条射线没有作任何旋转时而 成的角叫做零角. (2)象限角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴正半轴重 合, 角的终边落在第几象限, 就把这个角称作第几象限角. 角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于 任何象限. (3)终边相同的角 所有与 α 角终边相同的角,连同 α 角在内(而且只 有这样的角), 可以用式子 k· 360° + α, k∈Z 或 2kπ+α, k∈Z 表示. 2.弧度制 (1)概念:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角,它的单位符号是 rad,记作弧度. (2)扇形的弧长与面积公式:半径为 r,中心角为 1 1 α(rad)的扇形的弧长为 l=|α|r;面积为 S= lr= |α |r2. 2 2 (3)角度制与弧度制的关系 ?180? π 1° = 弧度,1 弧度=? π ?° . 180 ? ? 3.任意角的三角函数 y x y x MP OM AT (2)三角函数的定义域、值域 R y=sin α ,y=cos α 的定义域是______________ , [-1,1] 值域是______________ . y=tan α 的定义域是 ? ? ? ? ? π ? ?α α ∈R且α≠kπ + ,k∈Z? ? R ? ___________________________ ?, 2 值域是_____________ . ? ? ? 4.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:____________________ . sin α tan α = (2)商数关系:_____________________ . cos α 一、任意角的三角函数、象限符号及三角函数线 例1(1)用单位圆证明角 α 的正弦绝 对值与余弦绝对值之和不小于 1,即 已知 0≤α<2π , 求证: |sin α |+|cos α |≥1. (2)如图,A,B 是单位圆 O 上的 点, 且 B 在第二象限.C 是圆与 x 轴正 ?3 4? 半轴的交点,A 点的坐标为?5,5?,△AOB 为正三角 ? ? 形. ①求 sin∠COA; ②求 cos∠COB. 【解析】(1)作平面直角坐标系 xOy 和单位圆. ①当角 α 的终边落在坐标轴上时,不妨设为 Ox 轴,设它交单位圆于 A 点,如图 1,显然 sin α=0, cos α=OA=1,所以|sin α|+|cos α|=1. ②当角 α 的终边不在坐标轴上时,不妨设为 OP, 设它交单位圆于 A 点, 过 A 作 AB⊥x 轴于 B, 如图 2, 则 sin α=BA,cos α=OB. 在△OAB 中,|BA|+|OB|>|OA|=1, 所以|sin α|+|cos α|>1. 综上所述,|sin α|+|cos α|≥1. ?3 4? (2)①因为 A 点的坐标为?5,5?, ? ? 4 根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 ②因为△AOB 为正三角形,所以∠AOB=60°, 4 3 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 所以 cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos 60°-sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = × - × = . 5 2 5 2 10 【点评】三角函数线是任意角的三角函数的几何 表示,利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三

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