高考数学一轮复习配套讲义:第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲 [最新考纲] 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 知 识 梳 理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac 内容 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; 解决的问题 a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 两角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 , sin A > sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A > B. (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . (√) 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. (√) (√) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形. (√) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. (×) [感悟· 提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦(余 弦)定理实施边、角转换. 学生用书?第 63 页 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 ( π C.6 ). π D.12 (2)(· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c =4 2,B=45° ,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = =5. 5 4 答案 (1)A (2)5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一 边的对角, 该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角 定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60° (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= ( ). A.30° B.60° C . 120° D.150° 2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, ∴cos A= b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 = = = , 2bc 2bc 2bc 2 又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B=

相关文档

[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义第3篇第6讲正弦定理和余弦定理
高考数学:一轮复习配套讲义:第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理
2021年江苏高考数学一轮复习讲义 第4章 第6节 正弦定理、余弦定理
2020高考数学一轮复习:第四章三角函数、解三角形 第6讲正弦定理和余弦定理(讲义)
2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第3章 三角函数解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理
第六节 正弦定理和余弦定理 高考数学(文科)总复习精品专题讲义
【名师推荐资料】新2020届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
2021版江苏高考数学一轮复习讲义:第4章 第6节 正弦定理、余弦定理
电脑版