高中数学 第二章 变化率与导数 2.3 计算导数课件3 北师大版选修22_图文

复习回顾
* 导数的定义:

函数 y ? f (x)在 x0 处的导数 f ?(x0 ):

f

?( x0

)

?

lim
x1 ? x0

f (x1 ) ? f (x0 ) x1 ? x0

? lim ?x?0

f (x0 ? ?x) ? ?x

f (x0 )

* 导数的几何意义:

函数 y ? f (x)在 x0 处的导数,即是曲线 y ? f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线斜率。

新课讲解
例1 一个运动物体走过的路程 s (m)是时间 t (s)的

函数 s ? f (t) ? 2t 2,求 f ?(5),并解释其实际意义。 解: 对于t = 5时自变量的增量 ?t ,函数值的改变 量 ?s为: ?s ? f (5 ? ?t) ? f (5)
? 2(5 ? ?t)2 ? 2? 52

? 2(10?t ? ?t 2 )

平均变化率为: ?s ? 2(10?t ? ?t 2 ) ? 2(10 ? ?t)

?t

?t

?t ? 0 时,f ?(5) ? lim 2(10 ? ?t) ? 20 ?t ?0

* 导数是瞬时变化率 * 表示何意义?

∴ f ?(5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。

例2 求函数 f (x) ? 2 ? x 在下列各点的导数: x
(1) x ? 1 ;(2) x ? ?2 ;(3) x ? x0
根据求导数的步骤,请在练 习本上试写出你的解答过程~~

解:(1)对 x = 1 时 x 的改变量 ?x,可得:

?y ? f (1 ? ?x) ? f (1)

? 2 ? (1 ? ?x) ? 3 ? ?x2 ? ?x

1 ? ?x

1 ? ?x

先求??

平均变化率为: ?x2 ? ?x

?y ? 1 ? ?x ? ?x ? 1 ?x ?x 1 ? ?x

? 1 ? ?x ? 2 ? 1 ? 2

1 ? ?x

1 ? ?x

∴ f ?(1) ? lim(1 ? 2 ) ? ?1 ?x?0 1 ? ?x

再求??
x ? ?2 和 x ? x0
时的导数? 试着做下~

(2)函数值的增量:?y ? f (?2 ? ?x) ? f (?2) ? ?x ? ?x

平均变化率:?y

?

?

?x 2 ? ?x

?

?x

?

1

? 2 ? ?x
?1

?x

?x

? 2 ? ?x



f

?(?2)

?

lim( 1 ?x?0 ? 2 ? ?x

? 1) ?

?1 2

?1?

1 2

(3)函数值的增量:

?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0

平均变化率:

?y ?x

?

?

x02

2 ? x0

) ??
?1 ?x

x02

2?x ? x0?x

?

?x



f

?( x0 )

?

lim (?
?x?0

x02

2 ? x0?x

? 1)

?

?

2 x02

?1

概括

对于 y ? f (x) ,在定义域内任何一点 x0 ,

导数值

f

?(

x0

)

?

?

2 x02

?1

对应

每一个 x 值
函数值 f (x0 )

f ?(x) ? ?

2 x2

?1是 x

的函数,称之为

f (x) ?

2?x x

的导函数。

导函数定义:

一般地,若函数 f (x)在区间 (a , b)上的每一点 x

处,都有导数 f ?(x):

f ?(x) ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0

?x

f ?(x)是x 的函数,称之为 f (x) 的导函数,也简称导
数。

给出一些函数,求它们的导数时,是否总要一次 次的去求增量变化率的极限呢??
对于简单函数来说,计算增量还比较方便,但是 如果函数比较复杂,如指数、对数函数,要求增量, 就不那么容易了,为了解决可能遇到的导数计算问题, 我们给出学过的基本初等函数的导数计算公式。

为了方便,今后我们可以直接使用下面的基本初 等函数的导数公式,计算时可以直接查表:

函数
y?c
C是常数
y ??x
? ? 0,? ? 1
y ? log? x
? ? 0,? ? 1

导数

y? ? 0

y? ? ? x ln?
特别地,
(ex )? ? ex

y? ? 1

x ln a

特别地,
(ln x)? ?

1

x

函数 y ? x? y ? sin x y ? cos x
y ? tan x
y ? cot x

导数

y? ? ?x? ?1

y? ? cos x

y? ? ?sinx

y?

?

1 cos2 x

y?

?

?

1 sin 2

x

1. 求 f (x) ? 3x2 ? x 的导函数 f ?(x),并利用导函 数 f ?(x) 求 f ?(1) ,f ?(?2) ,f ?(0) 。

f ?(x) ? 6x ?1 f ?(1) ? 5 f ?(2) ? ?13

f ?(0) ? ?1

2. 试求函数 f (x) ? x 的导函数 f ?(x) 和f ?(25)。

f ?(x) ? 1 2x

f ?(25) ? 1 10

3. 试求函数 y ? x3 ? x ? 1的导函数 f ?(x)和曲线在

点 (1,3)处的切线方程。

4x ? y ?1 ? 0

f ?(x) ? 3x2 ? 1

* 导函数定义:

一般地,若函数 f (x)在区间 (a , b)上的每一点 x
处,都有导数 f ?(x):

f ?(x) ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0

?x

f ?(x)是x 的函数,称之为 f (x) 的导函数,也简称导
数。


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