北京市丰台区2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

丰台区 2016—2017 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)2017.01 第一部分 (选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.已知集合 A ? {x ? Z ( x ? 2)( x ? 1) ? 0} , B ? {?2, ?1} ,那么 A U B 等于 (A)

{?1}

(B)

{?2, ? 1}

(C)

{?2, ? 1, 0}

(D)

{?2, ? 1,, 0 1}

2.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式一定成立的是 (A)

a?b

(B)

1 1 ? a b

(C)

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2

(D)

ln a ? ln b

3 .如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2AD ? 4 , MN ? 2 PQ ? 2 ,向该矩形内随机投一质点,则 质点落在 四边形 MNQP 内的概率为 (A) (C)
D P Q C

1 3 2 3

(B) (D)

3 8 3 4

A

M

N B

4.已知直线 m , n 和平面 ? ,如果 n ? ? ,那么“ m ? n ”是“ m ? ? ”的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

1) , b = (1,y ) , c = (2,- 4) ,如果 b‖ c ,且 a ^ (b - c) ,那么实数 5.平面向量 a ? ( x,

x, y
的值分别是 (A)

2 ,- 2

(B)

- 2 ,- 2

(C)

1 ,2 2

(D)

1 1 , 2 2

6.在△ ABC 中, ?C ? (A)

? , AB ? 2 , AC ? 6 ,则 cos B 的值为 4
(B)

1 2

?

3 2

(C)

1 3 或? 2 2

(D)

1 1 或? 2 2

7. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》 、 《茶馆》 、 《天籁》和《马蹄声碎》四部话

-1-

剧,每天一部.受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演; 《茶馆》不能在周 一和周三上演; 《天籁》不能在周三和周四上演; 《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么 下列说法正确的是 (A) 《雷雨》只能在周二上演 (B) 《茶馆》可能在周二或周四上演 (C) (D) 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 四部话剧都有可能在周二上演

8. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? sin x .给出下列命题: ①当 a ? 0 时, ?x ? (0,e) ,都有 f ( x) ? 0 ; ②当 a ? e 时, ?x ? (0,+?) ,都有 f ( x) ? 0 ; ③当 a ? 1 时, ?x0 ? (2,+?) ,使得 f ( x0 )=0 . 其中真命题的个数是 (A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 设 i 是虚数单位,则复数 2 =
1? i



10. 设双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 C 上,如果 a2 16


| PF1 | ? | PF2 |? 10 ,那么该双曲线的渐近线方程为

11.若 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0,则 z = 2 x ? y 的最大值为____.
? y ? 0, ?

? x + y ? 2 ? 0, ?

12.已知过点 P(1,0) 的直线 l 交圆 O : x2 ? y 2 ? 1 于 A , B 两点, | AB |? 2 ,则直线 l 的方程 为____. 13. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十

-2-

四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长 则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录, 其中115.1 寸表示 115 寸1 分(1 寸=10 分). 节气 冬 至 小寒 (大 雪) 大寒 (小 雪) 立春 (立 冬) 雨水 (霜 降) 惊蛰 (寒 露) 春 分 (秋 分) 晷 影 长 (寸) 已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸,夏至晷影长为 14.8 寸,那么《易经》中 所记录的惊蛰的晷影长应为____寸. 14.如图,边长为 2 的正三角形 ABC 放置在平面直角坐标系 xOy 中,AC 在 x 轴上,顶点 B 与
135.0

4 6

4 6

清明 (白 露)

谷雨 (处 暑)

立夏 (立 秋)

小满 (大 暑)

芒种 (小 暑)

夏 至

125.

5 6

115.1

4 6

105.2

3 6

95.3

2 6

85.4

2 6

75.5

66.5

5 6

55.6

4 6

45.7

3 6

35.8

2 6

25.9

1 6

16.0

y 轴上的定点 P 重合.将正三角形 ABC 沿 x 轴正方向滚动,即先以顶点 C 为旋转中心顺时
针旋转, 当顶点 B 落在 x 轴上时, 再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转, 如此继续. 当△ABC 滚动到△ A1B1C1 时,顶点 B 运动轨迹的长度为 大值为____.
y P (B) B1

uu u r uu u r ;在滚动过程中, OB ? OP 的最

A

O

C

A1

C1

x

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x(cos x ? 3sin x) .

-3-

? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 6 π (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间[ 0, ]上的最值. 2

16.(本小题共 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a4 ? a2 ? 4 , a3 ? 8 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?bn ? 满足 bn ? ( 2)an ,求数列 ?bn ? 的前 8 项和.

17.(本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AB ? AA1 , ?A1 AB ? 60? , D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BC1‖ 平面 A1CD ; (Ⅱ)求证: AB ⊥平面 A1CD ; (Ⅲ)若 AB ? AC ? 2 , A1C ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.
A1 B1

C1

A
-4-

C D B

18.(本小题共 13 分) 近几年, “互联网+”已经影响了多个行业,在线教育作为现代信息技术同教育相结合的 产物,也引发了教育领域的变革.目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、 线下延伸四种模式. 为了解学生参与在线教育情况, 某区从 2000 名高一学生中随机抽取了 200 名学生,对他们参与的在线教育模式进行调查,其调查结果整理如下:(其中标记“√”表示 参与了该项在线教育模式). 教育模 式 在线测评 在线课堂 自主学习 线下延伸

人数(人) 25 45 40 30 40 20 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

(Ⅰ)试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数; (Ⅱ)在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取 5 人,现从这 5 人中随机抽 取 2 人,求这 2 人都参与线下延伸教育模式的概率.

-5-

19.(本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 0) ,离心率为 . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 M,N 两点,P 是直线 x ? 4 上任意一点.求证:直线 PM,

PF,PN 的斜率成等差数列.

20.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax (a ? R ) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

2) 上仅有一个极值点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 (-1,
(Ⅲ)若 a ? 1 , 且方程 f ( x) ? a ? x 在区间 [?a,0] 上有两个不相等的实数根, 求实数 a 的最小值.

丰台区 2016~2017 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)参考答案及评分参考

2017.01 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

-6-

9. 1 ? i

10. y ? ?

4 x 5

11.4

12. x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0

13.82

14.

8 ? ;2 3 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,

f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 sin 2 x
1 3 (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? 2 2
????????2 分

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

π 3 ? sin( 2 x + ) ? 3 2

????????4 分 由此可知,

f(

π )?0. 6 ? 可知, 2

????????6 分

(Ⅱ)由 0 ? x ?

π π 4π 3 ?? ? ? 2x + ? ,进而 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 3 3 3 2 3? ?
当0 ? x ?

????????8 分

? 3 时, f ( x) ? [? 3,1 ? ], 2 2

????????9 分

所以函数 f ( x) 在区间 [0 , ] 上的最大值为 1 ? 16. (本小题共 13 分)

? 2

3 ,最小值为 ? 3 . ????13 分 2

-7-

解: (Ⅰ)因为 a4 ? a2 ? 2d ? 4 ,所以 d ? 2

????????2 分

又 a3 ? a1 ? 2d ? 8 ,可得 a1 ? 4 ,

????????4 分 从而

an ? 2n ? 2 .
(Ⅱ) 因为 bn ?

????????6 分
2n?2

? 2? ? ? 2?
an

? 2 n ?1

????????7 分

所以数列 ?bn ? 的前 8 项和为

4 ? (1 ? 28 ) S8 ? 1? 2 ? 4 ? (28 ? 1) ? 1024? 4 ? 1020
????????13 分 17. (本小题共 14 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于 O ,连接 OD , 因为 O ,D 分别为 AC1 , AB 的中点,所以 OD‖ BC1 ????????2 分

A1 B1

C1

O A D B
又因为 BC1 ? 平面 A1CD , OD ? 平面 A1CD ,

C

-8-

所以 BC1‖ 平面

A1CD .
(Ⅱ)因为 AC ? BC , D 是 AB 的中点,

????????4 分

所以

CD ? AB .
又因为 AB ? AA1 , ?A1 AB ? 60? , 所以△ AA1 B 为等边三角形,所以 A1 D ? AB

????????5 分

????????7 分

因为 A1 D I CD ? D ,所以 AB ⊥平面 A1CD

????????9 分

(Ⅲ)因为△ ABC 与△ AA1 B 都是边长为 2 的正三角形, 所以 CD ? A , 1D ? 3 因为 AC , 1 ? 6
2 所以 CD2 ? A1D2 =AC , 1

所以 A1D ? CD , 分 又因为 A1D ? AB , AB I CD ? D , 所以 A1D ? 平面 ABC , 即 A1D 是三棱柱的高,

????????11

????????13 分

故三棱柱的体积 V =S?ABC ? A 1D ? 3. 18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为在样本 200 人中参与在线测试的共 150 人

????????14 分

????????2 分

所以全区 2000 名高一学生中参与在线课堂的人数为 2000 ?

150 200

=1500 人 ???5

-9-

分 (Ⅱ)记“抽取参加测试的 2 人都参加了线下延伸”为事件

A

????????6 分

用分层抽样抽取的 5 人中,有 3 人参加了自主学习和线下延伸,记为 1,2,3; 有 2 人参加了自主学习和在线测评, 记为 a,b. ????????8 分 6 人中抽取 2 人,共有(1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (2,3) (2,a) (2,b) (3,

a)
(3,b) (a,b)10 种取法 分 其中事件 A 包含 3 个. ????????11 分 所以 ????????10

P ( A) ?

3 10

????????13 分

19. (本小题共 13 分)

c 1 2 解: (Ⅰ)由已知得: a ? 2 , ? ,所以 b ? 3 a 2
x2 y 2 ? ?1 4 3

所以椭圆的标准方程为

????????4 分

(Ⅱ)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) , P (4,n) 设直线 MN 的方程为: y ? x ? 1 ????????6 分

? y ? x ?1 ? 2 由 ? x2 y 2 得: 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 ? ? ?1 ?4 3

????????7



- 10 -

8 8 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ? 7 7

????????8 分

kPM ? kPN ?

y1 ? n y2 ? n (y1 ? n)(x2 ? 4)+(y2 ? n)(x1 ? 4) + = x1 ? 4 x2 ? 4 (x1 ? 4)(x2 -4)

?????9 分

=

8 n ? n(x1 ? x2 ) ? 4(x1 ? x2 ? 2)+2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

8 24 16 8 8 n ? n+ ? ? 7 7 7 7 = 8 32 ? ? ? 16 7 7
? k PF ? 2n 3 n , 所以 2kPF ? kPM ? kPN 3
????????12 分 所以直线 PM,PF,PN 的斜率成等差数列. ????????13 分

因为

20. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 3( x ? a) ,所以 f ?(0) ? ?3a ,
2

因为 f (0) ? 0 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ?3ax . ????????4分
2 (Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3( x ? a) ,所以,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立, 所以 f ( x ) 在 R 上单调递增, f ( x ) 没有极值点,不符合题意;????????5分

- 11 -

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ? a ,

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示: 当 (-∞, ? a ) + ↗

x
f ?( x ) f ( x)

? a
0 极大值

(? a , a ) ↘

a
0 极小值

( a ,+∞) + ↗

????????7分 因为函数 f ( x) 在区间 ( ?1 , 2) 仅有一个极值点, 所 以

? ? a ? 2, ? ? ?? a ? ?1.
????????9分
3





1? a ? 4.

(Ⅲ) 令 h( x) ? f ( x) ? x ? a ? x ? (1 ? 3a) x ? a ,

0] 上恰有两个实数根等价于函数 h( x) 在 [?a, 0] 上恰有两个 方程 f ( x) ? a ? x 在 [?a,
零点.

h?( x) ? 3x2 ? (1 ? 3a) ,
因为 a ? 1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ? 分

1 , 3

????????10

? ? h(0) ? 0, ? ? 所以 ? h( ? a) ? 0, 所以 ? ? h( ? a ? 1 ) ? 0. ? 3 ?

? ?a ? 0, ? ? 3 2 , ?? a ? 3a ? 2a ? 0, ? ?(? a ? 1 )3 ? (1 ? 3a ) a ? 1 ? a ? 0. ? 3 3 ?

- 12 -

? ? a ? 0, ? ? 所以 ? a ? 1或a ? 2 ? ?(2a ? 2 ) a ? 1 ? a ? 0. ? 3 3 ?
分 因为 a ? 1 ,所以 (2a ? ) a ?

????????12

2 3

1 ? a ? 0 恒成立. 3

所以 a ? 2 ,所以实数 a 的最小值为 2. ????????14分

2 1 (2a ? ) a ? ? a ? 0 恒成立,证明如下: 3 3
令 a?

1 2 ? t (t ? ), 3 3
2

所以 a ? t ?

1 2 1 1 3 2 , (2a ? ) a ? ? a =2t ? t ? 3 3 3 3
2

2 令 p (t ) ? 2t ? t ? , p?(t ) ? 6t ? 2t ,
3

1 3

当t ?

2 2 2 时, p?(t ) ? 6 ? ? 2 ? 0, 3 3 3 2 , ? ?) 上单调递增, 3 2 2 32 ?1 ? ?1 ? 0 . 3 3 27

所以 p(t ) 在 (

所以 p(t ) ? 2 ?

(若用其他方法解题,请酌情给分)

- 13 -


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