微积分第一章极限连续习题课_图文

第一、二章习题课

数列极限
lim x n ? a
n? ? x ??






x ? x0



无穷大
lim f ( x ) ? ?

lim f ( x ) ? A

lim f ( x ) ? A

两者的 关系

极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则

左右极限 两个重要 极限

无穷小的比较 等价无穷小 及其性质

无穷小
lim f ( x ) ? 0

无穷小 的性质

唯一性

求极限的常用方法

极限的性质

2


?x ? 0







lim ?y ? 0

x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x 0 )

间断点定义

左右连续
在区间[a,b] 上连续

连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性

第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点

闭区间上连续 函数的性质
3

求极限的基本方法
(1).多项式与分式函数代入法求极限; (2).消去零因子法求极限; (3).无穷小因子分出法求极限; (4).利用无穷小运算性质求极限; (5).利用两个重要极限求极限; (6).利用左右极限求分段函数极限。

4

1. 求y ?

1 的定义域 . | x | ?x

解 x ?| x |,

? x ? (??,0)
2

2. 求y ? log( x?1) (16 ? x )的定义域 .
解 16 ? x 2 ? 0,

x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 1,

x ?4 x ?1

? x ? (1,2) ? ( 2,4)

x?2

5

3. 设 f (sin x ) ? 1 ? 4 x 2 , 求 f ( x ) 的定义域 .



2 令u ? sin x, 得 f ( u) ? 1 ? 4(arcsinu)

或 f ( x ) ? 1 ? 4(arcsin x )2

1 由1 ? 4(arcsinx) ? 0 ?| arcsin x |? 2 1 1 ? ? ? arcsin x ? 2 2
2

1 1? ? ? D ? ? x | ? sin ? x ? sin ? 2 2? ?
6

4. 设 f ( x ) ?

2,
2

x?0

x , x?0

求f [ f ( x )].

解 ? f ( x )在(? ?,? ?)上非负,

? 对 f [ f ( x )]的表达式只考虑 ( x ) ? 0的情形 f .

f [ f ( x )] ?

2,

f ( x) ? 0

f ( x ) ? 2 ( x ? 0), f [ f ( x)] ? 22 ? 4 ? 对f ( x ) ? 0,

~~~~~~~~~~~
2

f 2 ( x), f ( x) ? 0

f ( x) ? x ( x ? 0), f [ f ( x)] ? ( x ) ? x
2 2

4

? f [ f ( x )] ?

4,

x?0
7

x4 , x ? 0

5. 求下列极限:

(1) lim (sin x ? 1 ? sin x )
x ???

(2)

1? x 2 lim sin ? x x ?1

(3)

1? x ?cot x lim ? 1? x x ?0

提示: (1) sin x ? 1 ? sin x

x ?1 ? x x ?1 ? x ? 2 sin cos 2 2 1 x ?1 ? x ? 2 sin cos 2( x ? 1 ? x ) 2
无穷小 有界

(2)

lim 1? x x ?1 sin ? x
令 t ? x ?1

2

1 ? x cot x (3) lim ? ? x?0 1 ? x

? lim ?t (t ? 2) t ?0 sin ? (t ?1)
t (t ? 2) ? lim t ?0 sin ? t t (t ? 2) 2 ? lim ? t ?0 ? t ?

1? 2 x cot x ) ? lim (1 ? 1? x x?0 2x ) ~ 2x ln (1 ? 1? x
1? x

? e x ?0
?e
2

x lim ( cos x ? 12 xx ) sin ?

6.

当 x ? 1时, 求 lim(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ).
2 4 2n n? ?

解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则

(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ) 原式 ? lim n? ? 1? x 2 2 4 2n (1 ? x )(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x ) ? lim n? ? 1? x 2n 2n 2n ? 1 (1 ? x )(1 ? x ) 1? x ? lim ? lim n? ? n? ? 1 ? x 1? x 1 2n ? 1 ? . (?当 x ? 1时, lim x ? 0.) n? ? 1? x
2 4 2n

7. 求下列极限
3

(1) lim
?

x ?1

t 2 ? 1 ? lim (t ? 1)(t ? 1) x ? 1 t ? x lim t 3 ? 1 t ?1 (t ? 1)(t 2 ? t ? 1) t ?1 x ?1
6

x ?1 2 x ? 3 x ?1 2 (2) lim ( ) ? lim (1 ? ) 2x ? 1 x ?? 2 x ? 1 x ??

2 3

? lim 1 ?
x??

?

1
x? 1 2

? ?

x?

1?1 2 2 1 2

? lim 1 ?
x??

?

1
x? 1 2

x?

? lim 1 ?
x??

?

1
x? 1 2

? ? e?1
11

1 2

(3) lim [n(ln(n ? 1) ? ln n)] ? lim n ln
n??
n? ?

n?1 n

1 n ? lim ln(1 ? ) ? ln e ? 1 n n??
ln( a ? t ) ? ln a ln x ? ln a x ? a ? t (4) lim lim t x?a x ?a t ?0
?

?

t ? lim ln(1 ? ) a t ?0
?

1 t

t ? lim ln[(1 ? ) ] a t ?0
?

a 1 t a

?

1 t ? 1 ln e ? 1 ? lim ln(1 ? ) a t ?0 a a a
?

a t

12

又解

(4) lim
x ?a

?

ln x ? ln a 1 x ? lim ln x?a a x?a x ? a
?

? lim ln( 1 ?
x?a
?

x ? 1) a

1 x?a

? lim ln[(1 ?
x ?a
?

x?a ) a

a x?a

]

1 a

1 ? lim ln (1 ? x ? a ) a x ?a a
?

a x ?a

1 1 ? ln e ? a a

13

xm ? 1 (5) lim n ( m, n为 正 整 数 ) x ?1 x ? 1 ( x ? 1)( x m?1 ? x m? 2 ? ? ? x ? 1) ? m ? lim n x ?1 ( x ? 1)( x n?1 ? x n? 2 ? ? ? x ? 1)
x ?a (6) lim x ?a x?a
1 n
1 n 1 n

(a ? 0, n为正整数)

1 1 x n x n 1 a [( ) ? 1] u ? ( a ) ? 1 n ?1 u a a lim ? lim u?0 ( u ? 1)n ? 1 x ?a x a( ? 1) a 1 ?1 u n ? a lim u?0 [(u ? 1) ? 1][(u ? 1)n?1 ? ? ? ( u ? 1) ? 1] 1 1 n ?1 ? a n

14

x ? x2 ? x3 ? ?? xn ? n (7) li m x ?1 x ?1
( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? ? ? ( x n ? 1) ? lim x ?1 x ?1
? lim[1 ? ( x ? 1) ? ( x 2 ? x ? 1)? ? ( x n?1 ? ? ? x ? 1)]
x ?1

n( n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? n ? 2

15

? x? (8) lim? ? x?2 2 ? ?

2 x?2

x ? ? ? lim 1 ? ? 1 ? ? x?2 2 ? ? ? x? 又解 lim? ? x?2 2 ? ?
2 x?2

2 x?2

x?2? ? ? l im 1 ? ? ? x?2 2 ? ?

2 x?2

?e

2 u? x?2

1? ? lim? 1 ? ? u? ? u? ?

u

?e

16

(9) l i m x [( x ? 1) ? ( x ? 1) ]
x ??

1 3

2 3

2 3

? lim
x ??

x [( x ? 1) ? ( x ? 1) ][( x ? 1) ? ( x ? 1) ( x ? 1) ? ( x ? 1) ]

1 3

2 3

2 3

4 3

2 3

2 3

4 3

[( x ? 1) ? ( x ? 1) ( x ? 1) ? ( x ? 1) ]
x [( x ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ] 4 1 4 1 2 1 2 1 4 x 3 [(1 ? x ) 3 ? (1 ? x ) 3 (1 ? x ) 3 ? (1 ? x ) 3 ] 4x
4 3
4 3 1 3

4 3

2 3

2 3

4 3

? lim
x ??

? 4x

? lim
x ??

1 4 1 2 1 2 1 4 x [(1 ? x ) 3 ? (1 ? x ) 3 (1 ? x ) 3 ? (1 ? x ) 3 ]

4 ? 3

利用公式: 3 ? B3 ? ( A ? B)( A2 ? AB ? B2 ) A
17

ln( 1 ? 2 x ) 3x 2 x l n ( ? 2 x ) 解1 1 (10) l i m lim x ?0 sin 3 x 3 x x ?0 si n3 x 2x

? lim ln(1 ? 2 x )
x ?0

1 2x

2x ? 2 sin 3 x 3 x 3

3x

ln( 解2 ? x ? 0时 , 1 ? 2 x ) ~ 2 x , sin 3x ~ 3x

ln( 1 ? 2 x ) ? lim 2 x ? 2 ? lim 3 x ?0 3 x x ? 0 sin 3 x
1 (11) lim(1 ? ) x ? ?? x
x

1 ? lim (1 ? ) ?x x?? ?
1 x

x x? 1

x

1 ?x ? ? lim [(1 ? ) ] ?x x?? ?

?e ?1
18

0

1 1 1 (12) lim [ ? ? ?? ] n? ? 1 ? 3 3? 5 ( 2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? lim [ (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 3 2 3 5 2 5 7 n?? 2

1 1 1 ? ( ? )] 2 2n ? 1 2n ? 1
? lim

1 1 1 (1 ? ) ? 2n ? 1 n? ? 2 2

19

8. 验证当 x ? 0 时下列各对无穷小是等价的 .
x2 x (1)1 ? cos x ~ ; ( 2)arctgx ~ x; ( 3) 1 ? x ? 1 ~ . 2 2 2 x 2 x 2 sin 2 sin 1 ? cos x 2 ? lim 2 ?1 ? lim ? lim 解(1) 2 2 x? 0 x? 0 x 2 x ?0 x x 2( ) 2 2 2 x2 ? x ? 0时,1 ? cos x ~ 2 1 u arctgx u ? arctgx ? lim cos u ? 1 lim 解(2) ? lim u?0 sinu x ?0 u?0 tgu x u ? x ? 0时, arctgx ~ x
20

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1) 1? x ?1 ? lim2 解(3) ? lim x ?0 x ?0 x x ( 1 ? x ? 1) 2 1 x ? lim2 ? 1 ? x ? 0时,1 ? x ? 1 ~ x ?0 2 1? x ?1
几个常用的 x ? 0 时的等价无穷小:

sin x ~ x ,

tgx ~ x , arctgx ~ x, arcsinx ~ x
2

x 1 ? cos x ~ , 2
x 1? x ?1 ~ 2

e x ? 1 ~ x, ln(1 ? x ) ~ x,
x ( 1? x ?1 ~ ) m
m
21

8.

设 ? , ? 是某变化过程中的无穷 小,试证: 若? ~ ? ,则 ? ? ? 是比 ? 高阶的无穷小, 反之,若? ? ? 是比 ? 高阶的无穷小, 则 ? ~ ? .

? 证 ? lim ? 1, ? ? ? ? ?? ? lim ? lim( ? 1) ? lim ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? o(? ), 即 ? ? ? 是比 ? 高阶的无穷小 .

? 1 ? ?? ? 又由lim ? lim( ? 1) ? lim ? 1 ? 0 得 lim ? 1, ? ? ? ?

?? ~ ? .

?
22

x 2 ? ax ? b 9. 若 lim ? 5, 求a , b的值 . x ?1 1? x

x 2 ? ax ? b ? lim( x 2 ? ax ? b) ? 0 ? 5, x?1 解 ? lim x ?1 1? x (1 ? x )(c ? x ) x 2 ? ax ? b ? c ?1 ? 5 lim ? lim x ?1 x ?1 1? x 1? x

?c ? 6,
则 (1 ? x )(c ? x ) ? (1 ? x )(6 ? x ) ? x 2 ? 7 x ? 6

? a ? ?7, b ? 6
23

10. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 ? lim x ( 3 13 ? 1 ? a ? b ) ? 0 x
x ?? x

?

x ??

lim ( 3

1 x3

?1 ? a ? b ) ? 0 x

故 ? 1 ? a ? 0 , 于是 a ? ?1 , 而

? lim

1 (1 ? x ) ? x 1 ? x 3 ? x 2
3 2 3

x ?? 3

?

11. 当 x ? 0时, 3 x 2 ? x 是 解: 设其为 的 阶无穷小, 则
3 2 x ?0 3 2

的几阶无穷小?

lim

x ? x xk

?C ?0
? lim 3 x ?0 x ? x x
3k
1 ? 3k 2 3 2



x ?0

lim

x ? x x
k

2

? lim


3

1 k? 6

x ?0

x

(1 ? x )

p( x ) ? x 3 p( x ) 10. 设p( x )是多项式, 且 lim ? 2, lim ? 1, 2 x ?? x ?0 x x 求p( x ).

p( x ) ? x 3 ? 2, 故设p( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? ax ? b 解 ? lim 2 x ?? x (其中 , b为待定系数 a )

~x p( x ) 又 ? lim ? 1,? x ? 0时, p( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? ax ? b x ?0 x 故 lim( x 3 ? 2 x 2 ? ax ? b) ? 0 ? b ? 0
x ?0

p( x ) lim( x 2 ? 2 x ? a ) ? a ? 1 由 1 ? lim ? x ?0 x ?0 x

? p( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? x
26

? x ?1 , x ? 1 ? 11. 讨论f ( x ) ? ? 的连续性. ?x , x ?1 ?cos ? 2

解 将f ( x )改写成
?1 ? x , x ? ?1 ? ?x ? f ( x ) ? ?cos , ? 1 ? x ? 1 2 ? ? x ? 1, x ? 1 ?

分段点 x ? ?1, x ? 1

显然f ( x )在( ??,?1), ( ?1,1), (1,??)内连续.

27

当x ? ?1时,
x ??1

lim? f ( x ) ? lim? (1 ? x ) ? 2 ? xlim f ( x ) ? xlim f ( x ) ??1 ??1
x ??1
? ?

?x 故f ( x )在x ? ?1间断. lim? f ( x ) ? lim cos ? 0 x ??1 x ? ?1 2 当x ? 1时, ?x lim f ( x ) ? lim cos 2 ? 0 ? lim f ( x ) ? lim f ( x ) x ?1? x ?1? ? ? x ?1 x ?1 ? f (1) ? 0 lim f ( x ) ? lim( x ? 1) ? 0 x ?1? x ?1? 故f ( x )在x ? 1连续.
?

? f ( x )在( ??,?1) ? ( ?1,??)连续.
28

12.验证方程 a sin x ? b ? x (a ? 0, b ? 0) 至少有 一个不大于 a ? b 的正根.

证 设 f ( x ) ? a sin x ? b ? x, 则f ( x)在[0, a ? b]上连续 .

f (0) ? b > 0

f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? b ? (a ? b)
? [sin(a ? b) ? 1] ≤ 0
则 a 若f (a ? b) ? 0, a ? b就是f ( x)的正根且不超过? b.
则由零点定理 若f (a ? b) ? 0,

?? ? (0, a ? b),

. 使f (? ) ? 0, 即?为所求之根

29

13.设f ( x ) ? C[a , b], 且f ( x )在[a , b]上无零点, 证明 f ( x )在[a , b ]上不变号.

证 反证法,若不然 f ( x )在[a, b]上变号 ,

即?x1 , x2 ? [a, b], 使得f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
由闭区间上连续函数的零点定理知

?? ? ( x1 , x2 ), 使得 f (? ) ? 0
即? 是 f ( x)在 [a, b] 上的一个零点 , 与已知矛盾。
故 f ( x) 在[a, b]上不变号 .

30

14. 设f ( x )在[a , b ]上连续 , 且a ? x1 ? x2 ? x3 ? b , 求证在(a , b )内至少存在一点? , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) f (? ) ? . 3

, 证 ? f ( x)在[a, b]上连续
? 在[a, b]上存在最大值 最小值 , 使 M m
M?M?M m ? m ? m f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ?M ? ? m? 3 3 3

由介值定理 ?? ? (a, b), 使得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) f (? ) ? . 3
31

15. 设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) ? f (1),

证明 令 F ( x ) ? f ( x ? 1 ) ? f ( x ),
2

1 证明必有一点? ? [0,1]使得f (? ? ) ? f (? ). 2

1 则 F ( x )在[0, ]上连续. 2 1 1 1 ? F (0) ? f ( ) ? f (0), F ( ) ? f (1) ? f ( ), 2 2 2 1 讨论: 若F (0) ? 0, 则 ? ? 0, f (0 ? ) ? f (0); 2 1 1 1 1 1 若F ( ) ? 0, 则 ? ? , f ( ? ) ? f ( ); 2 2 2 2 2

1 若F (0) ? 0, F ( ) ? 0, 则 2 1 1 ? [ f ( ) ? f (0)]2 ? 0. F ( 0) ? F ( ) ? 2 2 1 由零点定理知, ?? ? (0, ), 使F (? ) ? 0. 2 1 即 f (? ? ) ? f (? )成立. 2 1 综上, 必有一点? ? [0, ] ? [0,1], 2 1 使 f (? ? ) ? f (? ) 成立. 2

阅读与练习
1. 求 的间断点, 并判别其类型.

(1 ? x) sin x 1 ? sin 1 解: lim 2 x ? ?1 x ( x ? 1)( x ? 1)
x = –1 为第一类可去间断点
x? 1

lim f ( x) ? ?
x = 1 为第二类无穷间断点
x? 0

x? 0

lim ? f ( x) ? ?1,

lim ? f ( x) ? 1,

x = 0 为第一类跳跃间断点

2. 求
解:

(2000考研)

1 ? ? ? ?4 ? 3 ? x sin x ? ?2?e x ?e x sin x ? ? 2e lim ? ? ? 4 ?? x ? ? lim ? ? ? 4 ? x ?0 ? x ?0 1 ? e x x ? ? ? ? e x ?1 ? ?

?1

1 ? ? x ? 2 ? e 1 sin x ? sin x ? ?2?e x ? ? lim ? ? ? ? lim 4 ? ?? x ? 4 x ?0 1 ? e x ? ?1 ?? x ? ? ? x?0 ? 1 ? e x ? ?

原式 = 1

3. 求 lim (1 ? 2
x ???

x

? 3x ) x .
x x x ?3 )
1

1

解: 令 f ( x) ? (1 ? 2 则

? 3?
1 x

(1) x 3

? ( 2) x 3

?1 ?

1 x

3 ? f (x) ? 3? 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) ? 3 .
x ???

一、选择题:

测验题
x?1 的定义域是( ) 2

1.函数 y ? 1 ? x ? arccos

(A) x ? 1 ; (B) ? 3 ? x ? 1; (C)( ? 3 , 1 ) ; (D)?x x ? 1? ? ?x ? 3 ? x ? 1?. ? x ? 3, ? 4 ? x ? 0 2.函数 f ( x ) ? ? 2 的定义域是( ) ? x ? 1,0 ? x ? 3 (A) ? 4 ? x ? 0 ; (B)0 ? x ? 3 ; (C)( ? 4 , 3 ) ; (D)?x ? 4 ? x ? 0? ? ?x 0 ? x ? 3?.

3、函数 y ? x cos x ? sin x 是( ) (A)偶函数; (B)奇函数;

? 4、函数 f ( x ) ? 1 ? cos x 的最小正周期是( ) 2 (A)2? ; (B)? ; 1 (C) 4 ; (D) . 2
x 5、函数 f ( x ) ? 在定义域为( ) 2 1? x (A)有上界无下界; (B)有下界无上界; (C)有界,且 1 ? f ( x ) ? 1 ; 2 2 x ?2 . (D)有界,且 ? 2 ? 2 1? x

(C)非奇非偶函数;(D)奇偶函数.

6、与 f ( x ) ? (A) x ; (C) ( 3 x ) 3 ;

x 2 等价的函数是( ) (B) ( x ) 2 ; (D) x .

7、当 x ? 0 时,下列函数哪一个是其它三个的高阶 无穷小( ) (A)x 2 ; (B)1 ? cos x ; (C) x ? tan x ; (D)ln( 1 ? x ) .

8、设a 0 , b0 ? 0, 则当( )时有 a 0 x m ? a1 x m ?1 ? ........ ? a m a 0 lim ? . x ? ? b x n ? b x n ?1 ? ......... ? b b0 0 1 n (A)m ? n ; (B)m ? n ; (C)m ? n ; (D)m , n 任意取 .

? x ? 1,?1 ? x ? 0 9、设 f ( x ) ? ? ? x ,0 ? x ? 1 则 lim f ( x ) ? ( )
x?0

(A)-1 ; (B)1 ; (C)0 ; (D)不存在 . x 10、 lim ? ( ) x ?0 x (A)1; (B)-1; (C)0; (D)不存在.
二、求下列函数的定义域:

1、y ? sin( 2 x ? 1) ? arctan x ;

9x ? x2 ) ?1 . 2、? ( x ) ? lg( 2 三、设 g ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 (1) 试确定 a , b, c 的值使 g ( x ? 1) ? a ( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ; (2) 求 g ( x ? 1) 的表达式 . 2 ?1 四、求 f ( x ) ? (1 ? x ) sgn x 的反函数 f ( x ) .

五、求极限: 2n 2 ? n ? 1 1、lim ; 2 n? ? (1 ? n) 3、lim (1 ? x )
x ?0 2 x

2、lim

x?3

1? x ? 2 ; x?3
1 x



4、lim x(e ? 1) ;
x ??

x x x 5、当 x ? 0 时,lim cos cos ........ cos n ; n? ? 2 4 2 1 x 2 sin x . 6、 lim x?? ? 2x2 ? 1 ?sin ax, x ? 1 六、设有函数 f ( x ) ? ? 试确定a 的 ?a ( x ? 1) ? 1, x ? 1 值使 f ( x ) 在 x ? 1 连续 .

1 x arctan x ? 1 的连续性,并判 七、讨论函数 f ( x ) ? ? sin x 2
断其间断点的类型 .

八、证明奇次多项式: P ( x ) ? a 0 x 2 n?1 ? a1 x 2 n ? ? ? a 2 n ?1 (a 0 ? 0) 至少存 在一个实根 .

测验题答案
一、1、B; 2、D; 3、B; 4、C; 5、C; 6、D; 7、C; 8、B; 9、D; 10、D; 二、1、( ?? ,?? ); 2、[4,5]. 三、 a ? 2, b ? 1, c ? 0, g ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 5 x ? 3 . ? x ? 1, x ? 1 ? 四、 f ?1 ( x ) ? ?0, x ? 0 . ? ? ? ( x ? 1) , x ? ?1 ? 1 sin x e2 ; 五、1、2; 2、 ; 3、 4、1; 5、 ; 4 x 2 6、 . 2

? 六、a ? ? ? 2k? ( k ? 0,1,2, ?) 2

七、 x ? 0 可去间断点, x ? 1 跳跃间断点, x ? 2 n( n ? ? 1,? 2, ?) 无穷间断点, x 为其它实数时 f ( x ) 连续.


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