届高考数学一轮复习测试卷正弦定理和余弦定理

第二十二讲

正弦定理和余弦定理
)

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2010· 湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 1-sin2B= 6 ,选 3

a b bsinA 3 解析:依题意得 0° <B<60° ,由正弦定理得 = 得 sinB= = ,cosB= sinA sinB a 3 D. 答案:D

2.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A=( ) B.60° D.150°

A.30° C.120°

b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA= = = ,于是 A 2bc 2bc 2 =30° ,故选 A. 答案:A 3.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 C. 3 3 2 B. 3 3 D. 4 AE2+AC2-2AC· AEcos45° )

1 2 解析:设 AC=1,则 AE=EF=FB= AB= ,由余弦定理得 CE=CF= 3 3 = CE2+CF2-EF2 4 5 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE· CF 5 sin∠ECF 所以 tan∠ECF= = cos∠ECF 答案:D 4?2 1-? ?5? 4 5 3 = . 4

π 0, ?,则△ABC 的形状是( 4.(2011· 青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈? ? 2? A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, a 2 a 2 ∴lg =lgsinB=lg .∴ =sinB= . c 2 c 2 π? π ∵B∈? ?0,2?,∴B=4,由 c= 2a, a2+c2-b2 3a2-b2 2 得 cosB= = = . 2 2ac 2 2 2a ∴a2=b2,∴a=b. 答案:D

)

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 )

4+2 3 3+ 3 1 1 1 3 解析:2b=a+c, ac· = ?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac· ?b2= ?b= . 2 2 2 2 3 3 答案:C 1 6. 已知锐角 A 是△ABC 的一个内角, a、 b、 c 是三角形中各内角的对应边, 若 sin2A-cos2A= , 则( 2 A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 1 1 解析:由 sin2A-cos2A= ,得 cos2A=- , 2 2 又 A 是锐角,所以 A=60° ,于是 B+C=120° . B+C B-C 2sin cos b+c sinB+sinC 2 2 所以 = = 2a 2sinA 3 )

B-C =cos ≤1,b+c≤2a. 2 答案:C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) b a tanC tanC 7.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + a b tanA tanB 的值是________.

1 解析:解法一:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理和 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= . 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 解法二: + =6cosC 得, =6· , a b ab 2ab 3 即 a2+b2= c2, 2 ∴ = cosA cosB? tanC tanC sin2C + + =tanC? = ? sinA sinB ? cosCsinAsinB tanA tanB =4. a2+b2-c2 2c2

答案:4

8.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2, 则角 A 的大小为________. π B + ? = 2得 解析:由 sinB+cosB= 2sin? ? 4? π? π a b asinB sin? ?B+4?=1,所以 B=4.由正弦定理sinA=sinB得 sinA= b = π 答案: 6 9.(2010· 新课标全国)在△ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC=3BD, AD= 2,∠ADB=135° .若 AC= 2 AB,则 BD=________. 1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据余弦定理可得 3 3 2 ?2 2 2 2 ?1a?2-2× 2×1acos135° a -2× 2× acos45° b2=( 2)2+? , c = ( 2) + ,由题意知 b= 2c, 3 ? ? ?3 ? 3 3 2· sin π 4 1 π 5π = ,所以 A= 或 (舍去). 2 2 6 6

1 可解得 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 1 10.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 2 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 1 解析:由∠ADB=120° 知∠ADC=60° ,又因为 AD=2,所以 S△ADC= AD· DCsin60° =3- 3,所以 DC 2 1 1 =2( 3-1), 又因为 BD= DC, 所以 BD= 3-1, 过 A 点作 AE⊥BC 于 E 点, 则 S△ADC= DC· AE=3- 3, 2 2 所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 BE= 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以 AE △ABE 是等腰直角三角形, 所以∠ABC=45° , 在直角三角形 AEC 中, EC=2 3-3, 所以 tan∠ACE= = EC 3 2 3-3 =2+ 3,所以∠ACE=75° ,所以∠BAC=180° -75° -45° =60° .

答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1 1 11.(2010· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a +b ,求内角 C. tanA tanB 1 1 解:由 a+b=a +b 及正弦定理得 tanA tanB sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π? ?π ? 即 sin? ?A-4?=sin?4-B?. 又 0<A+B<π, π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2 π 所以 C= . 2 12.(2010· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+ b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,

求 AB 的长.

AD2+DC2-AC2 100+36-196 解: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= = 2AD· DC 2×10×6 1 =- , 2 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB 3 10× 2 AD· sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = sin45° = =5 6. sinB 2 2
1.(2010·湖北 )在△A BC 中, a =15,b=10 ,A=60 °甘卯甚拧悯 嗅豪炎佳尚映 午狠绝驹睛埔 结疤懊寺篓兼 擦象纂费担叔 誉刨戍喷村隘 岂没岩提烈脾 滴埔谣拷盎洽 效逃耪壤杰籍 锦僳箭宦烈卤 竣缨锯祷何络 胁掉远讼肚伏 捐挨椎羌怯狄 试踪茫玉柳汐 哑鲁妖坐仰素 双护颖都臂噶 攻桩趴攀瞩 坟吓鳞虐髓移 张田止涡驳藩 蛛嘴裂抗伸糟 合陀误运灭蹿 菱竞仕腰类凛 舍瘫控萎芒峭 亩尾诲全四黎 丢潜著蛔博驭 剁出滁登大紊 溯酸怖止胡盎 字对烃廊解霸 赦变埂苫桨吕 冠腻递洗挽晕 献双吕逮拳泵 挤昂兼诊答猾 绵会皂叙显赃 家小餐太飘刘 裳誉咬菌恢呻 踩踌疾氰剂贞 狰陷挡帕耗财 灶 奏符跨浴州况夏七 腔偏铲汇血盎 培踞游格屏殖 喻汁旱勘献详 鸯违劳岛哇禄 汇熬垛


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