2012北京市高三一模文科数学分类汇编1集合与简易逻辑

2012 北京市高三一模数学文分类汇编:集合与简易逻辑
【2012 年北京市西城区高三一模文】1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x2 ? 4} ,那么 A B?( )

(A) (?2, 2) (B) (?1, 2) (C) (1, 2) (D) (1, 4)
【答案】C
【解析】 B ? {x x2 ? 4} ? {x ? 2 ? x ? 2},所以 A ? B ? {x1 ? x ? 2} ,选 C.

【2012 北京市门头沟区一模文】已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ,那么满足 B ? A 的集合 B 有

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

【答案】D
【2012 北京市海淀区一模文】(1)已知集合 A = {x|x2 = 1} , B = {x|x(x - 2) < 0} ,那么

A B=

(A) ?

(B) {- 1}

(C){1}

(D){- 1,1}

【答案】C
【解析】 A ? {?1,1},B ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1},答案选 C.

? ? ? ? 【2012 北京市房山区一模文】1.设全集U ? R, 集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 1 ,

则 A ? CU B ?
(A)?x x ? 0或x ? 1 ?

()
? ? (B) x ?1 ? x ? 0或1 ? x ? 2

? ? (C) x ?1 ? x ? 0或1 ? x ? 2

(D)?x x ? ?1或x ? 2?

【答案】B

【2012 北京市丰台区一模文】1.已知集合 A ? {x | x2 ? 9}, B ? {x | x ? 1} ,则 A B( )

A.{x | x ? 3}

B.{x | ?3 ? x ? 1}

C.{x | ?3 ? x ? 1}

D.{x | ?3 ? x ? 3}

【答案】C
【2012 北京市石景山区一模文】1.设集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x | 2x ? 2 ? 0} ,

则 M ? N 等于( )

A. (?1, 1)

B. (1, 3)

C. (0, 1)

D. (?1, 0)

【答案】B
【 解 析 】 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x x ? 1} , 所 以 M ? N ? {x1? x ? 3},答案选 B.

【2012 年北京市西城区高三一模文】7.设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn .则“ a1 ? 0 ”是 “ S3 ? S2 ”的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

【答案】C
【解析】 S3 ? S2 ? a3 ? a1q 2 ,若 a1 ? 0 ,则 S3 ? S2 ? a3 ? a1q 2 ? 0 ,所以 S3 ? S2 。若 S3 ? S2 ,则 S3 ? S2 ? a3 ? a1q 2 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ,即“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的充要条
件,选 C.
【 2012 北 京 市 房 山 区 一 模 文 】 2 . 命 题 p : ? x ? R , x2 ?1 ? 0 , 命 题

q : ?? ? R , sin 2 ? ? cos2 ? ? 1.5 ,则下列命题中真命题是 ( )

(A) p ? q

(B) ?p ? q

(C) ?p ? q

(D) p ? (?q)

【答案】D

【2012 北京市东城区一模文】

(10)

命题“

?x0

?

(0,

? 2

),

tan

x0

? sin x0 ”的否定是

.

【答案】 ?x ? (0, ?), tan x ? sin x 2

【2012

北京市丰台区一模文】6.若函数

f

(x)

?

??(1 )x , ?2

x

?

0,

则"a ? 1"是“函数 y ? f (x)

???x ? a, x ? 0,

在 R 上的单调递减的” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 要条件 【答案】A

() C.充要条件

D.既不充分也不必

? ? 【2012 北京市朝阳区一模文】2. 若集合 A ? 1, m2 ,B ? ?3, 4? ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ?4 ?”

的 A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 【答案】A

D.既不充分也不必要条件

【2012 北京市东城区一模文】(2)若集合 A ? {0 , m2 } , B ? {1, 2} ,则“ m ? 1 ”是

“ A ? B ? {0 ,1, 2} ”的
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【2012 北京市东城区一模文】(20)(本小题共 14 分)
? ? 对于函数 f (x) ,若 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f (x) 的“不动点”;若 f f (x0) ? x0 ,则
称 x0 为 f (x) 的“稳定点”.函数 f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即
A ? ?x f (x) ? x?,
B ? ?x f ? f (x)? ? x? .
(Ⅰ)设函数 f (x) ? 3x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .

【答案】(Ⅰ)解:由 f (x) ? x ,得 3x ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 ; …………1 分

由 f ? f (x)? ? x ,得 3(3x ? 4) ? 4 ? x ,解得

x ? ?2.

…………3 分

所以集合 A ? ??2? , B ? ??2? .

…………4 分

(Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立;

若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t) ? t ,

所以 f ? f (t)? ? f (t) ? t ,故 t ?B ,所以

A? B .

…………8 分

(Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 ax2 ? bx ? c ? x 无实数解,

则 ? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 .

…………10 分

① 当 a ? 0 时,二次函数 y ? f (x) ? x(即 y ? ax2 ? (b ?1)x ? c )的图象在 x 轴
的上方,
所以任意 x ?R , f (x) ? x ? 0 恒成立,

即对于任意 x ?R , f (x) ? x 恒成立,

对于实数 f (x) ,则有 f ? f (x)? ? f (x) 成立,

所以对于任意 x ?R ,f ? f (x)? ? f (x) ? x 恒成立,则 B ? ? .

…………

12 分

②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f (x) ? x (即 y ? ax2 ? (b ?1)x ? c )的图象在 x 轴

的下方,

所以任意 x ?R , f (x) ? x ? 0 恒成立,

即对于任意 x ?R , f (x) ? x 恒成立,

对于实数 f (x) ,则有 f ? f (x)? ? f (x) 成立,

所以对于任意 x ?R , f ? f (x)? ? f (x) ? x 恒成立,则 B ? ? .

综上,对于函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,当 A ? ? 时, B ? ? . …14 分

【2012 北京市海淀区一模文】(20)(本小题满分 14 分)

对于集合

M,定义函数

??1,x ? M fM (x) ? ??1, x ? M.

,对 于 两 个 集 合

M,N,定义集合

M?N ? {x fM (x) ? fN (x) ? ?1}. 已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.

(Ⅰ)写出 f A (1) 和 fB (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ;
(Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数.
(ⅰ)求证:当 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取得最小值时, 2 ? X ;

(ⅱ)求 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的最小值.

【答案】(Ⅰ)解: fA (1)=1, fB (1)= -1 , A?B ? {1, 6,10,16}.
………………………………………3 分

(Ⅱ)设当 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取到最小值时, X = W .

(ⅰ)证明:假设 2 ? W ,令Y ? W {2}.

那么 Card(Y?A) ? Card(Y?B)

? Card(W ?A) ?1? Card(W ?B) ?1 ? Card(W?A) ? Card(W?B) .这与题

设矛盾.

所以 2 ? W ,即当 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取到最小值时, 2 ? X .

(ⅱ)同(ⅰ)可得: 4 ? W 且 8 ? W .

………………………………………7 分

若存在 a ? X 且 a ? A B ,则令 Z ? ?X {a}.

那么 Card(Z?A) ? Card(Z?B)

? Card(X ?A) ?1? Card(X ?B) ?1 ? Card(X ?A) ? Card(X ?B) . 所以 集合W 中的元素只能来自 A B . 若 a? A B 且 a? A B ,同上分析可知:集合 X 中是否包含元素 a ,

Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的值不变. 综 上 可 知 , 当 W 为 集 合 {1,6,10,16} 的 子 集 与 集 合 {2,4,8} 的 并 集 时 , Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取到最小值 4.
………………………………………14 分


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