高三专题复习不等式

高三专题复习————不等式的综合
? 2 1、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是__▲___。 x?0 ?1,
?1 ? x 2 ? 2 x [解析] 考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2 ?1 ? x ? 0 ?

2、设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y





。来源

[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

(

x3 x2 2 x3 x2 1 1 1 1 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy

3、 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的x ? R, 恒有f ?( x) ? f ( x) (Ⅰ)证明:当 x ? 0时,f ( x) ? ( x ? c)2 ;

(Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒成立,求 M 的最 小值。

4、若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 ,且a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1 ,则下列代数式中值最大的是 A. a1b1 ? a2b2 A. a1a2 ? b1b2 ? ( B. a1a2 ? b1b2 C. a1b2 ? a2b1 D.

a1 ? a2 2 b1 ? b2 2 1 ) ?( ) ? 2 2 2

1 2

a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) ? (a1 ? a2 )b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a2 ? a1 )(b2 ? b1 ) ? 0 a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) 1 ? (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) ? a1b1 ? a2b2 ? a1b1 ? a2b1 ? 2(a1b2 ? a2b2 )
a1b1 ? a2b2 ? 1 2

5、已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0
B (?1, 2)

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

6、 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 的解集中的整数恰有 3 个,则 (A) ? 1 ? a ? 0 (B) 0 ? a ? 1 (C) 1 ? a ? 3 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式, (D) 3 ? a ? 6

解析:由题得不等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 即 (a 2 ? 1) x 2 ? 2bx ? b 2 ? 0 ,它的解应在两根 之间,故有 ? ? 4b 2 ? 4b 2 (a 2 ? 1) ? 4a 2 b 2 ? 0 ,不等式的解集为

?b b ? x? 或 a ?1 a?1

0?

b ?b ?b b ? x? ? x? 。若不等式的解集为 ,又由 0 ? b ? 1 ? a 得 a?1 a ?1 a ?1 a?1 b ?b b ? 1 ,故 ? 3 ? ? ?2 ,即 2 ? ?3 a?1 a ?1 a ?1

0?

7、已知函数 f ?x ? ? ?

?? x ? 1 ? x ?1

x?0 ,则不等式 x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1的解集是 x?0
(B) (D)

(A) (C)

?x | ?1 ? x ? 2 ?1? ?x | x ? 2 ?1?

?x | x ? 1?

?x | ?

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?

解析:依题意得 ?

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 或? ? x ? ( x ? 1)(? x) ? 1 ? x ? ( x ? 1) x ? 1

所以 ?

? x ? ?1 ? ? x ? ?1 或? ? x ? ?1或 ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1,选 C. ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? ?x ? R ?

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 8、设奇函数 f ( x ) 在 (0,
集为( )

f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解 x

, 0) A. (?1

(1, ? ?) (1, ? ?)

? 1) B. (??, , 0) D. (?1

(0, 1)

? 1) C. (??,

(0, 1)

9.D. 由奇函数 f ( x ) 可知

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? ? 0, ( ) 0 ? , 1 ) ? ?1 ( )f 0 ? , 而 f1 则 f (? x x

? ?) 上为 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (1) ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (?1) ,又 f ( x ) 在 (0,
增函数,则奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上为增函数, 0 ? x ? 1, 或 ?1 ? x ? 0 . 10.D.由题意知直线

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b 1 1 a b

1 1 1 ? a 2 b2

≤ 1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

另解:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ? 9、若直线

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( ) a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b
x ?1 ? ?2t , x ? 2, ? 2 10、设 f(x)= ? ?logt ( x ? 1), x ? 2,

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

则不等式 f(x)>2 的解集为

(A)(1,2) ? (3,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞)

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)

11、 )设 a>0,n ? 1,函数 f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式 logn(x2-5x+7) >0 的解集为_______ 12、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C.

9 2

D.

11 2

解析:考察均值不等式

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4

2

13、 设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ? 成立,则实数 m 的取值范围是 【答案】D .

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 m ? ?

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。

3 x2 2 2 2 2 依据题意得 2 ? 1 ? 4m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4(m ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题, 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 14、若对任意 x ? 0 , 【答案】 a ≥

x ≤ a ,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

.

1 5

1 ≥ 2 (当且仅当 x ? 1 时等号成立) , x x 1 1 x 1 1 1 则 2 的最大值为 ,故 a ≥ . = ≤ ? ,即 2 x ? 3x ? 1 5 5 x ? 3x ? 1 x ? 3 ? 1 2 ? 3 5 x
【解析】因为 x ? 0 ,所以 x ? 【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题,以及利用基本不等式求最值等知识,属于 中档题. 15、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
解析: (Ⅰ) f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a l a ? 1 ?ax 2 ? x ? a ? 1 ? 1( x ? 0) ,f ?( x) ? ? a ? 2 ? ( x ? 0) x x x x2

令 h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a( x ? 0) (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ? x ? 1( x ? 0) ,当 x ? (0,1), h (x ) ? 0, f ? (x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调 递减;当 x ? (1, ??), h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增.
2 (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ? 1. a

1 时 x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 2 1 1 当 0 ? a ? 时, ? 1 ? 1 ? 0 , x ? (0,1) 时 h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 2 a 1 x ? (1, ? 1) 时, h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. a 1 当 a ? 0 时 ? 1 ? 0 ,当 x ? (0,1), h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; a
当a ? 当 x ? (1, ??), h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. 综上所述:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减, (1, ??) 单调递增;

1 时 x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减; 2 1 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减, (1, ? 1) 单调递增, ( ? 1, ?? ) 单调递减. 2 a a
当a ? (Ⅱ)

1 时,f ( x ) 在 (0, 1) 上是减函数, 在 (1, 2) 上是增函数, 所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 有 f ( x1 ) ? f (1) ? - , 2 1 又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ??1,2? , (※) 2
(Ⅱ) 当a ? 又 g ( x) ? ( x ? b) ? 4 ? b , x ?[1, 2]
2 2

当 b ? 1 时, g ( x)min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 与(※)矛盾; 当 b ??1, 2? 时, g ( x)min ? g (1) ? 4 ? b2 ? 0 也与(※)矛盾; 当 b ? 2 时, g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b ? ? , b ? 综上,实数 b 的取值范围是 [

1 2

17 . 8

17 , ?? ) . 8

【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究

函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题, 考查了同学们分类讨论的 数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性; (2)利用导数求出 f ( x ) 的最小值、 利用二次函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区间[1,2]上的最大值, 然后解不等式求参数。

16、设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值是 xz



【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ?

x ? 3z y2 ,代入 得 2 xz

x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x =3 z 时取“=” . 4 xz 4 xz
【答案】3 17、


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