专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷[1]

专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷

一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( A. 1 公里 C. cos10°公里 B. sin10°公里 D. cos20°公里 ( ) )

2. 已知三角形的三边长分别为 x2+x+1,x2-1 和 2x+1(x>1),则最大角为 ?A. 150° B. 120°
2

C. 60°
2

D. 75° ( )

3.在△ABC 中, tan A ? sin B = tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 C.等腰三角形 4.在△ABC 中,一定成立的等式是 A.asinA=bsinB C.asinB=bsinA 5.在△ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( A. 等腰三角形 C. 直角三角形 B.acosA=bcosB D.acosB=bcosA B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

(

)

1 )=lgsinA=-lg 2 , 则△ABC 为 c
B. 等边三角形 D. 等腰直角三角形





6.在△ABC 中, a = 4 sin 10°, b = 2 sin 50°, ∠C = 70° ,则△ABC 的面积为





1 8 1 C. 2
A.

B.

1 4

D. 1

7.若

sin A cos B cos C = = 则△ABC 为 a b c
B.等腰三角形





A.等边三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形

D.有一个内角为 30°的等腰三角形 ( )

8.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 A. 90° C. 135° B. 120° D. 150° ( )

9.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 A.b = 10,A = 45°,B = 70° C.a = 7,b = 5,A = 80°
°

B.a = 60,c = 48,B = 100° D.a = 14,b = 16,A = 45°

10.在三角形 ABC 中,已知 A = 60 ,b=1,其面积为 3 ,则

a+b+c 为 sin A + sin B + sin c

(

)

A. 3 3

B.

2 39 3 39 2

C.

26 3 3

D.

11. 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第三 辆车的距离 d 2 之间的关系为 A. d1 > d 2 C. d1 < d 2 B. d1 = d 2 D. 不能确定大小 ) ( )

12.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高为(

? A.

400 米? 3

B.

400 3 米 3

C. 200 3 米?

D. 200 米

二、填空题,本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把正确的答案写在题中横线上.

13. 在△ABC 中,若 c = 10 2 , C = 60° , a =

20 3 ,则 A = 3



14. 在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为 15. 在锐角△ABC 中,已知 A = 2 B ,则的

. .

a 取值范围是 b

16. 在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD =

7 ,那么 BC= 2

.

17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是 18. 在△ABC 中,已知 tan A =



1 1 , tan B = ,则其最长边与最短边的比为 2 3



三、解答题, 本大题共 5 小题,共 66 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤.
19. (本小题满分 12 分)

为了测量上海东方明珠的高度, 某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5 , 前进 38.5m 后, 到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0 .试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m).
o

o

20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 ( a ? b ) sin( A + B ) = ( a + b ) sin( A ? B ) ,判定 ?ABC 的形状.
2 2 2 2

(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B), (sin^A+sin^B)sin(A-B)=(sin^A-sin^B)sin(A+B) sin^A*(sin(A+B)-sin(A-B))=sin^B*(sin(A-B)+sin(A+B)) sin^A*2cosAsinB=sin^B*2sinAcosB sin^A*2cosAsinB-sin^B*2sinAcosB=0 sinAsinB(sin2A-sin2B)=0 sin2A=sin2B 2A=2B 或 2A+2B=180 度 A=B 或 A+B=90 度 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形

21. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,最大角 A 为最小角 C 的 2 倍 ,且三边 a、b、c 为三个连续整数, 求 a、b、c 的值.

a/c=sinA/sinC=sin2C/sinC=2cosC 由题意: a/c=(b+1)/(b-1) (b+1)/(b-1)=2*(a^2+b^2-c^2)/2ab 又 a=b+1,c=b-1 所以 化简得:b=5 所以 a=6,b=5,c=4
22. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , 若 9a 2 + 9b2 ? 19c 2 = 0 在 △ ABC 中 , 若 9a 2 + 9b2 ? 19c 2 = 0 , 试 求
tan A tan B 的值. (tan A + tan B) tan C

最佳答案 因为 9a^2+9b^2-19c^2=0,所以 a^2+b^2=(19/9)c^2 tanAtanB/[(tanA+tanB =cotC/(cotA+cotB) cotA+cotB=cosA/sinA+cosB/sinB =(cosAsinB+sinAcosB)/(sinAsinB) =sin(A+B)/(sinAsinB)=sinC/(sinAsinB) cotC=cosC/sinC 所以原式=cosC*sinA*sinB/(sinC)^2 由正弦定理,sinA*sinB/(sinC)^2=sinA/sinC*sinB/sinC=ab/c^2 由余弦定理,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=5(c^2)/9ab 所以原式=5(c^2)/9ab*ab/c^2=5/9

23. (本小题满分 14 分) 如图,已知 O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC=1,点 P 是 O 上半圆 上的一个动点,以 PC 为边作正三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 两侧. (1)若 ∠POB = θ ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 θ 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值.

【选做题】 下面是一道选择题的两种解法,两种解法看似都对,可结果并不一致,问题出在哪儿? 【题】在△ABC 中,a=x,b=2,B= 45 ,若△ABC 有两解,则 x 的取值范围是( ) A. ( 2, + ∞ ) B.(0,2) C. 2, 2 2
o o

(

)
2x 4

D.

(

2, 2

)

【解法 1】△ABC 有两解,asinB<b<a,xsin 45 <2<x, 即 2 < x < 2 2, 故选 C.

【解法 2】

a sin A

=

b sin B

, sin A =

a sin B b

=

x sin 45o 2

=

.

△ABC 有两解,bsinA<a<b, 2 ×

2x 4

< x < 2, 即 0<x<2, 故选 B.

专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 B 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题 13. 45o 三、解答题 19.468m 22.
5 9

14. 5 2

15.

(

2, 3

)

16.9

17. ( 5,

13)

18. 5 : 3

20.等腰三角形或直角三角形 23. (1) sin θ ? 3 cos θ +

21.a=6,b=5,c=4
(2)2+

5 4

3

5 4

3

【选做题】方法 1 正确.


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