3我的讲义 均值不等式

均 值 不 等 式 学 习 指 要
高三总复习教学案例------不等式专题(1)
高三数学组 刘海江

算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式 (亦称重要不等式或基本不 等式) ,它是不等式的重要内容,也可以说是不等式中的精华。 在证明不等式及利用不等 式求最值的问题中有着非常广泛的应用。下面结合这届学生的学情,及教学大纲的要求,对 这一知识点所涉及的内容、方法进行归纳、总结。

一、 基础知识总结(重点记忆)
2 2 1、 如果 a ? R, b ? R, 则 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,取“=” ) 。

2、 如果 a , b 都是正数,则 定义“

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,取“=” )——均值定理。 2

a?b ”叫做 a 、 b 的算术平均数, ab 叫做 a 、 b 的几何平均数,则上述不 2

等式即为“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。 3、 由 “

a?b ? ab( a ,b 都大于 0) ” 可以看出: 若 ab = s (为定值) , 则a ? b在a ? b 2

时,取得最小值 2 s ;若 a ? b = s(为定值) ,则 ab 在 a ? b 时,取得最大值

s2 。 4

4、 八种变式: ① ab ?

a?b 2 a2 ? b2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ; ③( ) ? ; ② ab ? ( 2 2 2 2 1 1 4 a2 ? 2a ? b ;⑥a>0,b>0,则 ? ? ; a b a?b b

2 2 ④ a ? b ? 2(a ? b ) ;⑤若 b>0,则

1 1 2 4 1 1 1 1 1 2 ? ) ? ; ⑧ 若 ab ? 0 ,则 2 ? 2 ? ( ? ) 。 a b ab 2 a b a b 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ a ? b ” 。
⑦若 a>0,b>0,则 (

二、 均值定理的应用特点(典例剖析)
1、 抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环,根据结论与条件,要想促使结论与 条件的“沟通” ,必须仔细分析结构特点,选用恰当的不等式或变式; 例 1、正数 a 、 b 满足 a ? b =1,
-1-



(a ? 1)(b ? 1)

的最大值 。

思考: (1)本题是求“积”的最大值,常规是向“和”或“平方和”转化,并根据“和” 或“平方和”是否是定值,做出选择。 (2)要利用 a ? b =1,就必须去掉根号,因此要向“平方和”转化,那么应用变 式①也就顺理成章了。 解: ∵

(a ? 1)( b ? 1) ?

(a ? 1) ? (b ? 1) 3 ? , 当且仅当 2 2


?(a ? 1) ? (b ? 1) ? ? a ?b ?1
3 。 2



a?b?

1 时取得“=” 。 2

(a ? 1)(b ? 1)

的最大值是

例 2、已知正数 a 、 b 满足 a ? b =1, 求 (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 最小值; 思考:将条件与结论放在一起,可以看出,要想从条件式推出结论式,必须完成从 “和”向“平方和”的转化;若从结论入手转化,再利用条件,就必须完成从“平方和” 向“和”的转化。显然,不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件,都离不开变 式④。 解:∵ a ? b ?

2(a 2 ? b 2 ) ,∴ (a ? 1) ? (b ? 1) ? 2[( a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ]

?3?

2[( a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ?


9 , 2

当且仅当 a ? b ?

1 时 2

取得“=’。

(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 最小值是

9 。 2

2、 转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用,除了要会从结构入手分析外,必要的“技术处理”还必须掌 握,如: “配系数” (将“ x ”写成“

1 1 ? 2 x ”或“ 2 ? x ” ) ; 2 2

“拆项” (将“

1 x 2 ? 3x ? 3 ? 1” ”写成“ ( x ? 1) ? ) ; x ?1 x ?1

“加、减凑项” (将“ x ”写成“ ( x ? 1) ? 1 ” ) ; “升降幂” ( a ? 0, a ? ( a ) 2 ) 等都是常用的“技术处理”方法。 例3、 已知 a ? 0, b ? 0 ,求证:

a b

?

b a

? a? b

思考:从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合,可从此式入手。 解:∵ 若 b>0,则

a2 ? 2a ? b , ∴ b

a b

? 2 a ? b ??①

b a
-2-

? 2 b ? a ??②

∴由 ① + ②

?

a b a2 ?

?

b a

(此题还有诸多证法,在此略) ? a ? b。

例 4、已知 a ? b ? 0



16 的最小值。 b( a ? b)

思考:本题求“和”的最小值,但“积”并不是定值,故需要进行“拆项”变形等“技 术处理” ,注意到 b ? (a ? b) ? a ,容易找到解题的突破口? 解:由 a ? b ? 0 ? b(a ? b) ?

[b ? (a ? b)]2 a 2 16 2 ? ,于是 a ? ≥ 4 4 b( a ? b)
即 a ? 2 2, b ?

a2 ?

? b ? a?b 64 16 2 a ? ? 16 = ,当且仅当 ? a 2 ? 64 a2 a2 ? a2 4
16 的最小值是 16。 b( a ? b)
2

2 时取“=”

∴a ?
2

另外也可由 a ?

16 16 = [b ? (a ? b)]2 ? = ? ≥ b( a ? b) b( a ? b)

4b(a ? b) ?

16 ? 16 来求得此最小值。 b( a ? b)

三、 使用均值定理的注意事项(易错提醒)
1、 应用均值不等式求最值方便、快捷,但必须注意条件 “一正、二定、三相等” , 即 涉及的变量都是正数, 其次是和(平方和)为定值或积为定值, 然后必须注意等 号可以成立。 如 sin x ?
2

4 的最小值是 5 ; sin 2 x

但使用均值不等式容易误解为

是 4,因为 sin x ?
2

4 不成立(不能取“=” ) 。 sin 2 x

2、 在使用均值不等式时,要注意它们多次使用再相加相乘的时候,等号成立的条件是 否一致。如例 4,要保证两次均值不等式的取等条件相同(同时满足) 。 3、 在使用均值定理求最值的时候,如果等号成立的条件不具备,应考虑用函数的单调 性来解决。如求 sin x ?
2

4 4 的最小值,可利用函数 f ( x) ? x ? 的单调性来 2 x sin x

解决。 4、记忆一些常用结论: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca , a ?
2 2 2

1 ? (?? ,?2 ? ? ?2,?? ) a

(ac ? bd) 2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ,
-3-

a2 ? b2 a ? b ? ? ab ? 2 2

1 a

2 1 ?b

( a, b ? R ? ) (四个平均数的大小关系)

四、 应用举例:循序渐进,学会变型(配套训练)
例练 1 、求 y ? x ?

1 , x >0 x

的最小值。

( = 2 )

变形 1、求 y ?

x2 ? 4 , x

x>0 的最小值。

( = 4 )

变形 2、求 y ?

sin x , (0 ? x ? ? )的最大值。 sin 2 x ? 1 1 , x ? 1 的最小值。 x ?1

( =

1 ) 2

变形 3、求 y ? x ?

( = 3 )

变形 4、求 y ?

x 2 ? 2x ? 2 , x ? 1 的最小值。 x ?1
x ?1 , x ? 1 的最大值。 x ? 2x ? 2
2

( =

2 )

变形 5、求 y ?

( =

1 ) 2 1 ] ) 3

引申、求函数 y ?

x 的值域。 x ? x ?1
2

( [ - 1 ,

? 例练 2、设 a, b ? R 且 a ? b ? 1 ,求证: a ?

1 1 ? b? ?2 2 2

2 2 2 2 例练 3、设 m, n, x, y 满足 m ? n ? a, x ? y ? b(a ? b) ,求 mx ? ny 的最大值。



ab )

-4-


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