20080620高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)_图文

两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 余弦、

问题提出

1.两角差的余弦公式是什么? 1.两角差的余弦公式是什么?它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式? 基本变式?

cos(α ? β ) = cosαcosβ + sin αsin β
cosα = cos[(α + β ) ? β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sin β

cosβ = cos[(α ? β ) ? α ] = cos(α ? β )cosα + sin( α ? β )sin α
(cos a + cos b ) + (sin a + sin b ) - 2 cos(a - b ) = 2
2 ? [(cosα ? cosβ )2 + (sin α ? sin β )2 ] cos(α ? β ) = 2
2 2

2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题,但范围太窄, 些问题,但范围太窄,我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式, 础上获取一系列有应用价值的公式,实 现资源利用和可持续发展战略. 现资源利用和可持续发展战略.

3.有了两角差的余弦公式, 3.有了两角差的余弦公式,自然想得到 有了两角差的余弦公式 两角差的正弦、正切公式, 两角差的正弦、正切公式,以及两角和 的正弦、余弦、正切公式,对此, 的正弦、余弦、正切公式,对此,我们 将逐个进行探究,让希望成为现实. 将逐个进行探究,让希望成为现实.

探究( 探究(一):两角和与差的基本三角公式

思考1:注意到α+β=α―(―β),结 思考1 注意到α α―(―β), 合两角差的余弦公式及诱导公式, 合两角差的余弦公式及诱导公式, cos(α+β)等于什么? cos(α+β)等于什么? 等于什么 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. cos(α+β)=cosαcosβ- 思考2 上述公式就是两角和的余弦公式, 思考2:上述公式就是两角和的余弦公式, C (a + b ) 该公式有什么特点? 记作 ,该公式有什么特点?如何 记忆? 记忆?

思考3 思考3:

p 诱导公式 sin( ? a ) 2

cosa

可以实

现由正弦到余弦的转化, 现由正弦到余弦的转化,结合 C ( a + b ) 和 C ( a - b ) 你能推导出sin(α+β), 你能推导出sin(α β), sin(α+ sin(α-β)分别等于什么吗 分别等于什么吗? sin(α-β)分别等于什么吗? sin(α+β)=sinαcosβ+ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ- sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 思考4 思考4:上述公式就是两角和与差的正 S 弦公式, 弦公式,分别记作 S ( a + b ) , ( a - b ),这两 个公式有什么特点?如何记忆? 个公式有什么特点?如何记忆?

思考5 正切函数与正弦、 思考5:正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系, 出发, 存在商数关系,从 S ( a ± b ) 、 (a ± b ) 出发, tan(α+β)、tan(α-β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α+β)、tan(α-β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
tan a + tan b tan(a + b ) = , 1 - tan a tan b

tan a - tan b tan(a - b ) = . 1 + tan a tan b

思考6 思考6:上述公式就是两角和与差的正切 T 公式, 公式,分别记作 T ( a - b ), ( a + b ) ,这两 个公式有什么特点?如何记忆? 个公式有什么特点?如何记忆?公式成 立的条件是什么? 立的条件是什么?

思考7 为方便起见, 思考7:为方便起见,公式S (a + b ), C ( a + b ), T ( a + b ) 称为和角公式,公式S ( a - b ), Ca - b , 称为和角公式 和角公式, T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 称为差角公式 怎样理解这6 差角公式. 式的逻辑联系? 式的逻辑联系?
C(α-β) (α- T(α-β) (α- S(α-β) (α- S(α+β) (α+ C(α+β) (α+ T(α+β) (α+

探究( 探究(二):两角和与差三角公式的变通

思考1 思考1:若cosα+cosβ=a,sinα-sinβ= + = , - = b,则cos(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a 2 + b2 - 2 cos(a + b ) = 2

思考2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= + = , + = b,则sin(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a 2 + b2 - 2 sin(a + b ) = 2

思考3 tanα+ 思考3:根据公式 Tα + β,tanα+tanβ 可变形为什么? 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) + 1 思考4 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC ABC中 tanA,tanB, 三者有什么关系? 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5 sinx+cosx能用一个三角函数表 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4

理论迁移
3 是第四象限角, 例1 已知 sin α = ? ,α是第四象限角, 5 π p π 的值. 求 cos( + α ) , sin( ? α ) , tan( a - ) 的值.
4

4

4

求下列各式的值: 例2 求下列各式的值: cos75° (1)cos75°; )sin20°cos50° sin70°cos40° (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°;
1 + t an 15 (3 ) o ; 1 - t an 15
o

(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° tan17° tan28°+tan17°tan28°
sin(2a + b ) sin b 求证: 求证: sin a - 2 cos(a + b ) = sin a

例3

.

小结作业

1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα ? β 是两角和与 差的三角系列公式的基础, 差的三角系列公式的基础,明确了各公 式的内在联系, 式的内在联系,就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) , ( a + b 与 Cα ? β 2.公式 ) T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同,但运算 的结构相同, 符号不同,必须准确记忆,防止混淆. 符号不同,必须准确记忆,防止混淆.

3.公式都是有灵性的, 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 公式都是有灵性的 硬套,要注意整体代换和适当变形. 硬套,要注意整体代换和适当变形.

作业: 作业:
P131练习:3,4,5,6. P131练习: 练习


相关文档

高一数学必修4课件 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
高一数学 第三章3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学案
高一数学 第三章3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案
高一数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新人教A版
高一数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版
高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式2
高一数学(两角和差的正弦、余弦和正切公式(3))
电脑版