高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1导数与函数的单调性教材基础素材北师大版选修2_2

3.1.1 导数与函数的单调性 导数是依照实际问题为背景提出的概念 .利用函数的导数可以研究函数的许多性质 ,这 节课我们就利用导数来研究函数的单调性. 高手支招 1 细品教材 一、函数的单调性 状元笔记 如何判断一个函数是增函数还是减函数呢? 可以根据定义,在区间内任取两个数 x1,x2,先假设 x1<x2,然后比较 f(x1)与 f(x2)的大小,f(x1) <f(x2)则是增函数;f(x1)>f(x2)则是减函数. 1.增函数和减函数 (1)增函数:对于任意的两个数 x1,x2∈I,如果当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x) 就是区间 I 上的增函数. (2)减函数:对于任意的两个数 x1,x2∈I,如果当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x) 就是区间 I 上的减函数. 2.函数的单调性 如果函数 f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说 f(x)在这个区间上具有单调性. 二、用导数判断函数单调性的法则 状元笔记 一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 ,说明函数在这个范围内变化 得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”. 1.切线的斜率和 f(x)的导数的关系 (1)切线的斜率为正,f′(x)>0;切线的斜率为负,f′(x)<0. (2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于 向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于 ? 、小于 π ,函数曲线呈向下减小状 2 ? ,函数曲线呈 2 态. x -x 【示例】 证明函数 f(x)=e +e 在[0,+∞)上是增函数. 思路分析:只需证明 f′(x)在[0,+∞)上大于等于零恒成立. 证明:f′(x)=(e )′+( x x x 2 1 1 ?1 x x -x ( e ) ? )′=e +( )=e -e = , x x x e e e ∵当 x∈[0,+∞)时,e ≥1,∴f′(x)≥0. x -x ∴f(x)=e +e 在[0,+∞)上为增函数. 2.用导数判断函数的单调性 状元笔记 对于可导函数 f(x)来说,f′(x)>0 是函数 f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要 3 条件,f′(x)<0 是函数 f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x 在 R 上为增函数,但 f′(0)=0,所以在 x=0 处不满足 f′(x)>0. (1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 :在某个区间(a,b)内,如果 f′(x) >0,那么函数 f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 f(x)在这个区间内单 调递减. 2 【示例】 f(x)=5x -2x 的单调增区间为 ?( ) 1 1 ,+∞) 5 1 D.(-∞, ? ) 5 A.( B.(-∞, 1 ) 5 C.( ? 1 ,+∞) 5 思路分析:求 f′(x),解不等式 f′(x)>0. 答案:A (2)利用导数判断函数单调性的一般步骤: ①求导数 f′(x); ②在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; ③根据②的结果确定函数 f(x)的单调区间. 【示例】求下列函数的单调区间. 4 2 2 (1)y=x -2x +6;(2)y=-lnx+2x . 思路分析:求出导数 y′,分别令 y′>0 和 y′<0,解出 x 的取值范围,便可得出单调区间. 3 3 解:(1)y′=4x -4x,令 y′>0,即 4x -4x>0,解得-1<x<0 或 x>1,所以单调增区间为(-1,0) 和(1,+∞). 令 y′<0,解得 x<-1 或 0<x<1,因此单调减区间为(-∞,-1)和(0,1). 1 1 1 1 1 ,令 y′>0,即 4x- >0,解得 <x<0 或 x> ;令 y′<0,即 4x- <0,解 x x 2 2 x 1 1 得 x< ? 或 0<x< . 2 2 1 1 ∵定义域为 x>0,∴单调增区间为( ,+∞),单调减区间为(0, ). 2 2 (2)y′=4x高手支招 2 基础整理 本节是通过联系单调性的定义和斜率的结构式来得到函数的导数与单调性的关系的 .利 用导数解决含有参数的单调性问题,一般是将问题转化为不等式的恒成立问题 ,要注意分类 讨论和数形结合思想的应用. 2

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