高中数学 平面解析几何归纳与整理_图文

归纳与整理 直线的斜率与倾斜角 点斜式→斜截式 直线的方程 两点式→截距式 一般式 平行 直线 两条直线的位置关系 垂直 相交 平面上两点间距离公式 中点坐标公式 基本计算公式 平面直角坐标系 平面解析几何初步 圆的方程 点到直线的距离公式 两平行直线间的距离公式 圆的标准方程 圆的一般方程 相离 直线与圆的位置关系 相切 相交 圆 外离 外切 圆与圆的位置关系 相交 内切 内含 右手直角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离 专题一 专题二 专题三 专题一 对称问题 本章的对称主要有以下五种: (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点为P'(2a-x,2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. 设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0,y0),求l关于点P的对 称直线方程. 设P'(x',y')是对称直线l'上任意一点,它关于P(x0,y0)的对称点(2x0x',2y0-y')在直线l上,代入得A(2x0-x')+B(2y0-y')+C=0. 专题一 专题二 专题三 (3)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),若P关于l的对称点Q的坐标为 (x,y),则l是PQ的垂直平分线,即①PQ⊥l;②PQ的中点在l上.解方程 组 -0 -0 +0 ·2 = -1, +0 2 · + · 可得 Q 点的坐标. + = 0, (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对称. (5)对称的应用:光线反射、最短距离、圆等. 专题一 专题二 专题三 【例1】 求直线l:2x+3y-6=0关于原点对称的直线l'的方程. 解:(方法一)在直线l上取两点(3,0),(0,2),它们关于原点的对称点 分别为(-3,0),(0,-2). ∴直线 l'的方程为 + =1 即 2x+3y+6=0. -3 -2 (方法二)在直线 l 上取一点(0,2),它关于原点的对称点为(0,-2). ∵直线 l 与直线 l'关于原点对称, ∴kl'=kl=-3. 2 ∴直线 l'的方程为 y=-3x-2. (方法三)设直线l'上任取一点(x,y),它关于原点的对称点(-x,-y)在 直线2x+3y-6=0上, ∴2(-x)+3(-y)-6=0, 即2x+3y+6=0为直线l'的方程. 2 专题一 专题二 专题三 专题二 待定系数法 解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重要的问题,求解此 类问题时常使用待定系数法,待定系数法的典型特征,就是所研究 的式子(方程)的结构是确定的,但它的系数(部分或全部)是待定的, 根据题目所给的条件,列出待定系数所满足的关系式,解方程或方 程组即可获解. 【例2】 求与圆x2+y2-4x-2y-4=0及直线y=0都相切且半径为4的 圆的方程. 思路分析:因为所求圆与直线y=0相切,所以其半径即为圆心纵 坐标的绝对值,利用相切两圆的半径与圆心距的关系,即可求得圆 心的横坐标,从而求出圆的方程. 专题一 专题二 专题三 解:设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由圆C与直线y=0相切且半径为4,故圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4). 已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 由两圆相切,得CA=4+3=7,或CA=4-3=1. (1)当圆心 C 的坐标为 (a,4)时 ,(a-2)2+(4-1)2=72, 或 (a-2)2+(4-1)2=12(无解舍去 ).解得 a=2±2 10. 此时所求的圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或 (x-2+2 10)2+ (y-4)2=16. (2)当圆心 C 的坐标为 (a,-4)时 ,(a-2)2+(-4-1)2=72 或 (a-2)2+(-4-1)2=12(无解舍去 ). 解得 a=2±2 6. 此时所求圆的方程为 (x-2-2 6)2+(y+4)2=16, 或 (x-2+2 6)2+(y+4)2=16. 专题一 专题二 专题三 专题三 数形结合思想的应用 解析几何的主要思想就是利用方程来研究曲线,它是数形结合思 想的具体体现.另外,我们也可以形助数,利用图形巧妙处理数的问 题,解题的关键是认真观察式子的结构特征,挖掘其中所蕴含的几 何意义. 专题一 专题二 专题三 【例3】 已知曲线C:x= 4- 2 和直线y=k(x-1)+3只有一个交点, 求实数k的取值范围. 解:曲线C的方程可化为x2+y2=4,x≥0, ∴曲线C表示以(0,0)为圆心,2为半径的右半圆,直线过定点M(1,3). 由下图可得kAM=1,kBM=5, ∴1≤k<5. 又 |- +3| 1+ 2 =2, 化简 ,得 3k2+6k-5=0, 解得 2 6 k=-1± (舍正). 3 2 6 . 3 综上 ,实数 k 的取值范围是 1≤k<5 或 k=-1- 专题一 专题二 专题三 ∵点 C 到直线 y=kx 的距离是 d= ∴当 |3-3 | +1 2 |3-3| 2 +1 , = 6,即 k=3±2 2时,OP 与圆相切 , 专题一 专题二 专题三 ∴的最大值与最小值分别是 3+2 2,3-2 2. 再设 x+y=u,则 y=-x+u, 由图可知 ,当直线 y=-x+u 与圆 C 相切时 ,截距 u 取最值 . ∵圆心 C(3,3)到直线 y=-x+u 的距离 d= 当 |6-| 2 |6-| , 2 = 6 ,即 u=6±2 3时 ,直线 y=-x+u 与圆相切 . ∴x+y 的最大值和最小值分别是 6+2 3和 6-2 3. 思品感悟解这类问题要注意k,u的几何意义,可以用几何法求解, 也可以用

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