2015届高考数学第一轮知识点复习学案68.doc

1、两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,过 O 点作 OA = a ,
OB = b , 则 ∠ AOB = θ

(0°≤ θ ≤ 180° ) 叫做向量 a 与 b ;当 θ = 180° 时, a 与


b

.当 θ = 0° 时, a 与 b

; 如 果 a 与 b 的 夹 角 是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记 .



2、两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角 为θ ,则数量 即 a ·b = 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作 a · b , .规定零向量与任一向量的数量积为 0.若 a = .

(x1, y1), b =(x2, y2),则 a · b =

3、向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角. ⑴ e ·a =a ·e = ⑶ 当 a 与 b 同向时, a · b = = ⑷ cosθ = . .⑸ | a · b |≤ ⑵ a ⊥b
?

;当 a 与 b 反向时, a · b

4、向量数量积的运算律: ⑴ a ·b =
b )· c =

;⑵ (λ a )· b =

= a ·(λ b ) ⑶ ( a +

双基自测:

1.下列各命题正确的是
?


? ? ? ? ?
? ? ? ? ??

0?a ? 0 ; (1) (2) (3) 若 a ? 0, a ? b ? a ? c , 则b ? c ; (4) 若 ab 0? a ? 0 ; ?? ac ?

? ?
?



则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; ( 9)非零量 a, b , c, 若a ? b ? 0且b ? c ? 0,则a ? c (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立; (6)对任意向量 a , 有 a2 ? a 。 (7) ( 3
a
? ?2

?

?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

+2 b

)( 3

a

- 2 b

) =9|

a

|2 -

2 4| b |( 8)△ABC中,向量AB与BC 的夹角为 ?ABC

(9)两向量 a 和 b, a ? b的充要条件是 a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ,| a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和 b 的数量积 ? ? a ?b = 。

3. 若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 4、已知向量 a,b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2, ,则 2a ? b ? 5. 已知边长为 1 的正三角形 ABC 中,则 BC ? CA ? CA ? AB ? AB ? BC = 6. 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是__________. 典型例题: 例 1.已知 a ? 4, b ? 3 , (2a ? 3b ) ? (2a ? b ) ? 61 ⑴求 a 与 b 的夹角 ? ; ⑵求 a ? b ; ⑶若 AB ? a , AC ? b ,求 ?ABC 的面积.
??? ? ? ??? ? ?
? ?
?

??? ? ??? ? ??? ?

?

?

?

?

? ?

?

例 2:已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式 ? ? ? ? k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 , ①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大 小
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

例 3、平面内有向量

=(1,7) ,

=(5,1) ,

=(2,1) ,点

X 为直线 OP 上的一个动点. (1)当 · 取最小值时,求 的坐标;

(2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AXB 的值.

小结:

巩固练习: 1. 已知向量 a, b满足 | a |? 2, | b |? 3, | 2a ? b |? 37, 则a与b 的夹角为 2. 在 ?ABC 中, OA ? ? 2cos ? , 2sin ? ? , OB ? ?5cos ? ,5sin ? ? ,若 OA ? OB ? -5 ,
??? ? ??? ?

则 S?ABC ? 3、若向量 a , b 满足 a ? b ? 1, a与b 的夹角为 120°,则 a ? a ? a ? b = .
? 2 ? ?

4、在△ABC 中,若 AB ? AB? BC ? 0 ,则△ ABC 的形状为
o s ?? 5、 向量 a 与 b 的夹角为 ? , 则c a ? (3, 3) , 2b ? a ? (?11) ,,

?

?

?

? ?



6、 (2010 湖南理数)在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB ? AC = 7、 已知向量 a ? (1, 2),b ? (? 2,1) , 若正数 k 和 t 使得向量 x ? a ? (t 2 ? 1)b 与 y ? ?k a ? b 互相垂直,则 k 的最小值为 8 若正方形 ABCD 边长为 1, 点 p 在线段 AC 上运动, 则 AP. (PB+PD) 的取值范围是___________ 9 ( 2009 年江苏)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c=(cos β ,-4sinβ ) (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值 (2)求
b?c

1 t

的最大值

(3)若 tanα tanβ =16,求证 a‖b

10. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a

-c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k
2

??

?

?? ?

的值.

0

0

7

0

3

1

6

平面向量的数量积(二)
教学目标: 1 理解数量积的含义及物理意义; 2 掌握 数量积的表达式,会进行向量数量积的运算; 3 运用向量数量积解决一些简单综合问题。 基础训练:
? ? ? ? ? ? 1. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ?



2、已知向量 a=(3,-4) ,b=(2,x) , c=(2, y)且 a∥b, a ? c.则|b-c|= .
? ?? ? ??

3、已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 ? S ?

1 2

? ?? ? ?? 3 ,则 OF , FQ 夹 2

角 ? 的取值范围是_________; 4、设平面向量 a =(-2,1), b =(1, ? ),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取 值范围是 5、 O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足 ? OB ? OC ? ? ? OC ? OA? ? 0 , 则 ?ABC 一定为 三角形
??? ? ???? ???? ??? ?

6、在△ABC 中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,且△ABC 是直角三角形,则
k=

例题讲解 例 1.设两个向量 e1 , e2 满足: e1 ? 2, e2 ? 1 . e1 ,e2 的夹角为 600 ,若向量
? ? ? ? 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的范围.

? ?

?

?

? ?

例 2:已知向量 a ? (cos x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [ ,
2

3 2

3 2

x 2

x 2

? 3?
2

], 求

① a ? b及 | a ? b | ; ②求函数 f ( x) ? a ? b? | a ? b | 的最小值 ③若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? , 求?的值;
3 2

例 3:已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0, OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1, 求证: ?P1 P2 P3 是正三角形。

课后练习 1 . 已 知 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 1200 , a ? 1, b ? 3 , 则
? ? 5a ? b =
?

?

?

?


? ?
? ?

2.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ?
3.关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ?b = a ?c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2,

?

?

? ?

③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60? .

4. 已知向量 a ? (cos? , sin? ),向量b ? ( 3,?1),则| 2a ? b | 的最大值是 已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 5 、 O 为 平 面 上 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若

( OB

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ?OC )· ( OB ?OC ?2OA )=0,

则 .
??? ?
??? ?

?ABC 的形状是

6、 (2010 天津文数) 如图, 在Δ ABC 中,AD ? AB , BC ? 3 BD ,AD ? 1 , 则 AC ? AD = 7.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2PM ,


????

???? ????

??? ?

???? ?

则 PA ? (PB ? PC) 等于
科网

??? ? ??? ? ??? ?

[

8、 (2010 江苏卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、 B(2,3)、 C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。


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