【步步高】(广东专用)高考数学一轮复习 第四章 第4讲 函数y=asin(ωx+φ)的图象及性质 文(含解析)

第 4 讲 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及性质
一、选择题 π? ? 1.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图像( ) 3? ? π ?π ? A.关于点? ,0?对称 B.关于直线 x= 对称 3 4 ? ? π π ? ? C.关于点? ,0?对称 D.关于直线 x= 对称 3 ?4 ? π π ? ? ? ? 解析 由已知,ω =2,所以 f(x)=sin?2x+ ?,因为 f? ?=0,所以函数图像关于点 3? ? ?3? π ? ,0?中心对称,故选 A. ?3 ? ? ? 答案 A 2.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图像,只要将函数 y ? cos 2 x 的图像( A. 向左平移 1 个单位 C. 向左平移 B. 向右平移 1 个单位 D.向右平移 )

1 2

个单位

1 个单位 2

解析 因为 y ? cos(2 x ? 1) ? cos(2(x ? C. 答案 C

1 1 ) ,所以将 y ? cos 2x 向左平移 个单位,故选 2 2

π 3. 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )A>0,ω >0,|φ |< 的部分图 2 π 象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移 个单位后, 6 得到的图象对应的函数解析式为 ( A.y=sin 2x 2π ? ? C.y=sin?2x+ ? 3 ? ? 解析 B.y=cos 2x π? ? D.y=sin?2x- ? 6? ? ).

3 11π π 3π 2π 由所给图象知 A = 1 , T = - = , T = π ,所以 ω = = 2 ,由 4 12 6 4 T

π? π π π π ? π ? ? sin?2× +φ ?=1,|φ |< 得 +φ = ,解得 φ = ,所以 f(x)=sin?2x+ ?, 6 6? 2 3 2 6 ? ? ? π? π ? 则 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的函数解析式为 y= 6 6 ? ? π? ? ? π? π? ? sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ?,故选 D. 6 6? 6 ? ? ? ? ?

答案 D 4.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 φ (φ >0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 φ 的最小值为 π A. 6 B. π 3 π C. 4 ( D. π 12 ).

解析 将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 φ 个单位, 得到函数 y=sin 2(x+φ )=sin(2x π π +2φ )的图象,由题意得 2φ = +kπ (k∈Z),故 φ 的最小值为 . 2 4 答案 C 5. 如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立 如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若 初始位置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(注:此时 t ? 2 2?
( B . ).

=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间

t 的函数关系为
π? ?π A.y=sin? t+ ? 30 6? ? π? ? π sin?- t- ? 6? ? 60 π? ? π C.y=sin?- t+ ? 6? ? 30

y



π? ? π D.y=sin?- t- ? 3? ? 30

π 解析 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B,D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时 6 针旋转,即 T=? 答案 C π 6.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0,0<φ < )的图像 2 如图所示,则当 t= A.-5 安 C.5 3安 1 秒时,电流强度是( 100 B.5 安 D.10 安 )

?2π ?=60,所以|ω |=π ,即 ω =-π ,故选 C. ? 30 30 ?ω ?

T 4 1 1 解析 由函数图像知 A=10, = - = . 2 300 300 100
1 2π ∴T= = ,∴ω =100π . 50 ω ∴I=10sin(100π t+φ ).

又∵点?

? 1 ,10?在图像上, ? ?300 ? ? ?
1 +φ ? ? 300 ?

∴10=10sin ?100π ×

π π π ∴ +φ = ,∴φ = , 3 2 6 π? ? ∴I=10sin ?100π t+ ?. 6? ? 1 π? 1 ? 当 t= 时,I=10sin ?100π × + ?=-5. 100 6 ? 100 ? 答案 A 二、填空题 π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图像上的两个相邻的最高点和最 2 2? ? 低点的距离为 2 2,则 ω =________. 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2,而 f(x)max-f(x)min=2,由勾股定 理可得 = 2 答案 π 2

T

2

2

2π π 2 -2 =2,∴T=4,∴ω = = . T 2

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴完全 6? ?

? π? 相同,若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ?
解析 ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同, ∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等, ∵ω π? π π π 5π 1 ? > 0 ,∴ ω = 2 ,∴ f(x) = 3sin ?2x- ? ,∵0≤x≤ ,∴- ≤2x - ≤ ,∴- 6? 2 6 6 6 2 ? π? π? 3 ? ? ? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1,∴- ≤3sin?2x- ?≤3,即 f(x)的取值范围是?- ,3?. 6? 6? 2 ? ? ? 2 ?

? 3 ? 答案 ?- ,3? ? 2 ? ? π 5π ? 9.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ )(|φ |<π ),若? , ?是 f(x)的一个单调递增区间, 8 ? ?8
则 φ 的值为________. 解析 π 3π π φ 3π φ 令 +2kπ ≤2x+φ ≤ +2kπ ,k∈Z,k=0 时,有 - ≤x≤ - ,此 2 2 4 2 4 2

?π 5π ? 时 函 数 单 调 递 增 , 若 ? , ? 是 f(x) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 , 则 必 有 8 ? ?8

π φ π ? ?4-2≤8, ?3π φ 5π ? ? 4 -2≥ 8 , π φ≥ , ? ? 4 解得? π φ≤ , ? ? 4 答案 π 4

π 故φ = . 4

π 1 10.在函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的一个周期内,当 x= 时有最大值 ,当 9 2

x=

4π 1 ? π? 时有最小值- ,若 φ ∈?0, ?,则函数解析式 f(x)=________. 2? 9 2 ?

1 π 1 4π 1 解析 首先易知 A= ,由于 x= 时 f(x)有最大值 ,当 x= 时 f(x)有最小值- , 2 9 2 9 2 所以 T=? 1 ? π π ?4π -π ?×2=2π , ? 1 φ ∈?0,π ?, ω =3.又 sin?3× +φ ?= , ? ? ? 解得 φ = 6 , 9? 9 2? 3 2 ? ? 9 ? 2 ?

π? 1 ? 故 f(x)= sin?3x+ ?. 6? 2 ? 答案 π? 1 ? sin?3x+ ? 6? 2 ?

三、解答题 11.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos x. (1)将 f(x)的图像向右平移 求 g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. cos2x+1 解 (1)依题意 f(x)= 3sin2x+2· 2 = 3sin2x+cos2x+1 π? ? =2sin?2x+ ?+1, 6? ? 将 f(x) 的图像向右平移 π ? ? π? π? 个单位长度,得到函数 f1(x) = 2sin ?2?x- ?+ ? + 1 = 12 ? ? 12? 6 ? π 个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数 g(x)的图像, 12
2

2sin2x+1 的图像,该函数的周期为 π ,若将其周期变为 2π ,则得 g(x)=2sinx+1. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T=π ,

π π π 当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数单调递增, 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 3 6 π π? ? ∴函数的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 6? ? 12.已知向量 m=(sin x,1),n=( 3Acos x, cos 2x)(A>0),函数 f(x)=m·n 的最大 2 值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 1 ? 5π ? 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在?0, ?上的值域. 24 ? 2 ? 解 (1)f(x)=m·n= 3Asin xcos x+ cos 2x 2 =A? π? 1 ? 3 ? ? sin 2x+ cos 2x?=A sin?2x+ 6 ?. ? ? 2 ?2 ?

A

A

因为 A>0,由题意知 A=6. π? ? (2)由(1)知 f(x)=6sin?2x+ ?. 6? ? π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 12

y=6sin?2?x+12?+ ?=6sin?2x+ ?的图象; 3 6

? ? ? ?

π? π?

?

?

? ?

π?

?

π? 1 ? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin?4x+ ?的图 3? 2 ? 象. π? ? 因此 g(x)=6sin?4x+ ?. 3? ? π ?π 7π ? ? 5π ? 因为 x∈?0, ?,所以 4x+ ∈? , ?, 24 ? 6 ? 3 ?3 ?

? 5π ? 故 g(x)在?0, ?上的值域为[-3,6]. 24 ? ?
x π ?x π ? 13.已知函数 f(x)=2 3sin + cos? + ?-sin(x+π ). 2 4 ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6

π ]上的最大值和最小值.

? π? 解 (1)因为 f(x)= 3sin?x+ ?+sin x 2? ?
= 3cos x+sin x=2? 1 ? 3 ? cos x+ sin x? 2 ?2 ?

? π? =2sin?x+ ?, 3? ?
所以 f(x)的最小正周期为 2π . π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

? π? ? π? π ∴g(x)=f?x- ?=2sin[?x- ?+ ] 6 6? 3 ? ? ? ? π? =2sin?x+ ?. 6? ?
π ?π 7π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ?, 6 ? 6 ?6 π π π ? π? ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? 6 2 3 ? π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 6? 6 6 2 ? 14.设函数 f(x)= π? 2 ? 2 cos?2x+ ?+sin x. 4? 2 ?

(1)求 f(x)的最小正周期;

? π? ? π ? g(x)=1-f(x). (2)设函数 g(x)对任意 x∈R, 有 g?x+ ?=g(x), 且当 x∈?0, ?时, 求 2? 2? 2 ? ?
g(x)在区间[-π ,0]上的解析式.
解 (1)f(x)= = π? 2 ? 2 cos?2x+ ?+sin x 4 2 ? ?

π π 2? 1-cos 2x cos 2x cos -sin 2x sin ? + ? ? 4 4? 2 ? 2

1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π . 1 1 ? π? (2)当 x∈?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin 2x,故 2 2 2 ? ? π ? π? ? π ? ①当 x∈?- ,0?时,x+ ∈?0, ?. 2? 2 ? ? 2 ?

? π? 由于对任意 x∈R,g?x+ ?=g(x), 2? ? ? π ? 1 ? ? π ?? 从而 g(x)=g?x+ ?= sin?2?x+ ?? 2? 2 ? ? 2 ?? ?
1 1 = sin(π +2x)=- sin 2x. 2 2 π? ? ? π? ②当 x∈?-π ,- ?时,x+π ∈?0, ?. 2? 2? ? ? 1 1 从而 g(x)=g(x+π )= sin[2(x+π )]= sin 2x. 2 2 综合①、②得 g(x)在[-π ,0]上的解析式为 π? 1 ? sin 2x,x∈?-π ,- ?, ? 2? ?2 ? g(x)=? 1 ?-π ,0?. ? ? ?-2sin 2x,x∈? ? 2 ?


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