高中数学第二章变化率与导数3计算导数教学案北师大版选修2

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§3 计算导数

[对应学生用书P18]

对于函数 y=-x2+2.

问题 1:试求 f′(1),f′???-12???.

提示:f′(1)=li m - Δ x→0

+Δ x 2+2- -1+ Δx

=li m (-2-Δ x)=-2. Δ x→0

f′???-12???=liΔ

m
x→0

-???-12+Δ

x???2+2-???-14+2??? Δx

=li m (1-Δ x)=1. Δ x→0

问题 2:求 f′(x0)的值.







f′(x0)



li

Δ

m
x→0



x0+Δ x

2+2- Δx

-x20+

=li m Δ x→0

(-2x0-Δ x)=-

2x0.

问题 3:利用 f′(x0)可求 f′(1)和 f′???-12???吗?

提示:可以.只要令 x0=1,x0=-12.

问题 4:若 x0 是一变量 x,则 f′(x)还是常量吗? 提示:因 f′(x)=-2x,说明 f′(x)不是常量,其值随自变量 x 而改变.

1.导函数

若一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值记为 f′(x):f′(x)

f =li m
Δ x→0

x+Δ x -f Δx

x

,则 f′(x)是关于 x 的函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数,

简称为导数.

唐玲

2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数

导函数

y=c (c 是常数)

y′=0

y=xα (α 为实数)

y′=α xα -1

函数 y=sin x y=cos x

y=ax (a>0,a≠1) y′=axln_a 特别地(ex)′=ex

y=tan x

y=loga x (a>0, a≠1)

y′=xl1n a特别地(ln x)′=
1 x

y=cot x

导函数 y′=cos_x y′=-sin_x y′=cos12 x
y′=-sin12 x

1.f′(x)是函数 f(x)的导函数,简称导数,它是一个确定的函数,是对一个区间而言 的;f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x=x0 处的导数,它是一个确定的值,是函数 f′(x)的一 个函数值.
2.对公式 y=xα 的理解: (1)y=xα 中,x 为自变量,α 为常数; (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α -1)次幂的乘积,公式对 α ∈R 都成立.

[对应学生用书P19]

利用导函数定义求导数

[例 1] 求函数 f(x)=x2+5x 在 x=3 处的导数和它的导函数.

[思路点拨] 先用导函数的定义求 f′(x),再将 x=3 代入即可得 f′(3).

[精解详析] f′(x)=li m Δ x→0

x+Δ x 2+

x+Δ x - x2+5x Δx

=li m Δ x→0

2Δ x·x+

Δx Δx

2+5Δ x

唐玲

=li m (2x+Δ x+5)=2x+5. Δ x→0
∴f′(3)=2×3+5=11.

[一点通] 利用定义求函数 y=f(x)的导函数的一般步骤:

(1)确定函数 y=f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数;

(2)计算 Δ y=f(x+Δ x)-f(x);

(3)当 Δ x 趋于 0 时,得到导函数

f f′(x)=lim
Δ x→0

x+Δ x -f Δx

x

.

1.利用导数定义求 f(x)=1 的导函数,并求 f′(2),f′(3).

解:Δ

y=f(x+Δ

x)-f(x)=1-1=0,Δ Δ

xy=0.

Δ

x

趋于

0

时,Δ Δ

yx趋于

0.

所以 f′(x)=0.

所以有 f′(2)=0,f′(3)=0.

2.求函数 y= x的导函数.

解:Δ y= x+Δ x- x,

Δ Δ

y x=

x+Δ x- Δx

x =

1 x+Δ x+

, x

所以 y′=lim Δ x→0

Δ Δ

y x=Δlxi→m0

1

1

=.

x+Δ x+ x 2 x

利用导数公式求导数

[例 2] 求下列函数的导数.

(1)y=x13,(2)y=4 x,(3)y=log3x,(4)y= 1 . 5 x2

[思路点拨] (1)(3)直接套用公式,(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式,再求解.

[精解详析] (1)y′=(x13)′=13x13-1=13x12;

1

(2)y′=( 4

x)′=(x

4

)′=14x

1-1 4

=14x

?

3 4



唐玲

(3)y′=(log3x)′=xl1n 3;

(4)y′=???? 51x2????′=(x-25)′

=-25x

? 2 ?1 5

=-25x

?7 5

.

[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法:

(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;

(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征,

将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.

3.函数 y=sin???π2 -x???的导数是________. 解析:y=sin???π2 -x???=cos x,所以 y′=-sin x. 答案:-sin x 4.若 f(x)=x2-ex,则 f′(-1)=________. 解析:f′(x)=2x-ex,∴f′(-1)=-2-e-1.
答案:-2-e-1 5.求下列函数的导数:

(1)y=x2 014;(2)y=x33;(3)y=5x;(4)y=3 x2. 解:(1)y′=(x2 014)′=2 014x2 ; 013 (2)y′=???x33???′=-9x-4; (3)y′=(5x)′=5xln 5;

(4)y′=( 3

x2)′=

? ?

?

2
x3

? ? ?

2 ′=3

-1
x3

导数的综合应用

[例 3] 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离. [精解详析] 根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),该切

唐玲

点即为与 y=x 距离最近的点,如图. 则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1, 即 f′(x0)=1. ∵y′=(ex)′=ex, ∴ex0=1,得 x0=0,代入 y=ex,y0=1, 即 P(0,1). 2 利用点到直线的距离公式得最小距离为 2 . [一点通] 利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、
面积相关的最值问题.解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题,利用导数求解.

6.过曲线 y=1x上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标是(

)

A.???12,2??? C.???-12,-2???

B.???-12,-2???或???12,2??? D.???12,-2???

解析:由 y′=-x12=-4,得 x=±12,

故点 P 的坐标为???12,2???或???-12,-2???.
答案:B

7.曲线 y=1x与 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是

________.

解析:由???y=1x, ??y=x2

联立得交点为(1,1),

而???1x???′=-x12;(x2)′=2x,∴斜率分别为:-1 和 2, ∴切线方程为:y-1=-(x-1), 及 y-1=2(x-1). 令 y=0 得与 x 轴交点为(2,0)及???12,0???,

唐玲

∴S△=12·???2-12???×1=34.

答案:34

8.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的一条切线,求 k 的值.

解:设切点坐标为(x0,y0). ∵y=ln x,∴y′=1x.∴f′(x0)=x10=k.

∵点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上,

∴???y0=kx0, ① ??y0=ln x0, ②

把 k=x10代入①式得 y0=1,

再把 y0=1 代入②式求出 x0=e. ∴k=x10=1e.

1.f′(x0)与 f′(x)的异同:

区别

联系

f′(x0) f′(x0)是具体的值,是数值

在 x=x0 处的导数 f′(x0)是导函数

f′(x)

f′(x)是 f(x)在某区间 I 上每一点都 存在导数而定义的一个新函数,是函数

f′(x)在 x=x0 处的函数值,因此求函 数在某一点处的导数,一般先求导函 数,再计算导函数在这点的函数值.

2.在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题: (1)对于公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x,一是注意函数的变化,二是注 意符号的变化. (2)对于公式(ln x)′=1x和(ex)′=ex 很好记,但对于公式(logax)′=xl1n a和(ax)′ =axln a 的记忆就较难,特别要注意 ln a 所在的位置.

[对应课时跟踪训练 七

唐玲

1.设函数 f(x)=cos x,则???f???π2 ??????′=( )

A.0

B.1

C.-1

D.以上均不正确

解析:注意此题中是先求函数值再求导,所以导数是 0,故答案为 A.

答案:A

2.下列各式中正确的是( )

A.(logax)′=1x

B.(logax)′=lnx10

C.(3x)′=3x

D.(3x)′=3x·ln 3

解析:由(logax)′=xl1n a,可知 A,B 均错;由(3x)′=3xln 3 可知 D 正确.

答案:D

3.已知 f(x)=xα ,若 f′(-1)=-4,则 α 的值是( )

A.-4

B.4

C.±4

D.不确定

解析:f′(x)=α xα -1,f′(-1)=α (-1)α -1=-4,∴α =4.

答案:B 4.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( )

A.1

B.12

1 C.-2

D.-1

解析:因为 y′=2ax,

所以切线的斜率 k=y′|x=1=2a. 又由题设条件知切线的斜率为 2,

即 2a=2,即 a=1,故选 A.

答案:A

5.若 f(x)=x2,g(x)=x3,则适合 f′(x)+1=g′(x)的 x 值为________.

解析:由导数的公式知,f′(x)=2x,g′(x)=3x2.

因为 f′(x)+1=g′(x),所以 2x+1=3x2,

即 3x2-2x-1=0,解得 x=1 或 x=-13.

唐玲

答案:1 或-13 6.正弦曲线 y=sin x(x∈(0,2π ))上切线斜率等于12的点为________________. 解析:∵y′=(sin x)′=cos x=12, ∵x∈(0,2π ), ∴x=π3 或53π .

答案:???π3 , 23???或???5π3 ,- 23???

7.求与曲线 y=f(x)=3 x2在点 P(8,4)处的切线垂直,且过点(4,8)的直线方程.

解:∵y=3 x2,

2

∴y′=( 3

x2)′=(x

3

)′=23x

?1 3

.

∴f′(8)=23·8

?

1 3

=13.

即曲线在点 P(8,4)处的切线的斜率为13.

∴适合条件的直线的斜率为-3. 从而适合条件的直线方程为 y-8=-3(x-4). 即 3x+y-20=0. 8.求下列函数的导数: (1)y=log2x2-log2x;
(2)y=-2sin x2???1-2cos2x4???. 解:(1)∵y=log2x2-log2x=log2x, ∴y′=(log2x)′=x·1ln 2.

(2)y=-2sin x2???1-2cos2x4??? =2sin x2???2cos24x-1???

唐玲

=2sin x2cos x2=sin x, ∴y′=cos x.
唐玲


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