福建省宁化一中2017届高三8月阶段考试数学理试题(A卷)


宁化一中 2017 届高三上学期 8 月份阶段考试 理科数学 A 卷
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z ?

2i ? i 5 的共轭复数为 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i

( C. i ? 1 D. 1 ? i



2. 在映射 f : A ? B中, A ? B ? {( x, y) | x, y ? R},且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则与 A 中的元 素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为 A. ( ?3,1) B. (1,3) C. ( ?1,?3) D. (3,1) (
2 2





3.下列说法正确的是

)

A.“ ?a ? R ,方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有正实根”的否定为“ ?a ? R ,方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有负实根”
2 2 B.命题“ a、b ? R ,若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是“ a、b ? R ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,

则a ?b ? 0 ”
2 2

C.命题 p : 若回归方程为 ? y ? x ? 1,则 y 与 x 负相关;命题 q :数据 1,2,3,4 的中位数是 2 或 3.则 命题 p ? q 为真命题
2 D.若 X ~ N (1,4) ,则 P X ? t ? 1 ? P ? X ? 2t ? 成立的一个充分不必要条件是 t ? 1

?

?

? 4.设 ? ? {?1,1, , } ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为(

1 2 3 3

)

A. ? 1,

1 3

B. 1,

2 3

C. 1,

1 3

D. 1,

2 3


3 5.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? ( x ? 0) 的零点所在的大致区间是( x A. (0,1) B. (1,2) C. (2, e ) D. (3,4)
6.函数 f ? x ? ? a sin x ? bx 3 ? 1 , ( a, b ? R ) ,若 f (lg A. ? 2016 B. 2016 C . 2018
1

1 ) ? 2016, 则f (lg 2017) ? 2017
D. ? 2018

? ??2 x, ?1 ? x ? 0 7. 已知函数 f ( x) ? ? ,则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中,只可能 ? ? x ,0 ? x ? 1
是 ( ) B. y ?| f ( x) |

A. y ? f (| x |)

1

C. y ? f (? | x |)

D. y ? ? f (| x |)

8.甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场. 每场比赛没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 甲胜丙的概率为

2 , 3
第 7 题图 D.

1 1 ,乙胜丙的概率为 .则甲获第一名 4 5


且丙获第二名的概率; ( A.

11 12

B.

2 15
1

C.

1 30

1 6

9.关于函数 f ( x) ? (2 ?
x

1 ) ? x 3 和实数 m, n 的下列结论中正确的是( ) 2x
B. 若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) D. 若 f (m) ? f (n) 则 m ? n
3 3

A.若 ? 3 ? m ? n ,则 f (m) ? f (n) C. 若 f (m) ? f (n) 则 m ? n
2 2

10. 如图,面积为 8 的平行四边形 OABC ,对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交于点 E , 某指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 经过点 E、B ,则 a ? (
A. 2 B. 3 C.2 D.3



11 .已知函数 f ( x) ? ex , g ( x) ?
A, B 两点,则 AB 的最小值为 (
A. 2 12. 已 知 定 义 在 B. 2e ? ln R

1 x ? ln 的图象分别与直线 y ? m 交于 2 2
) C. e ?
2

第 10 题图

3 2

1 2

D. 2 ? ln 2

内 的 函 数 f ? x? 满 足 f

?

x ? 4? ?

?f ?

, 当 x ?? ?1 , ? 3时 , x

?t ?1 ? x x? ? 1 ? , 1 , ?8 ? ?, ? ? 则当 t ? ? , 2 ? 时,方程 7 f ? x ? ? 2x ? 0 的不等实数根的个数是 f ? x? ? ? 2 1 ? x ? 2 x , ? 1 , 3 , ?7 ? ? ? ? ? ? ?
A.3 B.4 C.5 D.6

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? { y | y ? 2 }, 则 ? ? ? ?
2 x

.

14.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成 绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方 案有 。 (用数字作答)

15. 已 知 函 数 y ? cos x 的 图 象 与 直 线 x ?

?
2

,x ?
2

3? 以及 x 轴所围成的图形的面积为 m ,若 2

10 10 , 则 a8 ? x10x? a ? ?0a ? a m mx ? )? x)a ? a m mx ? )2x???????? )2 ???????? a10a (10 m(? mx ? )10 x) 0a 1( 1 (? 2( 2 (?

(用数字作答).

16. 设过曲线 f ? x ? ? ?ex ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

g ? x ? ? ax ? 3cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

1? ? 已知 ? 3x ? ? 的展开式中各项的系数之和为 32 . x? ? 1? ? (1)求 ? 3x ? ? 的展开式中含有 x 的项的系数. x? ?
(2)求 ? x ?
n

n

? ?

1? ? 1? ? ? ? 3x ? ? 展开式中的常数项. x? ? x?

n

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 P : 函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ?? ?2, 2? 时,则 f ? x ? ? 2 恒成立。 (1)当命题 P 为真命题时,求实数 a 的取值集合 M ; (2)在(1)的条件下,当集合 E ? {a | a ? M } ? Z (Z 为整数集)时,求集合 E 的子集的个数。

19. (本小题满分 12 分) 某学校为了对教师教学水平和教师管理水平记性评价,从该校学生中选出 300 人进行统计,其中对教 师教学水平给出好评的学生人数为总数的 60%,对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 75%, 其中对教师教学水平和教师管理水平给出好评的有 120 人. (1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的 2 ? 2 列联表:
对教师管理水平好评 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 对教师管理水平不满意 合计

问:是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为教师的教学水平好评与教师管理水平好评 有关? (2)若将偏离视为概率,有 4 人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 为随机变量 X: ①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 X 的分布列(概率用组合数计算式表示) ;
3

②求 X 的数学期望和方差. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k
(参考公式: K ?
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0) 在区间 ?2,3? 上有最大值 4 和最小值 1 .设 f ( x) ? (1) 求 a 、 b 的值; (2) 若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? ?? 1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围; (3) 若 f ( 2 x ? 1 ) ? k ?

g ( x) x

2 2 ?1
x

? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ex ? ln x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底数 (1)求证:函数 f ( x) 存在极小值;

ex m 1 (2)若 ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,AD, CF分别是?ABC的中线和高线, PB, PC是?ABC外接圆O的切线
点E是PA与圆O的交点。
(1)求证: AC ? CD ? AF ? PC ;

4

(2)求证: DC平分?ADE 。

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? m ? ? 2 (t 为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 t ? 2 ? 坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 (1 ? 2 sin 2 ? ) ? 12 ,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上.
(I)求实数 m 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求

1 1 的值; ? AF BF

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? ) ? 2m ? 1( m ? 0) 的解集为 ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 ?
y

1 2

a ? | 2 x ? 3 | ,对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最小值. 2y

宁化一中 2017 届高三上学期 8 月份阶段考试 理科数学 A 卷参考答案
1 A 13. ? 0, 2? 2 A 3 D 14、36 4 C 15、180 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 C

16、 ? ?1, 2? 展开式中各项系数和为 2n+1=64,

17、解:解: (Ⅰ)令 x=1,则 解得:n=5. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 要求展开式的常数项,只需求 由通项公式得 令 5﹣2r=±1,得 r=2 或 r=3. 所以该展开式中的常数项为 =

, 的项. ,

展开式中含



5

18.解:

19.解:

6

20.

1 证明: (1)∵ f ( x) ? ex ? ln x ? 1 ,? f ?( x) ? e x ? ( x ? 0) , x ? ( f ?( x))? ? e x ? 1 ? 0 ,? 函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数, x2
………2 分

1 ? f ?( ) ? e ? 2 ? 0 , f ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且函数 f ?( x) 图像在 (0, ??) 上不间断, 2 1 ? ?x0 ? ( ,1) ,使得 f ?( x0 ) ? 0 , 2
结合函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数有: ………3 分

x

(0, x0 )
7

( x0 , ??)

f ?( x)

?

? 函数 f ( x) 存在极小值 f ( x0 ) .
(没体现单调区间扣 1 分) ………5 分

ex m 1 解: (2) ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立 2 x x 1 ? ?x ?[ , ??) ,使得不等式 m ? e x ? x ln x 成立(*) 2
1 令 h( x) ? ex ? x ln x , x ?[ , ??) , 2
则 h?( x) ? e x ? ln x ? 1 ? f ( x) ,

………6 分

? 结合(1)得: [h?( x)]min ? f ( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? 1 ,
1 1 其中 x0 ? ( ,1) ,满足 f ?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? ? 0 , x0 2 ? e x0 ? 1 , x0 ? ? ln x0 , x0

………8 分

?[h?( x)]min ? e x0 ? ln x0 ? 1 ?

1 1 ? x0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0

………10 分

1 ? x ?[ , ??) , h?( x) ? 0 , 2 1 ? h( x) 在 [ , ??) 内单调递增, 2
1 1 1 1 1 1 ?[h( x)]min ? h( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 , 2 2 2 2 1 1 结合(*)有 m ? e 2 ? ln 2 , 2 1 1 即实数 m 的取值范围为 [e 2 ? ln 2, ?? ) . ………12 分 2 解:(Ⅰ) 由 PC 为圆 O 切线,知 ?CAF ? ?DCP , 1 分 ∵ PB , PC 是圆 O 的切线, D 为 BC 中点, ∴ O , D , P 三点共线,且 OP ? BC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴ ?AFC ? ?CDP ? 90? , △AFC ∽△CDP , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

………11 分

AF CD ? ,即 AC ? CD ? AF ? CP . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 AC CP (Ⅱ) ∵ CF ? AB , D 为 BC 中点, 1 ∴ FD ? BC ? DC ? DB , ?DFB ? ?DBF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 AF FD FA CA ? ? ∴ ,于是 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 AC CP FD CP 又∵ ?AFD ? 180? ? ?DFB ? 180? ? ?ABC ? ?ACP , ∴ △AFD ∽△ACP , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 AD O G GE BG EC 延长 交圆 于点 ,连结 , , , 由 △AFD ∽△ACP ,知 ?DAF ? ?PAC ,

8

∴ BG ? EC , ?CBG ? ?BCE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 又 D 为 BC 中点, DB ? DC ,∴ △BDG ≌△CDE , · · · · · · · · · · · · · 9分 ∴ ?BDG ? ?CDE , ?ADC ? ?BDG ? ?CDE , ∴ DC 平分 ? ADE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 23.解:(I) 因为曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 左焦点为 F (?2 2 ,0) ,代入直线 l 得 m ? ?2 2 12 4 ? 2 t ? x ? ?2 2 ? ? 2 ( t 为参数)代入椭圆方程得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? ?y ? 2 t ? 2 ? t1 ? t 2 t1 ? t 2 1 1 则 ? ? ? AF BF t1t 2 t1t 2
又 t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 ? 8 ? 2 3 , t1t 2 ? 2



1 1 = 3 ? AF BF

24.解: (Ⅰ)由条件得 2x ? 2m ? 1 得 ? m ?

1 1 3 ? x?m? 所以 m ? 2 2 2 a y (Ⅱ) 原不等式等价于 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 ? y , 而 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? (2x ? 1) ? (2x ? 3) ? 4 2 a y 所以 2 ? y ? 4 则 a ? 2 y (4 ? 2 y ) max ? 4 当且仅当 y ? 1 时取得。 2

?

?

9


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