江西省红色六校2013届高三第一次联考数学理试题


江西省红色六校 2013 届高三第一次联考 数学(理)试题 (分宜中学、南城一中、遂川中学、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学) 时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、已知全集 U ? R ,集合

P ? {x |

x?2 ? 0}, Q ? {x | ?1 ? x ? 0} P ? (CU Q) ? ( ) x ?1 ,则

A. {x | x ? ?1 或 x ? 0} C. {x | x ? ?2 或 x ? 1}

B. {x | x ? ?1 或 x ? 1} D. {x | x ? ?2 或 x ? 0}

?2 ? x , ( x ? 3) f ( x) ? ? ? f ( x ? 3), ( x ? 3) ,则 f (?4) ? ( 2、若
1 B. 2 1 D. 32



A.2

C.32

3.已知原命题: “若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1” ,则原命题与其否命题的真假情况是 ( ) A.原命题为真,否命题为假 B.原命题为假,否命题为真 C.原命题与否命题均为真命题 D.原命题与否命题均为假命题 4.在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数 y = x , y = 的部分图象,则函数 y = x
y
y
2

x , y = x 2 , y = x3 , y ? x ?1

的图象通过的阴影区域是(
y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 5、如果数列 项( ) A.3

B.

C. ,则数列

D.

{a n }

的前 n 项和 C.5

S n ? n 2 ? 10n(n ? 1,2,3, ?)
D.6

{na n }

中数值最小的项是第几

B.4

1 x f ( x) ? log 2 ? ( ) x x 3 , 0 为其零点,且 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 0 ? a ? b ? c ,则不可 6、已知
能有( A. )

x0 ? c

B.

0 ? x0 ? a

C.

x0 ? b

D.

x0 ? a
P 满 足

7 、 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , O

为 ?ABC 外 一 点 , 若 动 点

OP ? OA ? ? (
A.重心

AB | AB |

?

AC | AC |

), (? ? 0)

,则 P 点的运动轨迹经过 ?ABC 的( D.外心
/



B.垂心

C.内心

8.已知: f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? ( x ? 10) ,则 f (2) 的值为( A. 2 ? 8!
3



y

B. 8!
2

C. 2 ? 7!

D. 7! 0 2 -2 x

9、函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示, 则 f (1) ? f (?1) 的值一定( A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不能确定 )

10、定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) ,当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ? 2 x ,如果
2

x ? [?4,?2] 时,

f ( x) ?

1 3 ( ? t) 18 t 恒成立,则实数 t 的取值范围(
B. (??,? 3 ] ? (0, 3 ] D. [? 3 ,0) ? [ 3 ,??)



A. (??,?1] ? (0,3] C. [?1,0) ? [3,??)
?
2 ?

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。把正确答案填写在答题卡相应位置上).

11.

?

?
2

(1 ? cos x)dx ?
. . f ( x) ? cos x( x ? (0.2? ))

? 3 sin( ? x) ? 4 5 ,则 sin 2 x 的值为____ _ 12.已知

13. 已知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0.2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不 同的实根

x3 , x 4

,若把这个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为____ _



1 f ( x) ? ln( x 2 ? 1), g ( x) ? ( ) x ? m 2 14.已知 ,若任取 x1 ? [0,3] ,存在 x 2 ? [1,2] ,使得

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,则 m 的取值范围
3 2



? 15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0), 给出定义 : 设f ( x)是函数y ? f ( x) 的导数, f ??( x)是f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐
点” ,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,

f ( x) ?
且“拐点”就是对称中心给定函数 以下问题:

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 3 2 12 ,请你根据上面探究结果,解答

f ( x) ?
(1)函数

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 3 2 12 的对称中心为



f(
(2)计算

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 2003 2013 2013 2013 =



三、解答题(共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)

x x x f ( x) ? 2 3 sin cos ? 2 sin 2 3 3 3。 已知函数
(1)若 x ? [0, ? ] ,求 f (x) 的值域;
2 (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C ) ? 1 ,且 b ? ac ,求 sin A 的值。

17. (本题满分 12 分)

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 2 ? 1 ? ? 5x ? 1 ( x ? 2 ) ? 已知函数 ( x?R ) ,
(1)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2)已知 m ? R ,命题 p:关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立; 2 x 命题 q:函数 y ? (m ? 1) 是增函数.若“p 或 q”为真, 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. “p

18.(本小题满分 12 分)

已 知 A 、 B 、 C 是 直 线 l 上 不 同 的 三 点 , O 是 l 外 一 点 , 向 量 OA, OB, OC 满 足 :

??? ??? ???? ? ?

??? 3 ? ??? ? ???? ? OA ? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3 x) ? y ] ? OC ? 0 2 记 y ? f ( x) .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式: (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? b 在(0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列

{an },{bn } 中,对任何正整数 n 都有:

a1bn ? a2 bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? an ?1b2 ? an b1 ? 2n ?1 ? n ? 2.
(1)若数列 (2)若 由。

{an } 是首项和公差都为 1 的等差数列,求证:数列 {bn } 是等比数列;

bn ? 2n ,试判断数列 {an } 是否是等差数列?若是,请求出通项公式,若不是,请说明理

20. (本小题满分 13 分) 设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:①方程 f ( x) ? x ? 0 有实根;②函数 f ( x) 的导数

f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 .
(1)若函数 f ( x) 为集合 M 中的任意一个元素,证明:方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实根;

g ( x) ?
(2)判断函数

x ln x ? ? 3( x ? 1) 2 2 是否是集合 M 中的元素,并说明理由;

( 3 ) 设 函 数 f ( x) 为 集 合 M 中 的 任 意 一 个 元 素 , 对 于 定 义 域 中 任 意 ? , ? , 证 明

| f (? ) ? f (? ) |?| ? ? ? |

21、 (本小题满分 14 分) 设 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y ? R , 有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 。
(1)求 f (0) 的值,判断并证明函数 y ? f (x) 在 R 上的单调性;

{a } (2)若 n 满足 a1 ? f (0) ,且
①求

f (a n ? 1 ) ?

1 f (?2 ? a n )

(n ? N ?)

{a n } 的通项公式;
1 ? 1 an?2 ??? 1 12 x x ? (log a ?1 ? log a ? 1) a 2 n 35 ,对不小于 2 的正整数 n

a ②当 a ? 1 时,不等式 n ?1

恒成立,求 x 的取值范围。

答案 一、1-5:ADACA 6-10:BCBAC

二、11. 三、

? ?2

7 12. 25

?
13.

3 2

1 [ ,??) 14. 4

1 ( ,1) 15. 2

2012

f ( x) ? 3 sin
16、解: (1)

2x 2x 2x ? ? cos ? 1 ? 2 sin( ? ) ? 1 3 3 3 6 ?2 分

∵ x ? [0, ? ] ,∴ 6

?

?

2 x ? 2? ? ? 3 6 6 ????????????3 分

1 2x ? ? sin( ? ) ? 1,? f ( x) 3 6 ∴2 的值域为 [0,1] 。??????6 分 2c ? ? ) ?1 ? 1 3 6 ,

f (c) ? 2 sin(
(2)∵

sin(


2c ? ? ? ) ?1 c? 3 6 2 。??????8 分 ,又∵ c ? (0, ? ) ,∴

在 Rt ?ABC 中,

?b 2 ? ac a a ? ? c 2 ? a 2 ? ac ? ( ) 2 ? ? 1 ? 0 ? 2 c c ?c ? a 2 ? b 2 ∵? ????10 分
? a ?1? 5 a ?1? 5 ? ? c 2 2 ,或 c (舍去) 5 ?1 2 ??????????????????12 分

sin A ?


17、解: (Ⅰ)

18、解:

(2)方程 f ( x) ? 2 x ? b 即为

ln(2 ? 3 x) ?

3 2 x ? 2 x ? b, 2 ( x) ? ln(2 ? 3 x) ?
令?

ln(2 ? 3 x) ?
变形为

3 2 x ? 2 x ? b. 2

3 2 x ? 2 x, x ? 0, ( 1] 2 ,

??

' ( x) ?

3 9 x 2 ? 1 (3 x ? 1)(3 x ? 1) ? 3x ? 2 ? ? ? 2 ? 3x 2 ? 3x 2 ? 3x

????????8 分

? 列表写出 x , ? ( x) , ? ( x) 在[0,1]上的变化情况:

x

0

1 (0, 3 )
?

1 3
0 取极小值

1 ( 3 ,1)

1

? ?( x)
? ( x)
?????10 分

?
1 2 1 2.
单调递增

ln 2

单调递减

ln 3 ?

ln 5 ?

1 2

ln 3 ?
显然?(x)在(0,1]上的极小值也即为它的最小值

现在比较 ln 2 与

ln 5 ?

1 2 的大小;

1 5 1 25 1 25 1 ? ln 5 ? ? ln 2 ? ln ? ln ? ln ? 0, ln 5 ? ? ln 2. ? 2 2 2 e 2 4e 2 4 ? 3
ln 3 ?
∴要使原方程在(0,1]上恰有两个不同的实根,必须使

1 ? b ? ln 2. 2

ln 3 ?
即实数 b 的取值范围为 19.解:

1 ? b ? ln 2. 2 ??????????????12 分

20.解: (1) 令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,故 h(x) 是单调递减函数,
' '

所以,方程 h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 0 至多有一解, 又由题设①知方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以,方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根…………………………………..4 分

g ' ( x) ?
(2) 易知,

1 1 1 ? ? (0, ) ? (0,1) 2 2x 2 ,满足条件②; x ln x ? ? 3( x ? 1) 2 2 ,

F ( x) ? g ( x) ? x ? ?


e 5 e2 F (e) ? ? ? ? 0, F (e 2 ) ? ? ? 1 ? 0 2 2 2 则 ,…………………………………..7 分
又 F (x) 在区间 e, e

?

2

? 上连续,所以 F (x) 在 ?e, e ? 上存在零点 x
2

0



x ? e, e ,故 g (x) 满足条件①, 即方程 g ( x) ? x ? 0 有实数根 0
2

?

?

综上可知, g ( x) ? M ……….……………………………...………. ….…………9 分 (Ⅲ)不妨设 ? ? ? ,∵ f ( x) ? 0 ,∴ f (x) 单调递增,
'

∴ f (? ) ? f ( ? ) ,即 f ( ? ) ? f (? ) ? 0 , 令 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,故 h(x) 是单调递减函数,
' '

∴ f ( ? ) ? ? ? f (? ) ? ? ,即 f ( ? ) ? f (? ) ? ? ? ? , ∴ 0 ? f ( ? ) ? f (? ) ? ? ? ? , 则有

f (? ) ? f ( ? ) ? ? ? ?

….……………..….13 分

21、解: (1)令 x ? 0, y ? ?1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (?1) ? f (?1) ∵当 x ? 0 时, f ( x) ? 1,? f (?1) ? 1,? f (0) ? 1 ,?????2 分 令 y ? ? x ,得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1 , 即 f ( x) ? f (? x) ? 1 ∵当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,∴ ? x ? 0 , 0 ? f (? x) ? 1 , ∴ f (x) 在 R 上恒大于 0,???????????????4 分

任取 x1 , x 2 ? R ,令 x1 ? x 2 。 ∵ f ( x1 ) ? f [( x1 ? x 2 ) ? x 2 ] ? f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x 2 ) ,

f ( x1 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x2 ) f (x) 在 R 上为减函数。 ∵
?????????????????????????6 分

f (a n ?1 ) ?
(2)①∵

1 ? f (a n ?1 ) ? f (a n ? 2 ) ? 1 ? f (0) f (?2 ? a n )

? f (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? f (0) ???8 分 a ? an?2 ? 0 又由(1)知 f (x) 在 R 上单调,∴ n ?1 ? {a n } 是等差数列, ? a n ? 2n ? 1 ,????????10 分 又∵ a1 ? f (0) ? 1, d ? 2 ,
Sn ?
②令

1 a n ?1

?

1 an?2

???

1 1 1 1 ? ? ??? a 2 n 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 1 ,



S n ?1 ?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2n ? 3 2n ? 5 4n ? 1 4n ? 1 4n ? 3 , 1 1 1 ? ? 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 ,当 n ? 2, S n ?1 ? S n ? 0 ,?????12 分 12 12 x x ? (log a ?1 ? log a ? 1) 35 35
x



S n ?1 ? S n ?



( S n ) min ? S 2 ?
x

? log a ?1 ? log a ,又∵ a ? 1 ,∴ x ? 1 。?????14 分


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