教育部课题3.2


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

接3

一.复习十一个公式: cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=___________________

(C(α-β))

cosαcosβ-sinαsinβ cos(α+β)=___________________
sinαcosβ+cosαsinβ sin(α+β)=___________________ sinαcosβ-cosαsinβ sin(α-β)=____________________ tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan(? ? ? ) ? _______________ . (T(α+β)) tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? . (T(α-β)) tan(? ? ? ) ? ________________

(C(α+β))
(s(α+β))

(s(α-β))

2sinαcosα sin2α=____________
cos2α- sin2α cos2α=____________ 2cos2α- 1 cos2α=____________ 1- 2sin2α cos2α=____________

(S2α) (C2α)

2 tan ? 2 1 ? tan ? tan 2? ? ____________

(T2α)

二.例题训练:

α 2α 2α 例1: 试以cosα表示sin ,cos ,tan . 2 2 2
2

1 ? cos ? sin ? , 2 2
2

?

1 ? cos ? cos ? , 2 2
2

?

1 ? cos ? sin ? ? , 2 2 ? 1 ? cos ? cos ? ? , 2 2

?

1 ? cos ? tan ? . 2 1 ? cos ?
2

?

半角公式

1 ? cos ? tan ? ? . 2 1 ? cos ? α 符号由 所在象限决定. 2

?

例2:求证:

1 (1) sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2
思考:在例2证明中用到哪些数学思想? 例2证明中用到换元思想和方程思想, (1)式是积化和差的形式,(2)式是和差 化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于 积化和差、和差化积的公式.

2cos2α- 1 cos2α= cos2α= 1- 2sin2α
升幂

1 ? cos 2? cos ? ? , 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? , 2
2

降幂

例5:求函数y=sinx+ 3 cosx的周期,最大值 和最小值.

例6:(课本P147页T9) 已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x. (1)求它的递减区间;

(2)求它的最大值和最小值.

例7:(P144页B组T6)(1)求函数 y=3sinx+4cosx的最大值与最小值.
(2)你能用a,b表示函数y=asinx+bcosx的 最大值和最小值吗? 注意:x∈R 规律:
y ? a sin x ? b cos x ? a ? b (
2 2

a

a 2 ? b2 a 2 ? b2 a b 2 2 ? a ? b sin( x ? ? )(其中cos? ? ,sin ? ? ) a 2 ? b2 a 2 ? b2

sin x ?

b

cos x)

从而y=asinx+bcosx的最大值为 a 2 ? b2 y=asinx+bcosx的最小值为 ? a 2 ? b2

例8:如图,已知OPQ是半径为1,圆心角 为60°的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当α取 何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这 个最大面积.
分析:在求当α取何值时,矩形ABCD的面 积S最大 ,可分二步进行: (1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值.

小结

本节课通过三角变换,我们把 形如y=asinx+bcosx的函数转化为 形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使 问题得到简化,这个过程中蕴涵了化 归思想.

1 10 例9:已知α, β都是锐角,tanα= ,sinβ= , 7 10

π 求证 :α+ 2β= . 4

点评:求角的思路与方法: (1)求这个角的某个三角函数值; (2)确定这个角的范围。

补充题:

π 求证 :α+ 2β= . 4

2 1 已知α, β都是锐角,sinα= ,tanβ= , 10 3


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