高中数学人教A版选修2-2同步课件1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_图文

第一章 导数及其应用 第一章 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案 自主预习学案 ? 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程了 解定积分的实际背景,了解“以直代曲”、 “以不变代变”的思想方法. ? 重点:曲边梯形的面积、汽车行驶路程的求 法. ? 难点:“以直代曲”、“以不变代变”的思 想方法. ?连续函数 思维导航 1 1.函数y=x 与y= x 的图象有何区别?函数y=sinx、y= 3 tanx的图象分别与上述哪个函数的图象有类似特征? ? 新知导学 ? 1.连续函数 ? 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条 连续 连续不断的曲线,那么就把它称为区间 I上的 __________函数. ?曲边梯形的面积 ? 思维导航 ? 2.①下图中阴影部分的面积如何求? ? ②以前我们曾经用圆的内接(外切)正多边形, 无限逼近圆的方法讨论过圆的面积,能否用 这种思考方法来研究这种含曲边的图形的面 积呢? ? ③利用“以直代曲”思想求曲边梯形的面积 时,是否必须等分自变量的取值区间? ? 区间的拆分程度对求曲边梯形的面积有什么 影响? ? 每个小正区间内点的函数值的选取对求曲边 梯形的面积有什么影响? ? 新知导学 ? 2.曲边梯形的面积 ? (1)曲边梯形:由直线x=a、x=b(a≠b)、y= y0 = f ( x) 和曲线 __________所围成的图形称为曲边 梯形(如图①). ? (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: 小曲边梯形 ? ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进 以直代曲 而把曲边梯形拆分为一些_____________(如 矩形 图②); 近似值 ? ②近似代替:对每个小曲边梯形 “__________”,即用________的面积近 ? ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯 形面积的近似值 ________; 求和 ? ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时, 定值 各小曲边梯形的面积之和趋向一个 ________, 即为曲边梯形的面积. ?汽车行驶的路程 ? 思维导航 ? 3.变速运动的汽车行驶的路程能否像求曲边 梯形的面积那样求?其解题思路有什么共同 之处?这种思想方法可否运用于变力作功中? ? 新知导学 ? 3.求变速直线运动的路程 ? 如果物体做变速直线运动,速度函数为v= 分割 近似代替 求和 取极限 v(t),那么也可以采用________、 __________、_______、__________的方 法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 牛刀小试 1.下列函数中,在其定义域内不是连续函数的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=lgx-1 B.f(x)=sinx 2 ? x ? ,x≥0 D.f(x)=? ? ?-x+1,x<0 ) ? [答案] D ? [解析] 作出各个函数的图象,可知应选D. 2.当n很大时,函数f(x)=x 2 ?i-1 i ? ? 在区间 ? (i=1,2,?, , ? n n? ? ? n)上的值可以用________近似代替( i A.n ?i? C.f?n? ? ? ?1? B.f?n? ? ? ) 1 D.n ?i-1 i ? ? ? , ? n n? ? ? ? [答案] C [解析] f(x)=x 在区间 2 上的值可以用区间 ?i-1 i ? ? ? ? n ,n?上每一点对应的函数值近似代替,故应选C. ? ? ? 3.已知自由落体的运动速度v=gt(g为常数), 求在时间区间[0,t]内物体下落的距离. [分析] 选定区间 → 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 [解析] (1)分割:将时间区间[0,t]分成n等份. ?i-1 it? ? ? 把时间[0,t]分成n个小区间? (i=1,2,?,n), t , n? ? n ? it i-1 t 每个小区间所表示的时间段Δt=n - n t=n,在各小区间 物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,?,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代 替变速运动的路程. ?i-1 i-1 it? ? ? 在? 上任取一时刻ξi(i=1,2,?,n),可取ξi= n t , ? n? ? n i-1 t,用g· n t近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区 间上自由落体Δt= t n 内所经过的距离可近似表示为Δsi≈ ?i-1 ? t ? g? (i=1,2,?,n). t ? n ?· n ? ? ?i-1 ? t ? (3)求和:sn= ?Δsi= ?g? · t ? n ?· ?n i=1 i=1 ? n n gt2 = n2 [0+1+2+?+(n-1)] 1 2? 1? =2gt ?1-n?. ? ? 1 2? 1? 1 2 ?1- ?= gt . (4)取极限:s=lim gt n? 2 n→∞ 2 ? 典例探究学案 ?求曲边梯形的面积 求由直线x=0、x=1、y=0和曲线f(x)=x(x-1) 围成的图形面积. n?n+1??2n+1? 附参考公式:1 +2 +3 +?+n = . 6 2 2 2 2 ? [分析] 只要按照分割、近似代替、求和、 取极限四步完成即可. [解析] (1)分割: n-1 1 2 用分点n,n,?, n 把区间[0,1]等分成n个小区间: ?i-1 i ? ?n-1 n? ? 1? ?1 2? ? ? ? ? ?0, ? , ? , ? ,?, ? , ? , , , ? ? n ? ,简写作 n? ?n n? n n n ? ? ? ? ? ?i-1 i ? ? ? , ? n ?(i=1,2,?,n). n ? ? i i-1 1 每个小区间的长度为Δx=n- n =n. 过各

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