甘肃省临夏中学2016届高三上学期期中数学试卷(理科)

2015-2016 学年甘肃省临夏中学高三(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (每题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 P={x|x =1},Q={x|mx=1},若 Q? P,则实数 m 的数值为(
2

)

A.1

B.﹣1 C.1 或﹣1

D.0,1 或﹣1

2.把复数 z 的共轭复数记作 ,若 z=1+i,i 为虚数单位,则 A.3﹣i B.3+i C.1+3i D.3

=(

)

3.下列结论错误的是(

)

A.命题“若 p,则 q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈,e ≥1,命题 q:? x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真
x 2

C.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题
2 2

4.函数

的零点所在的大致区间是(

)

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1)

5.已知函数 f(x)= A.﹣1 B. C.﹣1 或

,若 f(a)= ,则实数 a 的值为( D.1 或﹣

)

6.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.若 a=

,b=

,c=

.则(

)

A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>6

8.△ABC 中,点 D 在 BC 上,AD 平分∠BAC,若 A. B. C. D.



,| |=2,| |=3,则

=(

)

9.为了得到函数 y= sin2x﹣ A.向右平移 C.向左平移

cos2x 的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( 个单位长度 个单位长度

)

个单位长度 B.向右平移 个单位长度 D.向左平移

10.已知

,且

,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

11.函数 y=lncosx(

)的图象是(

)

A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=2x﹣1,g(x)=1﹣x2,构造函数 F(x)定义如下:当|f(x)|≥g(x) 时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=﹣g(x) ,那么 F(x)( A.有最小值 0,无最大值 B.有最小值﹣1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 D.无最小值,也无最大值 )

二、填空题: (每题 5 分,满分 20 分)

13.若函数 f(x)=

,则函数 f(x)的定义域是__________.

14.已知函数 f(x)=mx +lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则实数 m 范围为__________.

2

15. 已知 与 的夹角为 120°, 若 ( + ) ⊥ ( ﹣2 ) 且| |=2, 则 在 上的投影为__________.

16.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D, 测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔的高度为 __________.

三、解答题: (共 6 题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. = , ? =3.

18.已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4, (1)求公差 d 的值; (2)若 ,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
*



(3)若对任意的 n∈N ,都有 bn≤b8 成立,求 a1 的取值范围.

19.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 =(2,1) ,A(1,0) ,B(cos θ ,t) . (1)若向量 ⊥ (2)若 ⊥ ,且| |= | |,求向量 的坐标;

,求 y=cos 2θ ﹣cos θ +t2 的最小值.

20.已知函数 f(x)对于任意 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,并且当 x>0 时 f(x)>1. (1)求证:函数 f(x)在 R 上为增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a +a﹣5)<2.
2

21. (14 分)已知函数 (1)当



时,如果函数 g(x)=f(x)﹣k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围;

(2)当 a=2 时,试比较 f(x)与 1 的大小; (3)求证: (n∈N*) .

选修 4-1:几何证明选讲 22. 【选修 4﹣1:几何证明选讲】 如图,梯形 ABCD 内接于圆 O,AD∥BC,且 AB=CD,过点 B 引圆 O 的切线分别交 DA、CA 的延长 线于点 E、F. (1)求证:CD =AE?BC; (2)已知 BC=8,CD=5,AF=6,求 EF 的长.
2

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ = (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

cos(θ +

) .

选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函数 f(x)的图象; (Ⅱ)当 x<5 时,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年甘肃省临夏中学高三(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (每题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 P={x|x =1},Q={x|mx=1},若 Q? P,则实数 m 的数值为(
2

)

A.1

B.﹣1 C.1 或﹣1

D.0,1 或﹣1

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的是集合的包含关系判断及应用问题.在解答时,应先将集合 P 具体化, 又 Q? P,进而分别讨论满足题意的集合 Q,从而获得问题的解答. 【解答】解:∵P={x|x =1},∴P={﹣1,1}, 又∵Q? P, ∴当 m=0 时,Q=?,符合题意; 当 m≠0 时,集合 Q 中的元素可表示为 x= ,若 =﹣1,则 m=﹣1,若 =1,则 m=1; ∴实数 m 组成的集合是{0,1,﹣1}. 故选 D. 【点评】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题.在解答的过程当中充分体现了集 合元素的特性、分类讨论的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思.
2

2.把复数 z 的共轭复数记作 ,若 z=1+i,i 为虚数单位,则 A.3﹣i B.3+i C.1+3i D.3 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】由 z=1+i,可得 结果. 【解答】解:∵z=1+i, ∴ =1﹣i, ∴ =(2+i) (1﹣i)=3﹣i,

=(

)

=1﹣i,代入要求的式子,利用两个复数代数形式的乘法运算求得

故选 A. 【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘法,属于基础题.

3.下列结论错误的是(

)

A.命题“若 p,则 q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈,e ≥1,命题 q:? x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真
x 2

C.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 【考点】特称命题;四种命题. 【专题】计算题. 【分析】写出 A 命题的逆否命题,即可判断 A 的正误;对于 B,判断两个命题的真假即可判断 正误;对于 C 直接判断即可;对于 D 命题的逆命题为“若 a<b,则 am <bm ”然后判断即可; 【解答】解:对于 A:因为命题“若 p,则 q”的逆否命题是命题“若?q,则?p”,所以) .命 题“若 p,则 q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题;故正确. 对于 B:命题 p:? x∈,e ≥1,为真命题,命题 q:? x∈R,x +x+1<0,为假命题,则 p∨q
x 2 2 2

为真,故命题 B 为真命题. 对于 C:若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题,正确; 对于 D:“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为:“若 a<b,则 am <bm ,而当 m =0 时,由 a <b,得 am2=bm2, 所以“am <bm ,则 a<b”的逆命题为假,故命题 D 不正确. 故选 D. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,训练了特称命题的否定的格式,同时训练了复 合命题真假的判断,有时利用反例判断.
2 2 2 2 2 2” 2

4.函数

的零点所在的大致区间是(

)

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 【考点】函数的零点. 【专题】计算题.

【分析】根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉,把所给的区间的两个端点的函 数值求出,若一个区间对应的函数值符合相反,得到结果. 【解答】解:∵ 在(0,+∞)单调递增

∵f(1)=ln2﹣2<0,f(2)=ln3﹣1>0, ∴f(1)f(2)<0 ∴函数的零点在(1,2)之间, 故选:C. 【点评】本题考查函数的零点的判定定理,本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值, 进行比较,本题是一个基础题.

5.已知函数 f(x)= A.﹣1 B. C.﹣1 或

,若 f(a)= ,则实数 a 的值为( D.1 或﹣

)

【考点】函数的值;对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的分段函数的求值问题,由函数解析式,我们可以先计算当 x>0 时的 a 值, 然后再计算当 x≤0 时的 a 值,最后综合即可. 【解答】解:当 x>0 时,log2x= ,∴x= 当 x≤0 时,2x= ,∴x=﹣1. 则实数 a 的值为:﹣1 或 故选 C. 【点评】分段函数求值问题分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,属于基 础题. , ;

6.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件. 【专题】计算题;简易逻辑.

【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础.

7.若 a=

,b=

,c=

.则(

)

A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>6 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题. 【分析】依据对数的性质,指数的性质,分别确定 a、b、c 数值的大小,借助于中间量“0”, “1”比较即可得到答案. 【解答】解:因为 a= b= ∴a>b>0; ∵c=log2 =log2 =﹣1<0; =2﹣1.5. = ;

∴a>b>c. 故选:C. 【点评】本题主要考查数的大小比较.通常数的大小比较常将数与中间量“0”,“1”比较.

8.△ABC 中,点 D 在 BC 上,AD 平分∠BAC,若 A. B. C. D.



,| |=2,| |=3,则

=(

)

【考点】向量的模. 【专题】数形结合;数学模型法;平面向量及应用.

【分析】由角平分线的性质可得: = ,



.再利用向量三角形法则

,代入即可得出. ,∴ = = ,∴ .

【解答】解:由角平分线的性质可得: ∴ ∴ 故选:D. = = , + =

=



【点评】本题考查了角平分线的性质、向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

9.为了得到函数 y= sin2x﹣ A.向右平移 C.向左平移

cos2x 的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象( 个单位长度 个单位长度

)

个单位长度 B.向右平移 个单位长度 D.向左平移

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】先化简函数 【解答】解: 所以将函数 y=sin2x 的图象向右平移 故选 A. 【点评】本题考查函数 y=sin(ω x+φ )的图象变换,是基础题. 个单位长度,得到函数 y. ,然后利用图象平行得到正确选项.

10.已知

,且

,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题.

【分析】利用条件先计算 【解答】解:∵ ∴ 两边平方可得:1﹣ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴

,再将所求式化简,代入即可得到结论.



(sinα +cosα )=

故选 B. 【点评】本题考查二倍角公式的运用,考查同角三角函数的关系,解题的关键是利用条件计 算 .

11.函数 y=lncosx(

)的图象是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】数形结合.

【分析】利用函数 性可排除一些个选项.从而得以解决. 【解答】解:∵cos(﹣x)=cosx, ∴ 可排除 B、D, 由 cosx≤1? lncosx≤0 排除 C, 故选 A. 是偶函数,

的奇偶性可排除一些选项,利用函数的有界

【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.

12.已知函数 f(x)=2x﹣1,g(x)=1﹣x2,构造函数 F(x)定义如下:当|f(x)|≥g(x) 时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=﹣g(x) ,那么 F(x)( A.有最小值 0,无最大值 B.有最小值﹣1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 D.无最小值,也无最大值 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【分析】在同一坐标系中先画出 f(x)与 g(x)的图象,然后根据定义画出 F(x) ,就容易 看出 F(x)无最大值,有最小值﹣1. 【解答】解:在同一坐标系中先画出 f(x)与 g(x)的图象, 然后根据定义画出 F(x) ,就容易看出 F(x)无最大值, 有最小值﹣1. 故选 B. )

【点评】此题考查阅读能力和函数图象的画法,必须弄懂 F(x)是什么.先画出|f(x)|及 g(x)与﹣g(x)的图象.再比较|f(x)|与 g(x)的大小,然后确定 F(x)的图象.这是 一道创新性较强的试题.

二、填空题: (每题 5 分,满分 20 分) 13.若函数 f(x)= ,则函数 f(x)的定义域是{x|x<1 且 x≠0}.

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】要使函数有意义,则需 1﹣x>0,且 lg(1﹣x)≠0,解得即可得到定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则需 1﹣x>0,且 lg(1﹣x)≠0, 即有 x<1 且 x≠0. 则定义域为{x|x<1 且 x≠0}. 故答案为:{x|x<1 且 x≠0}. 【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意分式分母不为 0,对数的真数大于 0,考查运算 能力,属于基础题.

14.已知函数 f(x)=mx2+lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则实数 m 范围为 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题.



【分析】求出 f′(x)=2mx+ ﹣2,因为函数在定义域内是增函数,即要说明 f′(x)大于 等于 0,分离参数求最值,即可得到 m 的范围. 【解答】解:求导函数,可得 f′(x)=2mx+ ﹣2,x>0, 函数 f(x)=mx +lnx﹣2x 在定义域内是增函数,所以 f′(x)≥0 成立, 所以 2mx+ ﹣2≥0,x>0 时恒成立, 所以 所以﹣2m≤﹣1 ,
2

所以 m≥ 时,函数 f(x)在定义域内是增函数. 故答案为 .

【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,会找函数单调时自变量的取值范围,属 于基础题

15. 已知 与 的夹角为 120°, 若 ( + ) ⊥ ( ﹣2 ) 且| |=2, 则 在 上的投影为﹣ 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】因为向量 与 的夹角为 120°,所以 在 上的投影为 题转化为求 . cos120°=﹣



,问

【解答】解:∵ 与 的夹角为 120°,若( + )⊥( ﹣2 )且| |=2, ∴( + )?( ﹣2 )=0,即 ∴4+ ﹣2
2

﹣ = , =﹣ ×

﹣2

2

=0,

=0,解得

∴ 在 上的投影为 故答案为:﹣ .

cos120°=﹣

=﹣



【点评】本题考查 在 上的投影的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性 质的合理运用.

16.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D, 测得∠BCD=15°, ∠BDC=30°, CD=30m, 并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°, 则塔的高度为 15 m.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 先根据三角形内角和为 180°,求得∠CBD,再根据正弦定理求得 BC,进而在 Rt△ABC 中,根据 AB=BCtan∠ACB 求得 AB

【解答】解:在△BCD 中,∠CBD=180°﹣15°﹣30°=135°. 由正弦定理得 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=15 故答案为:15 m. ,所以 BC=15 × =15 . .

【点评】本题考查了解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,属于基础题.

三、解答题: (共 6 题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 【考点】二倍角的余弦;平面向量数量积的运算;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 (Ⅰ) 利用二倍角公式利用 = 求得 cosA, 进而求得 sinA, 进而根据 = , ? =3.

求得 bc 的值,进而根据三角形面积公式求得答案. (Ⅱ)根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c,进而根据余弦定理求得 a 的值. 【解答】解: (Ⅰ)因为 , 又由 , ,∴

得 bccosA=3,∴bc=5, ∴ (Ⅱ)对于 bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=20,∴ 【点评】本题主要考查了解三角形的问题.涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角 形面积公式等,综合性很强.

18.已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4,



(1)求公差 d 的值; (2)若 ,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
*

(3)若对任意的 n∈N ,都有 bn≤b8 成立,求 a1 的取值范围. 【考点】等差数列的性质;数列的函数特性. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据 S4=2S2+4,可得 ,解得 d 的值.

(2)由条件先求得 an 的解析式,即可得到 bn 的解析式

,由函数





上分别是单调减函数,可得 b3<b2<b1<

1,当 n≥4 时,1<bn≤b4,故数列{bn}中的 最大项是 b4=3,最小项是 b3=﹣1. (3)由 ,函数 在(﹣∞,1﹣a1)和(1﹣a1,+∞)

上分别是单调减函数,x<1﹣a1 时,y<1; x>1﹣a1 时,y>1,再根据 bn≤b8,可得 7<1﹣ a1<8,从而得到 a1 的取值范围. 【解答】解: (1)∵S4=2S2+4,∴ ,解得 d=1,

(2) ∵

, ∴数列 an 的通项公式为

, ∴



∵函数





上分别是单调减函数,

∴b3<b2<b1<1,当 n≥4 时,1<bn≤b4,∴数列{bn}中的最大项是 b4=3,最小项是 b3=﹣1. (3)由 得 ,

又函数

在(﹣∞,1﹣a1)和(1﹣a1,+∞)上分别是单调减函数,

且 x<1﹣a1 时,y<1;x>1﹣a1 时,y>1. ∵对任意的 n∈N*,都有 bn≤b8,∴7<1﹣a1<8,∴﹣7<a1<﹣6,∴a1 的取值范围是(﹣7, ﹣6) .

【点评】本题考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式的应用,数列的函数特性,以及数列 的单调性的应用,得到 7<1﹣a1<8,是解题的难点.

19.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 =(2,1) ,A(1,0) ,B(cos θ ,t) . (1)若向量 ⊥ (2)若 ⊥ ,且| |= | |,求向量 的坐标;

,求 y=cos 2θ ﹣cos θ +t2 的最小值.

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;向量法;三角函数的求值;平面向量及应用. 【分析】 (1)运用向量垂直的条件:数量积为 0,再由向量的模的公式,解方程可得 t,进而 得到所求向量的坐标; (2)由向量垂直的条件,运用配方和余弦函数的性质,可得所求最小值. 【解答】解: (1)因为 =(cosθ ﹣1,t) ,又 ⊥ ,

所以 2cosθ ﹣2+t=0,所以 cosθ ﹣1=﹣ ① 又因为| |= |
2

|,
2

所以(cosθ ﹣1) +t =5.② 由①②得,t2=4, 所以 t=±2. 当 t=2 时,cosθ =0; 当 t=﹣2 时,cosθ =2(舍去) , 所以 B(0,﹣2) ,所以 =(0,﹣2) .

(2)由(1)可知 t=2﹣2cosθ , 所以 y=cos θ ﹣cosθ +(2﹣2cosθ ) =5cos2θ ﹣9cosθ +4 =5(cosθ ﹣ 所以当 cosθ = )2﹣ . .
2 2

时,ymin=﹣

【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质,考查三角函数的化简和求值,注意运用 二次函数的最值的求法,属于中档题.

20.已知函数 f(x)对于任意 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,并且当 x>0 时 f(x)>1. (1)求证:函数 f(x)在 R 上为增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a﹣5)<2. 【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2﹣x1>0,则 f(x2﹣x1)>1,函数 f(x) 对于任意 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1 成立,令 m=n=0,有 f(0)=1, 再令 m=x,n=﹣x,结合条件得到 f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) ,即可求得结果; (2)f(a2+a﹣5)<2,即为 f(a2+a﹣5)<f(1) ,由(1)知,函数 f(x)在 R 上为增函 数,a +a﹣5<1,解此不等式即得. 【解答】解: (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x2﹣x1>0,则 f(x2﹣x1)>1 ∵函数 f(x)对于任意 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1 成立 ∴令 m=n=0,有 f(0+0)=f(0)+f(0)﹣1,即 f(0)=1, 再令 m=x,n=﹣x,则有 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)﹣1,即 f(0)=f(x)+f(﹣x)﹣1, ∴f(﹣x)=2﹣f(x) , ∴f(﹣x1)=2﹣f(x1) 而 f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)﹣1=f(x2)+2﹣f(x1)﹣1>1, 即 f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) , ∴函数 f(x)在 R 上为增函数; (2)∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)﹣1=f(1)+f(1)+f(1)﹣2=3f(1)﹣2=4 ∴f(1)=2. ∴f(a2+a﹣5)<2,即为 f(a2+a﹣5)<f(1) , 由(1)知,函数 f(x)在 R 上为增函数,a +a﹣5<1,即 a +a﹣6<0, ∴﹣3<a<2 ∴不等式 f(a2+a﹣5)<2 的解集是{a|﹣3<a<2} 【点评】本题考查抽象函数的有关问题,其中赋值法是常用的方法,考查函数单调性的判断 与证明,属基础题.
2 2 2

21. (14 分)已知函数 (1)当



时,如果函数 g(x)=f(x)﹣k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围;

(2)当 a=2 时,试比较 f(x)与 1 的大小; (3)求证: (n∈N*) .

【考点】不等式的证明;函数的零点;利用导数研究函数的极值. 【专题】数形结合;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用函数 f(x)的导数求出它的单调区间和极值,由题意知 k 大于 f(x)的极 大值,或 k 小于 f(x)的极小值. (2)令 h(x)=f(x)﹣1,由 h′(x)>0 得 h(x)在(0,+∞)上是增函数,利用 h(1) =0,分 x>1、 0<x<1、当 x=1 三种情况进行讨论. (3)根据(2)的结论,当 x>1 时, ,令 ,有 ,可得

,由

,证得结论.

【解答】解: (1)当

时,

,定义域是(0,+∞) ,

求得

,令 f'(x)=0,得

,或 x=2.

∵当

或 x>2 时,f'(x)>0; 当

时,f'(x)<0, 上单调递减. .

∴函数 f(x)在(0, ]、 (2,+∞)上单调递增,在 ∴f(x)的极大值是 ,极小值是

∵当 x 趋于 0 时,f(x)趋于﹣∞;当 x 趋于+∞时,f(x)趋于+∞, 由于当 g(x)仅有一个零点时,函数 f(x)的图象和直线 y=k 仅有一个交点, k 的取值范围是{k|k>3﹣ln2,或 (2)当 a=2 时, }. ,定义域为(0,+∞) .



,∵



∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. ①当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,即 f(x)>1; ②当 0<x<1 时,h(x)<h(1)=0,即 f(x)<1; ③当 x=1 时,h(x)=h(1)=0,即 f(x)=1. (3)证明:根据(2)的结论,当 x>1 时, ,即 .



,则有

,∴





,∴



【点评】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识, 考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创 新意识,属于中档题.

选修 4-1:几何证明选讲 22. 【选修 4﹣1:几何证明选讲】 如图,梯形 ABCD 内接于圆 O,AD∥BC,且 AB=CD,过点 B 引圆 O 的切线分别交 DA、CA 的延长 线于点 E、F. (1)求证:CD2=AE?BC; (2)已知 BC=8,CD=5,AF=6,求 EF 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)由已知条件,利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC,由此能 证明 CD =AE?BC. (2)由已知条件和(1)先求出 AE,再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB,由此能 求出结果. 【解答】解: (1)因为 AD∥BC,所以∠EAB=∠ABC.
2

又因为 FB 与圆 O 相切于点 B, 所以∠EBA=∠ACB, 所以△EAB∽△ABC, 所以 = ,即 AB2=AE?BC,

因为 AB=CD,所以 CD2=AE?BC. (2)因为 AB2=AE?BC,BC=8,CD=5,AF=6,AB=CD, 所以 AE= = ,

因为 AD∥BC,所以∠FAE=∠ACB, 又因为∠EBA=∠ACB, 所以∠FAE=∠EBA,∠F=∠F, 所以△FEA∽△FAB, 所以 所以 EF= , = .

【点评】本题考查三角形相似的应用,考查与圆有关的线段长的求法,解题时要注意弦切角 定理和三角形相似的性质的灵活运用.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 【选修 4﹣4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ = (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程.

cos(θ +

) .

【分析】本题的关键(1)是直线 l 的参数方程为

(t 为参数)和曲线 C 的极坐

标方程为 ρ =

cos(θ +

)的普通方程的转化, (2)是借助垂径定理,求解弦长问题.

【解答】解: (1)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) , (t 为参数)

∴化为普通方程为 l:3x+4y+1=0. 又∵曲线 C 的极方程为 ρ = cos(θ + ) ,

∴化为直角坐标方程为 x2+y2﹣x+y=0. (2)由(1)可知曲线 C 表示圆心为( ) ,半径为 的圆,

∴则圆心到直线 l 的距离 d═

=



∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 【点评】此题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程,是一道高考常见的题目

选修 4-5:不等式选讲 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函数 f(x)的图象; (Ⅱ)当 x<5 时,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】带绝对值的函数;绝对值不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】 (I)由于函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=

,由此根据函数的解

析式作出函数的图象. (II)当 x<5 时,由题意可得|x﹣a|<6﹣x 恒成立.平方可得(12﹣2a)x<36﹣a2.结合 题意可得 12﹣2a>0,且 x< .故有 ≥5,且 a<6,由此求得 a 的范围.

【解答】解: (I)由于函数 f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=

,如图所示:

(II)当 x<5 时,由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2 恒成立, 故|x﹣a|<6﹣x 恒成立. 平方可得, (12﹣2a)x<36﹣a2. 结合题意可得 12﹣2a>0,且 x< 故有 .

≥5,且 a<6,解得 6>a≥4.

故所求的 a 的范围为[4,6) .

【点评】本题主要考查带有绝对值的函数,函数的恒成立问题,绝对值不等式的解法,属于 中档题.


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