2013-2014高数B2期中考试试题

2013-2014 高数 B2 期中考试试题
一、 (40 分)试解下列各题: 1.(8 分)设

? ? ? ? ? ? ?a? ? b?? ? c? ? 2 ,求 ??a ? b ? ? ?b ? c ?? ? ?c ? a ? 。

2.(8 分)求过直线 平面方程。

x ?2
5

?

y ?1
2

?

z ?2
4

且与平面 x ? 4y ? 3z ? 1 ? 0 垂直的

3.(8 分)求由曲线 ?

?3x 2 ? 2y 2 ? 12 ?

z ? 0

绕 y 轴转一周得到的旋转曲面在点 0,3,2 处的

?

?

指向外侧的单位法向量。 4. (8 分) 设直线 L : ?

?

x ?y ?b ? 0 2 2 在平面 ? 上, 且平面 ? 又与曲面 z ? x ? y ?x ? ay ? z ? 3 ? 0

相切于点 P 1 , - 2, 5 ,求 a,b 。 5.(8 分)设变换 ? 试确定 a 。

?

?

? ? 2z ? 2z ? 2z 1 ?z ?u ? x ? a y ? 0, 把方程 化为 ? y ? ? 0 ?u?v 2 ?y ? ?x 2 ?y 2 ?v ? x ? 2 y

? x 2y ? , x2 ? y2 ? 0 二、 (12 分)证明函数 f(x ,y ) ? ? x 2 ? y 2 在点 ?0, 0? 连续且偏导数存 2 2 ? 0, x ?y ? 0 ?
在,但在此点不可微。

t )二阶可导, g(u ,v )有连续二 三、 (12 分)设 z ? f(2x ? y ) ? g(x ,xy ),其中函数 f(
阶偏导数,求

? 2z 。 ?x?y

四、 (12 分)设 u ?

f(x ,y ,z ),?(x 2 ,e y ,z ) ? 0,y ? sin x ,其中 f ,? 都具有一阶连

续偏导数且

?? du ? 0 ,求 。 ?z dx

五、 (12 分)设 f(x ,y ,z ) ?

x 3 ? xy 2 ? z 。

(1)求 f(x ,y ,z )在点 P0 1 , 1, 0 处的梯度及方向导数的最大值; (2)问: f(x ,y ,z )在哪些点的梯度垂直于 x 轴?

?

?

六、 (12 分)在椭球面 4x

2

? y 2 ? z 2 ? 4 的第一卦限部分上求一点,使得椭球面在该点

的切平面、椭球面及三个坐标平面所围成在第一卦限部分的立体的体积最小。


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