第28课基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_图文
夏之青华
宿迁青华中学
徐守高
湖南省长沙市一中卫星远程学校
一.导数的概念
（a, b) 函数 y ? f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0 ?
如果自变量 x在 x0处有增量 ?x， 那么函数y相应地有 ?y 增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 ?x y ? f ( x)在x0到x0 ? ?x之间的平均变化率 , 即
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? . ?x ?x
如果当 ?x ? 0 时，
?y ?A ?x
并把A
x ? x0
我们就说函数 y ? f ( x)在点x0 处 可导，
'
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) y? x ? x0 ? f ( x0 ) ? ? ,当?x ? 0 ?x ?x 湖南省长沙市一中卫星远程学校
叫做函数 y ? f ( x)在点 x0处的导数 , 记为y ?
由定义求导数（三步法）
步骤:
(3) 求y? x ? x0
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
2 2
?y ? .在?x ? 0时 ?x
解： ?y ? [(1 ? ?x ) ? 2] ? (1 ? 2) ? 2?x ? ( ?x )
2
?y 2 ?x ? ( ? x ) 2 ? ? 2 ? ?x ?x ?x ?y ? ? 2 ? ?x,当?x ? 0时 ?x ' 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y | x ?1 ? 2
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二、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
即
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f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f ?(x 0)?f ?(x)
． x? x0 ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
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例4:已知 y ?
x , 求y , 并求出函数
'
在x ? 2处的切线方程 . 解: ?y ? x ? ?x ? x ,
?y ? ?x
'
x ? ?x ? x ?x
?y x ? ?x ? x ?y ? ? ?x ?x 1 1 ? ? ,当?x ? 0时的值。 x ? ?x ? x 2 x
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3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则（一）
复习引入
1.函数f(x)在x＝x0处导数f'(x0)表示函数f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率，物理意义是运动物体 在某一时刻的瞬时速度.其几何意义是什么？ f(x)在x＝x0处导数f'(x0)的几何意义是曲线在 x＝x0处切线的斜率． 其切线方程为y－f(x0) ＝f'(x0)(x－x0).
复习引入
2.几个常用函数的导数
(1) c? ? 0 ; ( 3) ( x )? ? 2 x ;
2
( 2) x ? ? 1 ; 1 1 (4) ( )? ? ? 2 . x x
复习引入
1 问题1： 函数 y ? x , y ? x ，y ? 可以归纳为 x 幂函数 y ? x? , 那么 y ? x?的导数是多少？
2
新课讲授
1. 基本初等函数的导数公式表
(1)若f(x)＝c，则f'(x)＝0； (2)若f(x)＝xn（n?Q*），则f'(x)＝nxn－1；
(3)若f(x)＝sinx，则f'(x)＝cosx； (4)若f(x)＝cosx，则f'(x)＝－sinx.
例题讲解
例1. 求：
(1) ( x )?
3
1 ( 2) ( 2 )? x
( 3) ( x )?
课堂练习
1.求下列函数的导数：
1 (1) y ? 3 x
( 2) y ?
3
x
1 2. 质点运动方程是 s ? 5 ，求质点在 t
t＝2时的瞬时速度．
例题讲解
? 1
例2. 求曲线y ? sin x在点A( , )的切线方程 . 6 2 练习.求曲线y ? cos x在点B( ?
? 1
, )的切线方程 . 3 2
新课讲授
2. 导数运算法则
问题2：函数y＝x· sinx的导数怎样求？
由法则2可以得出：
[ c
× f ( x )] ' ? c' f ( x ) ? c f' ( x ) ? c f' ( x )
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘 以函数的导数
例题讲解
例3.日常生活中的饮用水通常是经过净化 的.随着水纯净度的提高，所需净化费用 不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x% 时所需费用（单位：元）为 5284 c( x ) ? (80 ? x ? 100). 100 ? x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用 的瞬时变化率： (1)90%； (2) 98%.
例题讲解
例4.求下列函数的导数：
(1) y ? x 4 ? 3 x 2 ? 5 x ? 6 ; ( 2) y ? x ? sin x ; cos x ( 3) y ? 2 . x
课堂练习
1.求下列函数的导数：
(1) y ? 2 sin x ? 4 cos x ; ( 2) y ? x ? cos x ; ( 3) y ? tan x .
课堂小结
1.四个公式:
(1)若f(x)＝c，则f'(x)＝0； (2)若f(x)＝xn（n?Q*），则f'(x)＝nxn－1； (3)若f(x)＝sinx，则f'(x)＝cosx； (4)若f(x)＝cosx，则f'(x)＝－sinx.
课堂小结
2.运算法则:
课后作业
随堂练习： 3.2.2基本初等函数的导数的公式 及导数的运算法则（1）