第28课基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_图文

夏之青华

宿迁青华中学

徐守高

湖南省长沙市一中卫星远程学校

一.导数的概念
(a, b) 函数 y ? f ( x )在区间( a, b)有定义,x0 ?

如果自变量 x在 x0处有增量 ?x, 那么函数y相应地有 ?y 增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 ?x y ? f ( x)在x0到x0 ? ?x之间的平均变化率 , 即
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? . ?x ?x

如果当 ?x ? 0 时,

?y ?A ?x
并把A
x ? x0

我们就说函数 y ? f ( x)在点x0 处 可导,
'

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) y? x ? x0 ? f ( x0 ) ? ? ,当?x ? 0 ?x ?x 湖南省长沙市一中卫星远程学校

叫做函数 y ? f ( x)在点 x0处的导数 , 记为y ?

由定义求导数(三步法)
步骤:

(3) 求y? x ? x0

?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x

例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
2 2

?y ? .在?x ? 0时 ?x

解: ?y ? [(1 ? ?x ) ? 2] ? (1 ? 2) ? 2?x ? ( ?x )

2

?y 2 ?x ? ( ? x ) 2 ? ? 2 ? ?x ?x ?x ?y ? ? 2 ? ?x,当?x ? 0时 ?x ' 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y | x ?1 ? 2
湖南省长沙市一中卫星远程学校

二、函数在一区间上的导数:

如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f '(x0),这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数,我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数,简称为导数, 记作


湖南省长沙市一中卫星远程学校

f ?(x0)与f ?(x)之间的关系: 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值

f ?(x 0)?f ?(x)

. x? x0 .

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.

湖南省长沙市一中卫星远程学校

例4:已知 y ?

x , 求y , 并求出函数

'

在x ? 2处的切线方程 . 解: ?y ? x ? ?x ? x ,
?y ? ?x
'

x ? ?x ? x ?x

?y x ? ?x ? x ?y ? ? ?x ?x 1 1 ? ? ,当?x ? 0时的值。 x ? ?x ? x 2 x
湖南省长沙市一中卫星远程学校

3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(一)

复习引入
1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)表示函数f(x)在 x=x0处的瞬时变化率,物理意义是运动物体 在某一时刻的瞬时速度.其几何意义是什么? f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是曲线在 x=x0处切线的斜率. 其切线方程为y-f(x0) =f'(x0)(x-x0).

复习引入
2.几个常用函数的导数
(1) c? ? 0 ; ( 3) ( x )? ? 2 x ;
2

( 2) x ? ? 1 ; 1 1 (4) ( )? ? ? 2 . x x

复习引入

1 问题1: 函数 y ? x , y ? x ,y ? 可以归纳为 x 幂函数 y ? x? , 那么 y ? x?的导数是多少?
2

新课讲授
1. 基本初等函数的导数公式表
(1)若f(x)=c,则f'(x)=0; (2)若f(x)=xn(n?Q*),则f'(x)=nxn-1;

(3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx; (4)若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx.

例题讲解

例1. 求:

(1) ( x )?
3

1 ( 2) ( 2 )? x

( 3) ( x )?

课堂练习
1.求下列函数的导数:

1 (1) y ? 3 x

( 2) y ?

3

x

1 2. 质点运动方程是 s ? 5 ,求质点在 t
t=2时的瞬时速度.

例题讲解
? 1

例2. 求曲线y ? sin x在点A( , )的切线方程 . 6 2 练习.求曲线y ? cos x在点B( ?

? 1

, )的切线方程 . 3 2

新课讲授
2. 导数运算法则

问题2:函数y=x· sinx的导数怎样求?

由法则2可以得出:

[ c

× f ( x )] ' ? c' f ( x ) ? c f' ( x ) ? c f' ( x )

也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘 以函数的导数

例题讲解
例3.日常生活中的饮用水通常是经过净化 的.随着水纯净度的提高,所需净化费用 不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x% 时所需费用(单位:元)为 5284 c( x ) ? (80 ? x ? 100). 100 ? x 求净化到下列纯净度时,所需净化费用 的瞬时变化率: (1)90%; (2) 98%.

例题讲解
例4.求下列函数的导数:
(1) y ? x 4 ? 3 x 2 ? 5 x ? 6 ; ( 2) y ? x ? sin x ; cos x ( 3) y ? 2 . x

课堂练习
1.求下列函数的导数:
(1) y ? 2 sin x ? 4 cos x ; ( 2) y ? x ? cos x ; ( 3) y ? tan x .

课堂小结
1.四个公式:
(1)若f(x)=c,则f'(x)=0; (2)若f(x)=xn(n?Q*),则f'(x)=nxn-1; (3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx; (4)若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx.

课堂小结
2.运算法则:

课后作业

随堂练习: 3.2.2基本初等函数的导数的公式 及导数的运算法则(1)


相关文档

(第28课)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二十八
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[共课时]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则资料
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_图文.ppt
..基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一).ppt
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(侨中公开课)
电脑版