高中数学等比数列的概念与通项公式教学设计北师大版必修5

3.1 教学目标︰ 等比数列的概念及通项公式 1、通过实例,理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型,使学生认识到这一类型数列也是现实世界 中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳等比数列的定义的 过程. 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比,探索等比数列的通项公式. 教学重点:理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一, 探索并掌握等比数列的通项公式. 教学难点:等比数列通项公式的推导. 教学过程: 一、创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义, 今天我们就来学习另外一种特殊的数列. 新课导入(一) :小明和小强打赌,说:如果我有一张足够大的纸,我只要不断的对折, 我就可以沿着这张纸爬上珠穆朗玛峰。你觉得可能吗? 【学生】激发学生学习热情,通过观察,分析,理解题意,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ……2 1 2 3 4 5 28 ① (二) :公元前 5 至前 3 世纪,中国战国时, 《庄子》一书中有“一尺之棰,日取其半, 万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗? 【学生】思考、讨论,用现代语言叙述. 【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到的数列是什 么样的呢? 【学生】发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1, 1 1 1 1 , , , ,…。 ② 2 4 8 16 【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②,说说它们有什么 共同特点?引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.我们可以发现: 数列①从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列②从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 也就是说这个数列有一个共同的特点: 从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题,等比数列. 【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子,观察所给各个数列的共 同特点,进一步归纳出等比数列的定义. 二、探究新课 1、等比数列的定义 【教师】类比等差数列的定义,大家能否给等比数列下个定义? 【学生】独立思考,类比等差数列的定义。给等比数列下定义. 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示. 【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢?如果我们第 n 项用 a n 表示,那么它 的前一项该怎么表示,那么比怎么表示?这里的 n 的取值范围呢? 【学生】讨论,交流。得到 an ?1 a ? q (n ? N ? )或 n ? q (n ? 2, n ? N ? ) an an ?1 . 【老师】请同学们打开课本,看看课本上是怎样给等比数列下定义的,和刚才那位同学下 的定义一样吗?有什么不同? 【学生】阅读课本,仔细对比,找出不同。学生发现课本中有 q≠0 这个条件. 思考:等比数列的定义中,可否去掉“ q≠0”的条件?为什么?能否将“ 件改写成“ ”?为什么? ”的条 【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。 【学生】讨论,辨析,得到结论,不能去掉“q≠0”的条件,因为如果 q=0,则分子为 0,而 每一个分子都可能出现在分母中,则分母为 0 无意义; 任意项都不能为 0. 感悟:等比数列中 q≠0, an ? 0 . 【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢? 【学生 1】常数列. 【老师】是吗?有不同意见吗? 【学生 2】非零的常数列既是等差又是等比数列. 练习 1:判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比 q. (1) 2, 8,32,128,… ---不 是 表达式说明在等比数列中的 (2) -1,-5,-25,-125,… (3) 2,2,2,2,… (4) 1,-0.5,0.25,-0.125,… (5) 1, 2,1, 2,1, 2… (6) 1, a, a 2 , a 3 , a 4 ,? a n ?1 -- 是 --- 是 q =5 q =1 --- 是 q = - 0.5 --- 不是 取决于 a 能否等于 0 【老师】思考:公比 q 的取值范围是什么呢? 【学生】正数、负数,但是不能为零. 【老师】归纳等比数列的特点: (1) “从第二项起”每一项与“前一项”之比为同一常数 q, (2) 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 (3)q=1 时,数列为常数列. 2、等比数列的通项公式及推导 【老师】已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,你能写出这个等比数列的第 n 项 an 吗? 通项公式的推导:方法一:归纳法 方法二:叠乘法 得出通项公式 an ? a1 ? q n ?1 , (a1 ? 0, q ? 0) 【设计意图】让学生体会通项公式的产生过程,加深理解. 3、例题讲解 例 1.已知等比数列 a (1)数列的首项和公比; ( 2) 6 . {an } 中, a3 ? 12, a4 ? 18 ,求: 比 数列的定义,及通项公式. 【设计意图】让学生在应用中熟悉掌握等 {a } 变式: 已知等比数列 n 中, 1 a3 ? 12, 公比q ? , 2 求 a6 . 【老师】已知数列的某一项和公比,如何求 【学生】可先求出首项,再求 a6 ? a6 . a6 . 【老师】很好!可不可以不求首项比,直接求 1 3 a3 ? a1 ? q 2 , a6 ? a1 ? q 5 ,? a6 ? a3 ? q 3 ? 12 ? ( )3 ? 2 2 ,用这种方法可不求首项。 【学生】 【老师】这种方法法能否推广一下?如已知等比数列为 a1,a2, · · ·am,

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