【三维设计】高中数学 1.3.1第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修1_图文

1.3 第 一 章 函 数 的 基 本 性 质 1.3.1 (小) 单调 性与 最大 值 第 一 课 时 函 数 的 单 调 性 1 理解教 材新知 知识点一 2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验 题型一 题型二 题型三 随堂即时演练 课时达标检测 1.3.1 单调性与最大(小)值 函数的单调性 第一课时 函数的单调性 [提出问题] 观察下列函数图象: 问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变化? 提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大. 乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大. 问题2:甲、乙图中,若x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系 是什么? 提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2). 问题3:丙图中,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量x属于哪 个区间? 提示:[0,+∞). [导入新知] 1.定义域为I的函数f(x)的增减性 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就 说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ,区间D叫 做y=f(x)的 单调区间 . [化解疑难] 1.x1,x2 的三个特征 (1)任意性,即 x1,x2 是在某一区间上的任意两个值,不能 以特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值 x1,x2 必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域 或其子区间上,所以函数的单调区间是其定义域的子集. (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在 单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用 1 “∪”连接,而应该用“和”连接.如函数 y=x在(-∞,0)和 1 (0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数 y=x在 (-∞,0) ∪(0,+∞)上单调递减. (4) 并 非 所 有 的 函 数 都 具 有 单 调 性 . 如 函 数 f(x) = ? ?1,?x是有理数?, ? ? ?0,?x是无理数? 就不具有单调性. 由函数图象说明函数的单调性 [例 1] (1)函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( ) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] (2)画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间. (1)[解析] 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[- 3,1]上单调递增. [答案] C (2)[解] 2 ? ?-x +2x+1 y=? 2 ? - x -2x+1 ? ?x≥0? , ?x<0? 即 2 ? - ? x - 1 ? +2 ? y=? 2 ? - ? x + 1 ? +2 ? ?x≥0? , ?x<0? 函数图象如图所示,单调增区间为 (-∞,- 1],[0,1], 单调减区间为[-1,0],[1,+∞ ]. [类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 (1)图象从左向右上升,叫函数递增;图象从左向右下降, 则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不 能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接. [活学活用] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|. ? ?3x,x≥0, 解:(1)f(x)=3|x|=? ? ?-3x,x<0. 图象如图所示. f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞). (2)令 g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴 下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图 所示. 由图象易得:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞ );函数的 递减区间是(-∞ ,-3],[-1,1]. 函数单调性的证明 [例 2] 1 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(- x ∞,0)上是增函数. [证明] 对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,有 f(x1) 1 1 -f(x2)= 2- 2 x1 x2 2 x2 -x2 ?x2-x1??x2+x1? 1 = 2 2 = . 2 x1x2 x2 x 1 2 ∵x1<x2<0,∴x2-x1>0, 2 x1+x2<0,x2 x 1 2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x 对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,有 ?x2-x1??x2+x1? f(x1)-f(x2)= . 2 x2 1x2 2 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x1 x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数. x [类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤 [活学活用] x+2 利用单调性的定义, 证明函数 y= 在(-1, +∞)上是减函数. x+1 证明:设 x1,x2 是区间(-1,+∞)上任意两个实数且 x1<x2,则 x1+2 x2+2 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 x2-x1 = ,∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0. ?x1+1??x2+1? x2-x1 ∴ >0.即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x

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