【金版优课】高中数学人教版选修2-1课堂练习:2-4-2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析

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03 课堂效果落实
1.顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的 抛物线的标准方程是( A.x2=± 3y C.x2=± 12y ) B.y2=± 6x D.x2=± 6y

解析:因为顶点在原点,对称轴是 y 轴,则开口向上或向下,由 p 2 = 3 ,得 p = 6. 故方程为 x =± 2py=± 12y. 2 答案:C 1 2.[2014· 安徽高考]抛物线 y=4x2 的准线方程是( A. y=-1 C. x=-1 B. y=-2 D. x=-2 )

解析: 本题是圆锥曲线问题, 考查抛物线方程和简单几何性质. 抛 1 物线 y=4x2 的标准方程为 x2=4y,所以其准线方程为 y=-1. 答案:A 3.已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异 两点 A、B,则|AB|等于( A.3 C.3 2 ) B.4 D.4 2

解析:设直线 AB 的方程为 y=x+b,
2 ? ?y=-x +3, 由? 消去 y 化简整理得 x2+x+b-3=0, ?y=x+b, ?

1 1 ∴x1+x2=-1,进而可求出 AB 的中点 M(-2,-2+b),又由 1 1 M(-2,-2+b)在直线 x+y=0 上可求出 b=1,∴x2+x-2=0,
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∴x1+x2=-1,x1x2=-2, ∴ |AB| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 2?x1-x2?2 = 2?x1+x2?2-8x1x2 =3 2. 答案:C 4.[2013· 江西高考]抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双 x2 y2 曲线 3 - 3 =1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p= ________. 解析:本题主要考查抛物线的概念、直线与双曲线的关系.由于

?y=-p p x2 2 x =2py(p>0)的准线为 y=-2,由? ,解得准线与双曲线 3 2 2 ?x -y =3
2

y2 - 3 =1 的交点为 A(- =2

1 p 3+4p2,-2),B(

1 p 3+4p2,-2),|AB|

1 3 3+4p2,由△ABF 为等边三角形,得 2 |AB|=p,解得 p=6. 答案:6 5. [2014· 黑龙江哈尔滨三模]已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物

→ 1 线 G:x =2py(p>0)相交于 B,C 两点.当直线 l 的斜率是2时,AC=
2

→ 4AB. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,直线 l 1 的方程为 y=2(x+4),即 x=2y-4.

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百度文库 2 ? ?x =2py, 8+p 联立? 得 2y2-(8+p)y+8=0,y1+y2= 2 ,y1y2= ?x=2y-4, ?

4. → → 由已知AC=4AB得 y2=4y1. 由韦达定理可得 y1=1,y2=4,p=2, ∴抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0),
?x2=4y, ? 由? 得 x2-4kx-16k=0, ?y=k?x+4?, ?

由 Δ>0 得 k<-4 或 k>0, ∴x0= xB+xC 2 =2k,

y0=k(x0+4)=2k2+4k, 1 ∴BC 的中垂线为 y-2k2-4k=-k(x-2k), ∴b=2(k+1)2, ∴b>2.

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