高中数学 第1部分 第四章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

理解教材新知 第 四 章 4.2 考点一 4.2.1 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 “大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句, 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳 看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落 山的图片. 问题1:图片中,地平线与太阳的位置关系怎样? 提示:(1)相离 (2)相切 (3)相交 问题2:结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置 关系,直线与圆有几种位置关系? 提示:3种,分别是相交、相切、相离. 问题3:如何判断直线与圆的位置关系? 提示:可利用圆心到直线距离d与半径r的关系. 1.直线与圆有三种位置关系. 位置关系 相交 相切 交点个数 有 两个 公共点 只有 一个 公共点 相离 没有 公共点 2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系的判断 位置关系 公共点个数 判 定 几何法:设圆心到直线 D< r D = r D >r |Aa+Bb+C| 方 的距离d= A2+B2 法 相交 相切 相离 两 个 一 个 零 个 位置关系 判 定 方 法 代数法:由 ? ?Ax+By+C=0 ? 2 2 2 ? ? x - a ? + ? y - b ? = r ? 相交 相切 相离 Δ > 0 Δ= 0 Δ <0 消元得到一元二次方程的 判别式Δ 判断直线与圆的位置关系,一般常用几何法, 因为代数法计算繁琐,书写量大,易出错,几何法 则较简洁,但是在判断直线与其他二次曲线的位置 关系时,常用代数法. [例1] 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系: ①相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围. [思路点拨] 思路一,直线和圆的方程联立得方程组,转 化为讨论方程组的解的个数问题; 思路二,利用圆心到直线的距离与半径相比较,转化为解 不等式或方程问题. [精解详析] 法一:(代数法) 消去y,得25x2+8ax+a2 ? ?4x-3y+a=0, 由方程组 ? 2 2 ? ?x +y =100, -900=0. Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0, -50<a<50; ②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50. 法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, |a| |a| 则圆心到直线的距离d= 2 2= 5 , 3 +4 |a| ①当直线和圆相交时,d<r,即 5 <10,-50<a<50; |a| ②当直线和圆相切时,d=r,即 5 =10,a=50或a=-50; |a| ③当直线和圆相离时,d>r,即 5 >10,a<-50或a>50. [一点通] “代数法”与“几何法”判断直线与圆的 位置关系,是从不同的方面,不同的思路来判断的,“代 数法”侧重于“数”,是从方程角度考虑,计算较为繁琐; “几何法”侧重了“形”,是从几何的角度考虑,方法较 为简单,是判断直线与圆的位置关系的常用方法. 1.(2011· 合肥模拟)直线x+ 3y=0绕原点按顺时针方 向旋转30? 所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置 关系是 A.直线与圆相切 B.直线与圆相交但不过圆心 C.直线与圆相离 D.直线过圆心 ( ) 解析:直线按顺时针方向旋转30?后,所得直线方程 为 3 x+y=0,由圆的方程可知圆心坐标为(2,0),半 径长为 3 .圆心到直线 3 x+y=0的距离d= 3 =r, 所以直线与圆相切. 答案:A 2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的 值为 ( ) A.0或2 C.2 B.0或4 D.4 解析:法一:圆x2+y2=m的圆心坐标为(0,0),半径长r |m| = m(m>0),由题意得 = m,即m2=2m, 2 又m>0,所以m=2. ? ?x+y+m=0, 法二:由? 2 2 ? ?x + y = m 消去y并整理, 得2x2+2mx+m2-m=0. 因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解, 因此Δ=(2m)2-8(m2-m)=0,即m2-2m=0, 又m>0,所以m=2. 答案:C x y 3.若直线a+b=1与圆x2+y2=1有公共点,则 A.a2+b2≤1 1 1 C.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 1 1 D.a2+b2≥1 ( ) 解析:圆的圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离小于或 |b×0+a×0-ab| 等于圆的半径1,即 ≤1. 2 2 a +b a2+b2 1 1 即 a2b2 ≥1,则a2+b2≥1. 答案:D [例2] 已知圆C:x2+y2=25. (1)求过点P(3,4)的圆的切线方程; 5 (2)求过点Q(-5,2)的圆的切线方程. [思路点拨] (1)直线和圆相切,则过圆心和切点的直 线与切线垂直.(2)直线和圆相切,则圆心到直线的距离等 于半径. [精解详析] (1)∵32+42=25, ∴点P在圆C上, 由圆C:x2+y2=25知圆心C(0,0),r=5. 4-0 4 则CP的斜率kCP= = ,因为圆的切线垂直于经过 3-0 3 3 切点的半径,所以所求切线的斜率k=-4, 3 故经过点P的切线方程为y-4=-4(x-3), 即3x+4y-25=0. 5 (2)∵(-5)2+(2)2>25,∴点Q在圆外. 若所求直线斜率存在,设切线斜率为k, 5 则切线方程为y-2=k[x-(-5)], 5 即kx-y+5k+2=0. 因圆心C(0,0)到切线的距离等于半径5, 5 |5k+2| 3 所以 2 =5,∴k=4. k +1 3 15 5 故所求

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