等差数列复习教案(学生用)

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等差数列
重点导读 一、基本知识复习 1.等差数列的相关概念及等差中项 2.判断或证明等差数列的方法主要有 (1) ;(定义法) (2) ;(等差中项法) (3)an= ;(通项法) (4)Sn= . 注:在具体的证明过程中,若出现(3)或(4),最好再利用(1) 或(2)的思想方法. 3.基本公式及等价形式 (1)关于 an 的: ①an= ; ②an= ; ③an= . (2)关于 Sn 的: ①Sn= ; ②Sn= ; ③Sn= ; ④Sn= . ●课本中推导 Sn 的方法称为 . 4.三个数或四个数成等差数列的表达方式 三个数 一般设法 定义设法 对称设法 a-d,a,a+d (d 为公差) 一般设法 一、基本知识复习 1.等比数列的相关概念及等比中项 2.判断或证明等比数列的方法主要有 (1) ;(定义法) (2) ;(等比中项法) (3)an= ;(通项法) (4)Sn= . 注:在具体的证明过程中,若出现(3)或(4),最好再利用(1) 或(2)的思想方法. 3.基本公式及等价形式 (1)关于 an 的: ①an= ; ②an= ; ③an= . (2)关于 Sn 的: ①Sn= ; ②Sn= ; ③Sn= ; ④Sn= . ●课本中推导 Sn 的方法称为 . 4.三个数或四个数成等差数列的表达方式 三个数 定义设法 对称设法 a/d,a,ad (d 为公差) a,b,c 且 2b=ac a,b,c 且 2b=a+c a,a+d,a+2d,a+3d (d 为公差) 四个数 二、基本知识· 性质的拓展 1.若{an}为等差数列,且满足 则 am+an=ap+aq(m, n,p,q∈N*) 2.(1)在等差数列{an}中,下标成等差数列,且公差为 m 的项, ak,ak+m,ak+2m,?,(k,m∈N*)组成 数列. (2)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}是 数列, 如{an+bn},{an-bn}是等差数列. (3){an}是等差数列,则 a1+a2+?+am,am+1+am+2+?+ a2m,a2m+1+a2m+2+?+a3m,?是 数列. 3.与前 n 项和有关的等差数列的性质 (1)等差数列的依次每 k 项之和 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?组成 公差为 的等差数列. (2)若等差数列项数为 2n(n∈N*),则 S2n=n(an+an+1)(an,an+ S偶 an+1 1 为中间两项)且 S 偶-S 奇=nd, = a . S奇 n (3)若项数为 2n-1,则 S2n-1= S偶 -S 偶=an, = S奇 . an(an 为中间项)且 S 奇

4.在等差数列中:若 a1>0,d<0,则 Sn 必有最 值, 这时既可由二次函数 确定 n,也可用不等式组

{a a {

n n+1

0 0 0

来 确 定 n. 若 a1 < 0 , d > 0 , 则 Sn 必 有 最 确定 n,也可用不等式组

值,这时既可由二次函数 an an+1 来确定 n. 0

二、基本知识· 性质的拓展 1.若{an}为等比数列, 且满足 则 aman=apaq(m, p, n, q∈N*) 2.(1)在等比数列{an}中,下标成等比数列,且公比为 m 的项, ak,ak+m,ak+2m,?,(k,m∈N*)组成 数列. (2)若{an},{bn}是等比数列,则{pan+qbn}是 数列, 如{an+bn},{an-bn}是等比数列. (3){an}是等比数列,则 a1+a2+?+am,am+1+am+2+?+ a2m,a2m+1+a2m+2+?+a3m,?是 数列. 3.与前 n 项和有关的等比数列的性质 (1)等比数列的依次每 k 项之和 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?组成 公比为 的等比数列. 4 单调性在等比数列中:若 a1>0,0<q<1,则 an 为递增数


当 当 当 时,无单调性

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1 b∈R,且 a≠b)的四个根组成首项为 的等差数列,则 a 4 +b= 一、选择题 1.等差数列{an}中, 1+a2+a3=-24, 18+a19+a20 a a =78,则此数列前 20 项的和等于( A.160 B.180 C.200 ) D.220 .

例、已知数列{an}的首项 a1=3,通项 an 与前 n 项和 Sn 之间 满足 2an=Sn·n-1(n≥2). S 1 (1)求证:数列{ }是等差数列,并求公比; Sn (2)求数列{an}的通项公式.

2.如果 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列, 公比 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 ) B.a1a8<a4a5 13.已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足: 1 Sn= (an+2)2. 8 (1)求证:{an}是等差数列; 1 (2)若 bn= an-30, 求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5 3.设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( A.S4<S5 C.S6<S5 B.S4=S5 D.S6=S5 )

4.在等差数列中,am=n,an=m(m≠n),则 am+n 为 ( ) A.m-n B.0 C.m2 D.n2

5.一套共 7 册的书计划每 2 年出一册,若各册书的 出版年份数之和为 13979, 则出齐这套书的年份是( A.1997 C.2001 B.1999 D.2003 ) 14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12, 且 S12>0,S13<0. (1)求公比 d 的范围;

a5 5 S9 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, = , 等 若 则 a3 9 S5 于( ) A.1 B.-1 C.2 1 D. 2

(2)问前几项的和最大,并说明理由.

二、填空题 7.等差数列{an}中,已知 a2+a3+a10+a11=36,则 a5+a8= .

等比数列
. 【例 1】 在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ① 求通项公式,② a1a3a5a7a9. 求

8.在数列{an}中, 1=1, 2=2, an+2-an=1+(- a a 且 1)n(n∈N*),则 S100=

1 9.设 f(x)= x , 利用课本中推导等差数列前 n 项 2+ 2 和的公式的方法,可求得 f( - 5) + f( - 4) + ? + f(0) + ? + f(5) + f(6) 的 值 为 . 10.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a,

例 2(1) 、已知 a 2 ? 4, a5 ? ? 知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值

1 ,求通项公式.(2) 、已 2

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④ m? n , mn ? np , n ? p ,其中 且 m > n > p >0;

m n ? , n q

1 a 【例 3】 设{an}是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 2 21 1 b1 ? b2 ? b3 ? , b1b2 b3 ? ,求等差数列的 8 8
通项 an.

⑤ log2 x , log2 x 2 , log2 x 3 其中可能是等差数列的数列序号是 比数列的数列序号是 . , 可能是等

5.已知实数 x , a1 , a2 , y 成等差数列,实数 x ,

b1 , b2 , y 成等比 数列,则
是 例 4 数列{an}中,a1=1,且 anan+1=4n,求前 n 项和 Sn.\

?a1 ? a2 ?2
b1b2

的 取 值范围

。 6.在 3 与 9 之间插入二个正数,使前三个数成等比 数列,而后三个数成等差数列,则这两个数的和 是 。 5 已知等差数列 {an } 中,a2 ? 6, a5 ? 15 若 bn ? a2 n , 则 数列 {bn } 的前 5 项的和为( C

1.如果 a1 , a2 , a3 三个数既成等差数列,又成等 比数列,那么这三个数( ) A.互不相等 B.不全相等 等的任意数 D.相等且不为 0
1 2 3

A

30

B

45

C

60

D

C.可以是相
n

186 6 在某地的奥运火炬传递活动中, 有编号为 1, 3,。, 2, 。。 18 的 18 名火炬手。取若从中 任选 3 人,则选出的火炬 手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 ( B )A

2.已知数列 10 5 , 10 5 , 10 5 ,…, 10 5 ,…的前

1 51

B

1 1 C 68 306

D

1 408

n 项之积不超过 103 ,则 n 的最大值为( )
A.4 D.7
2

a , 7 等差数列 {an } 中, 4 ? 10 , a3 , a 0 a 成等比数列, 且 6 1
C.6 则数列的前 20 项的和为___200 或___330

B.5

3. 若方程 x ? 5 x ? m ? 0 与 x ? 10x ? n ? 0 的四
2

8 已知 f ( x) ?

个实数根适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数 列,则 m ∶ n 的值为( ) A.4 D. B.2 C.

1 x ,数列 {an } 满足 a1 ? , 3 3x ? 1 an?1 ? f (an ) ,则 an ? _______

1 2

1 4
4.给出下面五个数列: ①l,2a,3a ,…, na
2 3
2

1.基本量的思想:常设首项、 (公差)比为基本量,借助 于消元思想及解方程组思想等。 转化为 “基本量” 是解决问题的基本 方法。 解读: “知三求二” 。

n ?1

,…( n ∈

);

② x , x , x ,…, x …( n ∈

n

); 3.等差数列与等比数列的联系 1)若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 {a n } 是等比数列,
a

③coskπ, cos2kπ, cos3kπ,…, cos nkπ,…, ( k ∈Z, n ∈ );

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d

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公比为 a ,其中 a 是常数, d 是 ?an ? 的公差。 (a>0 且 a≠1) ; 2) 若数列 ?an ? 是等比数列, an ? 0 , 且 则数列 ?log a an ? 是 等 差 数 列 , 公 差 为 log a q , 其 中 a 是 常 数 且

a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。

3)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常 数数列。 题型 1 等差数列与等比数列的联系

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?
变式训练 2

n ?1

?

2 n? N? 3n
2

?

?
n-1

已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三 an=8n 对任意的

例 1 (2010 陕西文 16)已知{an}是公差不为零的等差 数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列.(Ⅰ)求数 列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
an

项对应相同, a1+2a2+2 a3+?+2 且
*

n∈N 都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求数列{an}与 {bn}的通项公式。

?a1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1
2 -2. 变式训练 1 (2010 北京文 16)已知{an}为等差数列, 且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求{an}的通项公式; ( Ⅱ ) 若 等 比 数 列 ?b n ? 满 足 b1 ? ?8 ,
n+1

(n ? 1) (n ? 2, n ? N)

.是重要考点;2)韦

达定理应引起重视;3)迭代法、累加法及累乘法是求数 列通项公式的常用方法。 题型 3 中项公式与最值(数列具有函数的性质) 例3


(2009 汕头一模) 在等比数列 n} an>0 (n ? N {a 中,

) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,a3 与

as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn = log2 an , 数 列 { bn } 的 前 n 项 和 为 Sn 当

b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?b n ? 的前 n 项和公式

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n

Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q
与“前 n 项和 Sn 与通项 an” 、常用求通项公式 (2009 广东三校一模)数列{an}是公差大于零的 变式训练 3 (2009 常德期末)已知数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n , a1 ?

题型 2 的结合 例2

1 1 且 S n ? S n ?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 4 2

2 等差数列, a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根。数

b1 ? ?

119 ? 且 3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ) . 4

列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? 数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式。

1 bn n ? N ? ,求 2

?

?

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(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

等 差 数 列 定 义 通 项 公式 求 和 公 式 中 项 公 式 {an}为等差数列 ? an+1-an=d(常 数) ,n∈N+ ? 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)

等 比 数 列

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an }成等比数列 an?1
( an ? a1q n?1 ? ak q n?k . a1 , q ? 0 )

an = a1 +(n-1)d= ak +(n-k)d
Sn ?

(q ? 1) ?na1 n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? ? na1 ? d ? A ? n2 ? B? n n s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q 2 2 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
a与b的等比中项 ? G 2 ? ab ? G ? ? ab G

等差中项:若 a、b、c 成等差数 列,则 b 称 a 与 c 的等差中项, 且 b=

a?c ;a、b、c 成等差数 2 {an}为等比数列是 an+1 =an· n+2 的充分但不必要条 a 2
件.
*

列是 2b=a+c 的充要条件.

重 1 要

若 m、n、l、k∈N ,且 m+n=k+l,则 am·an=ak·al, m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak 反之不成立. (反之不一定成立); 特别地, 特别地, 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? a 2 。另: p 当 m ? n ? 2p 时 , 有

am ? an ? 2a p ; 特 例 :
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?。

an?k ? an?k ? (an )2
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 即:首尾颠倒相
乘,则积相等 下标成等差数列且公差为 m 的项 ak, k+m, k+2m, a a ? m 组成的数列仍为等比数列,公比为 q .





下标成等差数列且公差为 m 2 的项 ak,ak+m,ak+2m,?组成的 数列仍为等差数列,公差为 md. 3

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成 等
差数列。

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。


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