2012届高考数学一轮复习测试卷正弦定理和余弦定理

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第二十二讲

正弦定理和余弦定理
)

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2010·湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( 2 2 A.- 3 C.- 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3

a b bsinA 3 6 解析:依题意得 0°<B<60°,由正弦定理得 = 得 sinB= = ,cosB= 1-sin2B= ,选 sinA sinB a 3 3 D. 答案:D 2.(2010·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB, 则 A=( A.30° C.120° ) B.60° D.150°

b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 = = ,于是 A 解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA= 2bc 2bc 2 =30°,故选 A. 答案:A 3.(2010·江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 C. 3 3 2 B. 3 3 D. 4 )

1 2 由余弦定理得 CE=CF= AE2+AC2-2AC·AEcos45°= 解析: AC=1, AE=EF=FB= AB= , 设 则 3 3 CE2+CF2-EF2 4 5 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE·CF 5 sin∠ECF 所以 tan∠ECF= = cos∠ECF 答案:D 4 1-?5?2 ? ? 4 5 3 = . 4

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π 4.(2011·青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0,2?,则△ABC 的形状是( ? ? A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, a 2 a 2 ∴lg =lgsinB=lg .∴ =sinB= . c 2 c 2 π π ∵B∈?0,2?,∴B= ,由 c= 2a, ? ? 4 a2+c2-b2 3a2-b2 2 得 cosB= = 2 = 2 . 2ac 2 2a ∴a2=b2,∴a=b. 答案:D

)

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 )

4+2 3 3+ 3 1 1 1 3 解析:2b=a+c, ac· = ?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac· ?b2= ?b= . 2 2 2 3 3 2 答案:C 1 6. 已知锐角 A 是△ABC 的一个内角, b、 是三角形中各内角的对应边, sin2A-cos2A= , a、 c 若 则( 2 A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 1 1 解析:由 sin2A-cos2A= ,得 cos2A=- , 2 2 又 A 是锐角,所以 A=60°,于是 B+C=120°. B+C B-C 2sin cos 2 2 b+c sinB+sinC 所以 = = 2a 2sinA 3 B-C =cos ≤1,b+c≤2a. 2 答案:C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) )

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b a tanC tanC 7.(2010·江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC,则 + a b tanA tanB 的值是________.

1 解析:解法一:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理和 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= . 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 解法二: + =6cosC 得, =6· , a b ab 2ab 3 即 a2+b2= c2, 2 ∴ = cosA cosB tanC tanC sin2C + =tanC? sinA + sinB ?= ? ? cosCsinAsinB tanA tanB 2c2 =4. a +b2-c2
2

答案:4 8.(2010·山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2, 则角 A 的大小为________. π 解析:由 sinB+cosB= 2sin?B+4?= 2得 ? ? π π a b asinB sin?B+4?=1,所以 B= .由正弦定理 = 得 sinA= = ? ? 4 sinA sinB b π 2·sin 4 1 π 5π = ,所以 A= 或 (舍去). 2 2 6 6

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π 答案: 6 9.(2010·新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135°.若 AC= 2 AB,则 BD=________. 1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据余弦定理可得 3 3 2 1 2 1 b2=( 2)2+?3a?2-2× 2× acos45°,c2=( 2)2+?3a?2-2× 2× acos135°,由题意知 b= 2c, ? ? ? ? 3 3

1 可解得 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 1 10.(2010·新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 2 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 1 解析:由∠ADB=120°知∠ADC=60°,又因为 AD=2,所以 S△ADC= AD·DCsin60°=3- 3,所以 DC 2 1 1 =2( 3-1), 又因为 BD= DC, 所以 BD= 3-1, A 点作 AE⊥BC 于 E 点, S△ADC= DC·AE=3- 3, 过 则 2 2 所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 BE= 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以 AE △ABE 是等腰直角三角形, 所以∠ABC=45°, 在直角三角形 AEC 中, EC=2 3-3, 所以 tan∠ACE= = EC 3 =2+ 3,所以∠ACE=75°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°. 2 3-3 答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.(2010·全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a 解:由 a+b=a 1 1 +b 及正弦定理得 tanA tanB 1 1 +b ,求内角 C. tanA tanB

sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB,

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π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π π 即 sin?A-4?=sin?4-B?. ? ? ? ? 又 0<A+B<π, π π π 故 A- = -B,A+B= , 2 4 4 π 所以 C= . 2 12. (2010·辽宁)在△ABC 中, b, 分别为内角 A, C 的对边, 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. a, c B, 且 (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120°. 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2010·陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6, 求 AB 的长.

AD2+DC2-AC2 100+36-196 解: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= = 2AD·DC 2×10×6 1 =- , 2 ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB

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3 10× 2 AD·sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = sin45° = =5 6. sinB 2 2

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