第1章《坐标系》教案(新人教选修4-4)

一、坐标系 【基础知识导学】 1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。 2、 “坐标法”解析几何学习的始终,同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始 至终强化这一思想方法。 3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换,本质是一 样的。应注意:通过一个表达式,平面直角坐标系中坐标伸缩变换将 x 与 y 的伸缩变换 统一成一个式子了,即 ?

? x / ? ? x, ? ? 0 我们在使用时,要注意对应性,即分清新旧。 ? y ? ? y , ? ? 0 ?

【知识迷航指南】 【例 1】 (2005 年江苏)圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,|O1O2|=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点) ,使得 PM= 2 PN,试建立适当的坐标系,求动点 P 的轨迹方程。 P M N 。 。 O X

解:以直线 O1O2 为 X 轴,线段 O1O2 的垂直平分线 为 Y 轴, 建立平面直角坐标系, 则两圆的圆心坐标分别为 O1 (-2, 0) , O2 (2, 0) , 设P ( x, y ) 则 PM2=PO12-MO12= ( x ? 2) ? y ? 1
2 2

同理,PN2= ( x ? 2) ? y ? 1
2 2 2 2 2 2 因为 PM= 2 PN,即 ( x ? 2) ? y ? 1 =2[ ( x ? 2) ? y ? 1 ],

即 x ? 12x ? y ? 3 ? 0, 即 ( x ? 6) ? y ? 33, 这就是动点 P 的轨迹方程。
2 2 2 2

【点评】 这题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用, 考查建立坐标系、 数形结合思想、 勾股定理、两点间距离公式等相关知识,及分析推理、计算化简技能、技巧等,是一道很综 合的题目。 【例 2】在同一直角坐标系中,将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 ,求满足图象变换 的伸缩变换。 分析:设变换为 ?

? x? ? ? ? x, (? ? 0), 可 将 其 代 入 第 二 个 方 程 , 得 2?x ? ?y ? 4 , 与 ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0),

x ? 2 y ? 2 比较,将其变成 2 x ? 4 y ? 4, 比较系数得 ? ? 1, ? ? 4.

【解】 ?

? x? ? x ,直线 x ? 2 y ? 2 图象上所有点的横坐标不变,纵机坐标扩大到原来的 4 ? y? ? 4 y

倍可得到直线 2 x? ? y ? ? 4 。 【点评】 求满足图象变换的伸缩变换, 实际上是让我们求出变换公式, 我们将新旧坐标分清, 代入对应的曲线方程,然后比较系数可得了。 【解题能力测试】 1、已知 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? sin ?x ( ? ? 0) f 2 ( x) 的图象可以看作把 f 1 ( x ) 的图象在其 所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 A.

1 倍(纵坐标不变)而得到的,则 ? 为( 3



1 2

B .2

C.3

D.

1 3

2.在同一直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 线 C 的方程为( )

? x? ? 5x 后,曲线 C 变为曲线 2 x? 2 ? 8 y ? 2 ? 0, 则曲 ? y? ? 3 y

A. 25x 2 ? 36y 2 ? 0 B. 9x 2 ? 100y 2 ? 0 C. 10x ? 24 y ? 0 D.

2 2 8 2 x ? y ?0 25 9

3.?ABC 中,若 BC 的长度为 4,中线 AD 的长为 3,建立适当的坐标系,求点 A 的轨迹方程。

4.在同一平面坐标系中,经过伸缩变换 ? 曲线 C 的方程并画出图象。

? x ? ? 3 x, 后,曲线 C 变为曲线 x? 2 ? 9 y ? 2 ? 9 ,求 ? y? ? y

【潜能强化训练】

1 ? ? x? ? 2 x 1. 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形。 1 ? y? ? y 3 ?
(1) 5 x ? 2 y ? 0; (2) x ? y ? 1 。
2 2

2,已知点 A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,已知|BC|=4,点 A 到直线 l 的距离为 3, 求?ABC 的外心的轨迹方程。

【知识要点归纳】 (1) 以坐标法为工具, 用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题, 它的特点是 “数 形结合” 。 (2) 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。 (3) 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

?:?

? x? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系 ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0),

中的坐标伸缩变换。

一、坐标系 〔解题能力测试〕 1.C 2.A 3.取 BC 所在直线为 X 轴,线段 BC 中垂线为 Y 轴建立直角坐标系,得 x +y =9(y 2 2 ≠0) 4. x +y =1 〔潜能强化训练〕 1.(1) 5x? ? 3 y? ? 0 .(2) 4 x? ? 9 y? ? 1 .2.以 l 为 X 轴, 过定点 A 垂直于 X 轴的直线为 Y
2 2 2 2
2 2

轴建立直角坐标系,设?ABC 外心为 P(x,y),则 A(0,3)B(x-2,0)C(x+2,0),由|PA|=|PB| 得 x ? 6 y ? 5 ? 0。
2

高 考 资


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