2018版高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测52理

课时跟踪检测(五十二)
[高考基础题型得分练] 1.双曲线 x -my =1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( A. 1 4 B. 1 2
2 2

)

C.2 答案:D 解析:双曲线的方程可化为 x - =1, 1
2

D.4

y2 m

∴实轴长为 2,虚轴长为 2 ∴2=2?2 1 ,解得 m=4.

1

m



m

2.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,且经过点(2,2),则 C 的方程为( A. - =1 3 12 C. - =1 3 12 答案:A

)

x2 y2

y2 x2

B. D.

- =1 12 3 - =1 12 3

x2 y2

y2 x2

2 解析: 由题意, 设双曲线 C 的方程为 -x =λ (λ ≠0), 因为双曲线 C 过点(2,2), 则 - 4 4
2

y2

2

2 =λ ,解得 λ =-3,所以双曲线 C 的方程为 -x =-3,即 - =1. 4 3 12 3. [2017?吉林长春模拟]已知 F1, F2 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两个焦点, 以 F1F2 为直径的圆与双曲线的一个交点是 P,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心 率是( A. 2 C.2 答案:D 解析:不妨设点 P 位于第一象限,F1 为左焦点,|PF2|=m-d,|PF1|=m,|F1F2|=m+d, |F1F2| 2 2 2 其中 m>d>0,则有(m-d) +m =(m+d) ,解得 m=4d,故双曲线的离心率 e= |PF1|-|PF2| =5. ) B. 3 D.5

2

y2

2

x2

y2

x2 y2 a b

y2 ? π? 2 4.若双曲线 x + =1 的一条渐近线的倾斜角 α ∈?0, ?,则 m 的取值范围是( 3? m ?

)
1

A.(-3,0) C.(0,3) 答案:A

B.(- 3,0) D.?-

? ?

3 ? ,0? 3 ?

解析:由题意可知 m<0,双曲线的标准方程为 x - =1,经过第一、三象限的渐近线方 -m 程为 y= -mx,

2

y2

? π? 因为其倾斜角 α ∈?0, ?,所以 -m=tan α ∈(0, 3),故 m∈(-3,0). 3? ?
5.[2017?河南郑州模拟]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作斜率 为-1 的直线交双曲线的渐近线于点 P,点 P 在第一象限,O 为坐标原点,若△OFP 的面积为

x2 y2 a b

a2+b2
8

,则该双曲线的离心率为( 5 3 10 3

) B. 7 3 15 3

A.

C.

D.

答案:C

解析:如图所示, π 由 kPF=-1,得∠PFO= , 4 由 kOP=tan∠POF= ,得 sin∠POF= cos∠POF=

b a

b a +b a a +b
2 2

2

= , = ,

b c a c

2

π? b 2 a 2 a+b ? 所以 sin∠OPF=sin?∠POF+ ?= ? + ? = . 4? c 2 c 2 ? 2c

2

1 2 a +b c 又∵S△OPF= c?|PF|? = = ,得 2 2 8 8 |PF|=

2

2

2

c
2 2



a+b b 2c c 由正弦定理,得 = , c c
2 2 整理得 a=3b,又 a +b =c ,故 e=
2 2 2

10 . 3

6.[2015?新课标全国卷Ⅰ]已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点.若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) B.?-

x2

2

? ?

3 3? , ? 3 3?

? ?

3 3? , ? 6 6?

? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3
答案:A 解析:由题意知,a= 2,b=1,c= 3, ∴ F1(- 3,0),F2( 3,0),

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3

→ → ∴ MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → ∵ MF1?MF2<0, ∴ (- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0. ∵ 点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴
2 2 2

x2 0
2

-y0=1,即 x0=2+2y0,
2 2

2

2

2

∴ 2+2y0-3+y0<0, ∴ - 3 3 <y0< .故选 A. 3 3

7.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 9 16 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案:44

x2

y2

3

解析:由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 ∴|PQ|=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上, ∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,
?|PF|-|PA|=2a=6, ? 由双曲线定义知,? ?|QF|-|QA|=2a=6, ?

x2

y2

∴|PF|+|QF|=28. ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 8. 已知 F1, F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点, 以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, 若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是________. 答案: 3+1 解析:因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a,所以 e= =

x2 y2 a b

c a

= 3+1. 3-1

2

9.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点

x2 y2 a b

P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.
答案:2+ 3 解析:如图,F1,F2 为双曲线 C 的左,右焦点,

x2 y2 2 2 将点 P 的横坐标 2a 代入 2- 2=1 中,得 y =3b , a b
不妨令点 P 的坐标为(2a,- 3b), 此时 kPF2= 3b b = ,得到 c=(2+ 3)a, c-2a a

4

即双曲线 C 的离心率 e= =2+ 3. 10.[2017?江南十校联考]已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率 为 2,且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0. (1)解:∵e= 2, ∴可设双曲线的方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10), ∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)证明:证法一:由(1)可知,a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3
2 2 2 2

c a

m

m

kMF1?kMF2=

=- . 9-12 3

m2

m2

∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m =6,m =3, 故 kMF1?kMF2=-1, → → ∴MF1⊥MF2.∴MF1?MF2=0. 证法二:由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),
2 2

MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m),
→ → 2 2 ∴MF1?MF2=(3+2 3)?(3-2 3)+m =-3+m , ∵点 M(3,0)在双曲线上, ∴9-m =6,即 m -3=0, → → ∴MF1?MF2=0. [冲刺名校能力提升练] 1.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、 4 四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
5
2 2





x2

2

A. 2 C. 3 2

B. 3 D. 6 2

答案:D 解析:|F1F2|=2 3. 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). ∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90°, ∴|AF1| +|AF2| =|F1F2| , 即(2-a) +(2+a) =(2 3) , ∴a= 2,∴e= =
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

c a

3 2



6 .故选 D. 2

x2 y2 2 2.[2017?广西柳州、北海、钦州三市联考]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y a b
=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x±2y=0 C.x± 3y=0 答案:D 解析:抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为直线 x=-2,
2

B.2x±y=0 D. 3x±y=0

x2 y2 2 ∵双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,则双曲线的半焦 a b
距 c=2, ∴a +b =4,① 又∵|PF|=5,∴点 P 的横坐标为 3,代入抛物线 y =8x 得 y=±2 6,则 P(3,±2 6), 9 24 ∵点 P 在双曲线上,则有 2- 2 =1,②
2 2 2

a

b

6

联立①②,解得 a=1,b= 3,

x2 y2 ∴双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± 3x. a b
3.[2017?山西太原二模]已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, 过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A,B,若|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,则双 曲线的离心率为( A. 6+ 3 2 5+2 2 2 ) B. 6+ 3

x2 y2 a b

C.

D. 5+2 2

答案:B 解析:∵|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°, ∴|BF2|= 2|AF2|. 又由双曲线的定义知,|BF1|-|BF2|=2a, ∴|AF1|+|AB|- 2|AF2|=2a, 即|AF1|+(1- 2)?|AF2|=2a. 又|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2(2+ 2)a,|AF1|=2(1+ 2)a. 在 Rt△AF1F2 中,|AF1| +|AF2| =|F1F2| , 即[2(2+ 2)a] +[2(1+ 2)a] =(2c) ,
2 2 2 2 2 2

c2 ∴ 2=9+6 2,∴e= 9+6 2= 6+ 3.故选 B. a
4.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

x2 y2 a b

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
答案: 5 2

x-3y+m=0, ? ? 解析:由? b y= x, ? ? a am bm



? ?, , 点 A 的坐标为? ? ?3b-a 3b-a?
x-3y+m=0, ? ? 由? b y=- x, ? a ?


7

点 B 的坐标为?

? -am , bm ?, ? ?3b+a 3b+a?
m 3b m ? ? a 2 2, 2 2?, 9 b - a 9 b -a ? ?
2 2

则 AB 的中点 C 的坐标为?

1 而 kAB= ,由|PA|=|PB|,可得 3

AB 的中点 C 与点 P 连线的斜率为-3,
3b m 2 2 9b -a
2

即 kCP=

a2m 2 2-m 9b -a

=-3,

?b?2 1 化简得? ? = , ?a? 4
所以双曲线的离心率 e= 1+? ? = a

?b?2 ? ?

1 5 1+ = . 4 2

x2 y 2 5.[2017?甘肃兰州诊断]已知曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 y a b a 3 = 3x,右焦点 F 到直线 x= 的距离为 . c 2
(1)求双曲线 C 的方程; (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B, D 两点, 已知 A(1,0), → → 若DF?BF=1,证明:过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切.
2

b a 3 (1)解:依题意有 = 3,c- = , a c 2
∵a +b =c , ∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b =3, ∴双曲线 C 的方程为 x - =1. 3 (2)证明:设直线 l 的方程为 y=x+m(m>0),
2 2 2 2 2

2

y2

B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD 的中点为 M, y=x+m, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 3 ?

得 2x -2mx-m -3=0,

2

2

∴x1+x2=m,x1x2=- → → 又DF?BF=1,

m2+3
2



即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,
8

∴m=0(舍去)或 m=2, 7 ∴x1+x2=2,x1x2=- , 2 点 M 的横坐标为

x1+x2
2

=1,

→ → ∵DA?BA=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2) =5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0, ∴AD⊥AB, ∴过 A,B,D 三点的圆以点 M 为圆心,BD 为直径, ∵点 M 的横坐标为 1, ∴MA⊥ x 轴. ∴过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切. 6.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A,B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由已知,得 a= 3,c=2, 再由 a +b =c ,得 b =1, ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB), 将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 得(1-3k )x -6 2kx-9=0.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

?Δ =36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知,?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2

1-3k ≠0,

2

A

B

2

A B

2

解得

3 <k<1. 3

此时,l 与双曲线左支有两个交点.
9

故 k 的取值范围为?

? 3 ? ,1?. ?3 ?

6 2k (3)由(2),得 xA+xB= 2, 1-3k ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) 2 2 =k(xA+xB)+2 2= 2. 1-3k ∴AB 的中点 P 的坐标为? 2 ? ? 3 2k ?. 2, 1 - 3 k 1 - 3 k2? ?

1 设直线 l0 的方程为 y=- x+m,

k

4 2 将点 P 的坐标代入直线 l0 的方程,得 m= 2. 1-3k ∵ 3 2 <k<1,∴-2<1-3k <0. 3

∴m<-2 2. ∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

10


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