安徽省博文国际学校2012-2013年度高三第一次月考

安徽省博文国际学校 2012-2013 年度高三第一次月考 数学试题 2012.9

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1 .已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x ? Z 0 ? log 2 ( x ? 1) ? 2 ,则 M ? N ? ( A. {1,2} B{1} C{2} D{3} ( )

?

?



2 .在 ?ABC 中, ?A ? 30?, ?B ? 45?, BC ? 2. 则 AC 边长为

A. 2

B.

2 6 3

C.

2 2

D.

6 3
( D. 3,2 ) ( )

3 .锐角三角形 ABC 中,若 ?C ? 2?B, 则 A. (0,2) B. 2 ,2 ) (

AB 的范围是 AC
C. 2, 3 ) (

4 .原命题“设 a、b、c ? R, 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ”的逆命题、否命题、逆否命题中,真 命题的个数是( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

5 .设 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则 CU(M ? N)=( A.{1,2,3}
2

B.{2}

C.{1,3,4} )

D.{4}

6 .函数 f ( x) ? ( x ?1) ?1( x ? 1) 的反函数为( A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ≥1) 7 .已知 f ( x) ? sin A.2 3

B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ≥1)

?
3

( x ? 1) ? 3 cos
B. 3

?
3

( x ? 1) ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) ?
C.1 D.0





3 8 .已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) ,且 f (?2) ? f (?1) ? ?1 , f (0) ? 2 ,则 2
f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005 ? f (2006 = ) )

(A) -2

(B) -1

(C) 0

(D) 1

9 . 已知函数 f ( x) ? ?

?(3a ? 2) x ? 6a ? 1, x ? 1, 那么实数 a 的取值 在(??,??) 上单调递减, x x ?1 ?a ,

范围是 A (0,1) 10. 已知 B

2 (0, ) 3

C

3 2 [ , ) 8 3

D

3 [ ,1) 8

f ( x) 是 R 上的偶函数, g ( x) 是 R 上的奇函数,且 g ( x) ? f ( x ?1) ,若 f (2) ? 2 ,
) C .

则 g (2007) 的值为( A.2 B .4

4 2

D 8

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知下图(1)中的图像对应的函数为 y ? f ( x) ,则下图(2)中的图像对应的函数在 下列给出的四个式子中,只可能是_________.(请填上你认为正确的答案的序号)

① y ?| f ( x) |

② y ? f (| x |)

③ y ? ? f (| x |)

④ y ? f (? | x |)

12.符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 ,定义函数 ?x? ? x ? ?x?, 那么下列命题中正确的序号是 . (2)方程 ?x? ?

(1)函数 ?x?的定义域为 R,值域为 ?0,1? ; (3)函数 ?x?是周期函数;

1 ,有无数解; 2

(4)函数 ?x?是增函数.

? x ? 2, ( x ? ?1) 3 3 ? ? 2 ? 13.函 f ( x ) ? ? x , ( ?1 ? x ? 2) f (? ) ? ________, ? f (? )? ? __________ f ___ 2 2 ? ? ? 2 x , ( x ? 2) ?
14.函数 f ( x) ? 21? | x | 的值域为___________。 15.已知 f(x)=

2x ? 1 ,则 f x ?1

?1

(3) ? ____________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内. 16.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边的边长分别为 a、b、c,且 a,b,c 成等比数列. (1)求角 B 的取值范围;

(2)若关于角 B 的不等式 cos 2 B ? 4 sin( 取值范围.

?
4

?

B ? B ) sin( ? ) ? m ? 0 恒成立,求 m 的 2 4 2

17.已知 tan ? 是方程 x 2 ? 2 x sec ? ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值.

18.设 A={x|x +px+q=0}≠φ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M=φ ,A∩N=A, 求 p、q 的值。

2

19.已知 a ? 5 3 cos x, cos x , b ? ?sin x,2 cos x? ,记函数 f ?x ? ? a ? b ? b .
2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的周期及 f ?x ? 的最大值和最小值; (Ⅱ)求 f ?x ? 在 ?0, ? ?上的单调递增区间.

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax 和 g ( x) ? x ? a .其中 a ? R且a ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 与的图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2)若 p 和 q 是 方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的两根,且满足 0 ? p ? q ?

1 ,证明: 当 a

x ? ? 0, p ? 时, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a .

21.已知关于 x 的不等式 loga (8 ? ax) ? 1在区间[1,2]上恒成立,求实数 a 的取值范围。

安徽省博文国际学校 2012-2013 年度高三第一次月考参考答案

一、选择题 1. A 2 . C 3 . C 4 . B 5 . D 6 . B 7 . B 8 . A 9 . C 10. A

二、填空题 11.④ 12. 、 (2)(3) 13.

1 1 , 2 4

14. ( 0 , 2 ] 。 15. ? 4 三、解答题 16. (1)? b ? ac,? cos B ?
2

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? 2ac 2ac 2
1 , 2

当且仅当 a=b=c 时, cos B ?

? B ? (0, ] 3
(2) cos 2 B ? 4 sin(

?

?
4

?

B ? B ) sin( ? ) ? m 2 4 2

? B ? B ? cos 2 B ? 4 sin( ? ) cos( ? ) ? m 4 2 4 2
? cos 2 B ? 2 sin( ? B) ? m 2 2 ? 2 cos B ? 2 cos B ? m ? 1 1 3 ? 2(cosB ? ) 2 ? m ? 2 2

?

?

1 ? cos B ? 1 2 1 3 3 ? 2(cosB ? ) 2 ? m ? ? [m ? , m ? 1) 2 2 2
∵不等式 cos 2 B ? 4 sin(

?
4

?

B ? B ) sin( ? ) ? m ? 0 恒成立, 2 4 2

?m ?

3 3 ? 0得m ? 2 2 3 故 m 的取值范围为 ( ,?? ) 2

17.∵ tan ? 是方程 x 2 ? 2 x sec ? ? 1 ? 0 的较小根,∴ 方程的较大根是 cot ? .

1 2 ?? sin? cos ? cos ? 1 7? ? ∴ sin? ? ? . 解得 ? ? 2k? ? ,或 ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 6 6 3 7? 当 ? ? 2k? ? , cot ? ? 3 ; (k ? Z) 时, tan ? ? 3 6 3 ? 当 ? ? 2k? ? (k ? Z) 时, tan ? ? ? , cot ? ? ? 3 ,不合题意. 3 6 7? ∴ ? ? 2k? ? , k ?Z . 6
∵ tan ? + cot ? = ? 2 sec ? ,即 18.解:A 中的元素只能是 4、10;

?16 ? 4 p ? q ? 0 ?100 ? 10 p ? q ? 0 ?16 ? 4 p ? q ? 0 或? 或? ? 2 2 ?100 ? 10 p ? q ? 0 ?? ? p ? 4q ? 0 ?? ? p ? 4q ? 0
? p ? ?20 ? p ? ?8 ?p ? ?14 解得: ? ,或 ? ,或 ? ?q ? 16 ?q ? 40 ?q ? 100
19.解(Ⅰ) a ? b ? 5 3 cos x sin x ? 2 cos2 x, b ? sin 2 x ? 4 cos2 x
2

f ?x ? ? 5 3 cos x sin x ? sin 2 x ? 6 cos2 x ?

5 3 1 ? cos2 x sin 2 x ? ? 3?1 ? cos2 x ? 2 2

?

5 3 sin 2 x ? 5 cos2 x ? 7 ?? 7 ? ? 5 sin? 2 x ? ? ? 2 6? 2 ?
2? 17 3 ? ? , f ?x ?的最大值和最小值分别 为 ,? 2 2 2

?T ?

(Ⅱ) f ?x ? 的单调递增区间为 2k? ?

?

? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?
2

令k ? 0,? ? k ? 1,

?
3

?x?

?
6

,? 0 ? x ?

?
6

2? 7? 2? ? ? ? ? 2? ? ?x? ,? ? x ? ? ? ?0, ? ?上的单调递增区间为 ?0, ?, ? , ? ? 3 6 3 ? 6? ? 3 ?

20.解: (1)设函数 g ( x) 图像与 x 轴的交点坐标为( a ,0) , 又∵点( a ,0)也在函数 f ( x ) 的图像上,∴ a ? a ? 0 .
3 2

而 a ? 0 ,∴ a ? ?1 .

(2)由题意可知

f ( x) ? g ( x) ? a( x ? p)( x ? q) .
1 ,∴ a( x ? p)( x ? q) ? 0 ,∴当 x ? ? 0, p ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0, a

?0 ? x ? p ? q ?
即 f ( x) ? g ( x) .

又 f ( x) ? ( p ? a) ? a( x ? p)( x ? q) ? x ? a ? ( p ? a) ? ( x ? p)(ax ? aq ? 1) ,

x ? p ? 0, 且ax ? aq ? 1 ? 1 ? aq ? 0, ∴ f ( x) ? ( p ? a) <0, ∴ f ( x) ? p ? a ,
综上可知, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a . 21.解当 a ? 1时, loga (8 ? ax) ? 1 ? loga (8 ? ax) ? loga a ? 8 ? ax ? a

?a?

8 ( x ? [1,2]). x ?1 8 8 ( x ? [1,2]) 的最小值是 , x ?1 3

根据条件,a 应小于 f ( x ) ?

3 ?1 ? a ? . 当 0 ? a ? 1 时, 8

loga (8 ? ax) ? 1 ? loga (8 ? ax) ? loga a ? 0 ? 8 ? ax ? a
? ?a ? ? ?? ?a ? ? ? 8 , x ( x ? [1,2]) 8 . x ?1
8 ( x ? [1,2]) 的最小值 4; x

根据条件,a 应小于 f 1 ( x) ? 同时 a 应大于 f 2 ( x) ?

8 ( x ? [1,2]) 的最大值 4,即 4 ? a ? 4 ,不成立。 x ?1

综上,a 的取值范围是 (1, ).

8 3


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