高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及其函数特征课件 文 北师大版

第五章 数 列

第一节 数列的概念及其函数特征

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通 项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。

J 基础知识 自主学习

知识梳理
1.数列的概念 按__一__定__次__序_____排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这 个数列的__项____。数列一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记 为__{_a_n_}__,其中数列的第1项a1也称____首__项____;an是数列的第n项,也 叫数列的___通__项____。

2.数列的分类 分类原则 按项数
按项与项 间的大小
关系

类型

满足条件

有穷数列

项数_有__限__

无穷数列

项数_无__限__

递增数列 递减数列 常数列
摆动数列

an+1_>__an

an+1__<_an

其中n∈N+

an+1=an

从第2项起有些项大于它的前一

项,有些项小于它的前一项

3.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看作定义域为正整数集
__N__+_(_或__它__的__有__限__子__集__) 的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对 应的一列___函__数__值______就是这个数列。
4.数列的递推公式 如 果 已 知 函 数 {an} 的 首 项 ( 或 前 几 项 ) , 且 ____任__一__项__a_n___ 与 它 的 ___前__一__项__a_n_-_1__(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个 公式叫数列的递推公式。

基础自测
[判一判] (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列。( × ) 解析 错误。如1,2,3;3,2,1是两个不同的数列。 (2)一个数列中的数是不可以重复的。( × ) 解析 错误。常数列中的每一个数都相等。 (3)所有数列的第n项都能使用公式表达。( × ) 解析 错误。有些数列没有通项公式。 (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个。( √ ) 解析 正确。如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为 an=(-1)n 或
?-1,n为奇数, an=??1,n为偶数。

(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn。 (√ )
解析 正确。∵Sn+1=Sn+an+1,∴Sn+1-Sn=(Sn+an+1)-Sn=an+1。 (6)在数列{an}中,对于任意正整数m,n,am+n=anm+1,若a1=1,则 a2=2。( √ ) 解析 正确。令m=n=1,则a2=a1+1=2。 (7)若已知数列{an}的递推公式为 an+1=2an1-1,且 a2=1,则可以写出
数列{an}的任何一项。( √ )
解析 正确。

[练一练]

1.数列 1,23,35,47,59,…的一个通项公式 an 是(

)

n

n

A.2n+1 B.2n-1

n

n

C.2n-3 D.2n+3

解析 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为 an=2nn-1。 答案 B

2.已知 an=nn- +11,那么数列{an}是(

)

A.递减数列

B.递增数列

C.常数列

D.摆动数列

解析 an=nn-+11=?n+n+1?1-2=1-n+2 1, ∴{an}为递增数列。 答案 B

?2·3n-1?n为偶数?, 3.已知数列{an}的通项公式是 an=??2n-5?n为奇数?, 则 a4·a3= _5_4______。 解析 a4·a3=2×33·(2×3-5)=54。

4 . 已 知 数 列 {an} 的 前n 项和 Sn = 2n -3 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式是 ?-1,n=1, _a_n_=__??_2_n-_1_,__n_≥__2_。__。 解析 当 n=1 时,a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1。
?-1,n=1, 故 an=??2n-1,n≥2。

R 热点命题 深度剖析

考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式。 (1)-1,7,-13,19,…; 【解】 数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的 绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)(n∈N +)。 (2)0.8,0.88,0.888,…;
【解】 数列变为89???1-110???,89???1-1102???,89???1-1103???,…, 故 an=89???1-110n???。

(3)-12,14,-58,1136,-2392,6641,…。 【解】 各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2,3,4 项的分子分 别比分母小 3。 因此把第 1 项变为-2-2 3, 原数列化为-212-1 3,222-2 3,-232-3 3,242-4 3,…, 故 an=(-1)n2n2-n 3。

【规律方法】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转 化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法。 (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③ 拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同。对于分式 还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对 于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理。

变式训练1 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; 解 各数都是偶数,且最小为4,所以通项公式an=2(n+1)(n∈N+)。 (2)-1×1 2,2×1 3,-3×1 4,4×1 5,…;
解 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,
且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式 an=(-1)n×n?n1+1?。

(3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b为实数);
解 这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b,所以此数列的一个 ?a,n为奇数,
通项公式 an=??b,n为偶数。 (4)9,99,999,9 999,…。 解 这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,
所以它的一个通项公式an=10n-1。

考点二 an与Sn关系的应用

an 与 Sn 关 系 的 应 用 是 高 考 的 常 考 内 容 , 且 多 出 现 在 选 择 题 或 填 空 题 中,有时也出现在解答题的已知条件中,难度较小,属容易题。
角度一:利用an与Sn的关系求an

1.已知数 ?2,n=1,



{an}





n





Sn



3n2



2n



1

















__a_n=__??_6_n_-__5_,__n_≥__2___。

解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-

5,显然当n=1时,不满足上式。

?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=??6n-5,n≥2。

(n∈N*)

2.若数列{an}的前

n

项和

Sn



2 3

an

+13

,则{an}

的通



公式是

an=

____(-__2_)_n_-_1____。 解析 ∵Sn=23an+13, ①

∴当 n≥2 时,Sn-1=23an-1+13。 ②

①-②,得 an=23an-23an-1,即aan-n 1=-2。 ∵a1=S1=23a1+13,

∴a1=1。 ∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列, an=(-2)n-1。

3.(2015·湖北?1黄2,冈n月=考1,)数列{an}满足13a1+312a2+…+31nan=3n+1,n ∈N+,则 an=___??_3_n_+_1,__n_≥__2________。

解析 当 n=1 时,a1=12。 因为13a1+312a2+…+31nan=3n+1,n∈N+, ①

所以当 n≥2 时,13a1+312a2+…+3n1-1an-1

=3n-2。 ②

所以①-②,得

an=3n+1。所以

?12,n=1, an=??3n+1,n≥2。

角度二:利用 an 与 Sn 的关系求 Sn 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( )

A.2n-1

B.???23???n-1

C.???32???n-1 解析

1 D.2n-1 由已知 Sn=2an+1 得

Sn=2(Sn+1-Sn),

即 2Sn+1=3Sn,SSn+n 1=32,而 S1=a1=1,

所以 Sn=???23???n-1。

答案 B

【规律方法】 an 与 Sn 关系的应用问题的常见类型及解题策略 (1)由 an 与 Sn 的关系求 an。数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=

? S1,n=1, ??Sn-Sn-1,n≥2。

当 n=1 时,若 a1 适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入

n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,若 a1 不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式 表示。

(2)由 an 与 Sn 的关系求 Sn。通常利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)将已知关系式转 化为 Sn 与 Sn-1 的关系式,然后求解。

考点三 数列的函数特征
【例2】 (1)已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是__(_-__3_,__+__∞__) _。
【解析】 解法一:(定义法) 因为{an}是递增数列, 所以对任意的 n∈N*,都有 an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn, 整理,得 2n+1+λ>0, 即 λ>-(2n+1)。(*) 因为 n≥1, 所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立, 只需 λ>-3。

解法二:(函数法)设 f(n)=an=n2+λn,其图像的对称轴为直线 n=-2λ, 要使数列{an}为递增数列,
只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数, 故只需满足-2λ<1.5,即 λ>-3。

(2)已知数列{an}的通项公式为 99

an=9n?1n0+n 1?,则此数列的最大项的值为

____1_0_8____。

【解析】 解法一:an+1-an=9n+110?nn++1 2?-9n?1n0+n 1?=190nn·8- 10n,

当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=8 时,an+1-an=0 时,即 an+1=an; 当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an。 所以数列的第 8 项和第 9 项的值最大,a8=a9=19098。

解法二:设数列{an}的第 n 项最大,

则???aann≥ ≥aann- +11, ,

??9n?1n0+n 1?≥910n-n1-n1, 即???9n?1n0+n 1?≥9n+110?nn++1 2?,

解得 8≤n≤9, 又 n∈N*, 则 n=8 或 n=9。 所以数列的第 8 项和第 9 项的值最大,a8=a9=19098。

【规律方法】 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法,根据 an+1-an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减 数列或是常数列。 ②用作商比较法,根据aan+n1(an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断。 ③结合相应函数的图像直观判断,注意自变量取值为正整数这一特殊 条件。
(2)求解数列中的最大项或最小项的一般方法 先研究数列的单调性,可以用???aann≥ ≥aann+ -11, 或???aann≤ ≤aann+ -11, , 也可以转化 为函数最值问题或利用数形结合求解。

变式训练2 已知数列{an}。 (1)若an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n为何值时,an有最小值?并求出最小值。 解 ①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4。
∵n∈N+,∴n=2,3。
∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3。
②∵an=n2-5n+4=???n-25???2-94的对称轴方程为 n=52。又 n∈N+,∴ 当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2。

(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N+,都有an+1>an。求实数k的取值范 围。
解 由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn +4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+,所以-2k<32,即得(- 3,+∞)。

S 思想方法 感悟提升

⊙1种思想——函数思想 数列是一种特殊的函数,因此,在研究数列问题时,既要注意函数方 法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性。如:数列an=f(n)和函数y=f(x) 的单调性是不同的。
⊙1 个关系——an 与 Sn 的关系
an=???SS1n-?Snn=-1 1?,?n≥2?。


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