高中数学(人教A)必修三课件:3.3 3.3.2 均匀随机数的产生 _图文

第三章 概 率
3.3.2 均匀随机数的产生

第三章 概 率
1.了解均匀随机数的产生方法与意义. 2.会用模拟试 验求几何概型的概率. 3.能利用模拟试验估计不规则图形的面积.

1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a,b]内的任何一个实数,而且出现任 何一个实数是_等__可__能__的__,则称这些实数为均匀随机数. 2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在一定范围内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_相__等__.

3.均匀随机数的产生 (1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是 RAND. (2)Excel 软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand”. (3)产生方法:①由几何概型产生;②由转盘产生;③由计算器 或计算机产生.

4.用模拟方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟法:做两个转盘模型,进行模拟实验,并统计试验 效果,进行近似计算. (2)计算机模拟法:用 Excel 软件产生[0,1]上的均匀随机数进 行模拟,注意操作步骤.

(1)均匀随机数与整数值随机数的异同点 ①相同点:随机产生的随机数.在一定的“区域”长度上出现 的几率是均等的; ②不同点:整数值随机数是离散的单个整数值.相邻两个整数 值随机数的步长为 1,而均匀随机数是小数或整数,是连续的, 相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的. (2)[a,b]上均匀随机数的产生

利用计算器或计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 x1=RAND, 然后利用伸缩和平移变换,x=x1·(b-a)+a 就可以得到[a, b]内的均匀随机数,试验的结果是[a,b]上的任何一个实数, 并且任何一个实数的出现都是等可能的.

判断正误.(对的打“√”,错的打“×”) (1)计算器只能产生(0,1)之间的随机数.( × ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数.( × ) (3)计算器只能产生均匀随机数.( × )

解析:(1)计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a,b]上的 整数值随机数等. (2)计算器不可以产生[a,b]上的均匀随机数,只能通过线性变 换得到. (3)计算器也可以产生整数值随机数.

下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( ) A.旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B.旋转的次数越多,估计的结果越精确 C.旋转时可以按规律旋转 D.转盘的半径越大,估计的结果越精确 解析:选 B.旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有 较大的误差,所以 C 不正确;转盘的半径与估计的结果无关, 所以 D 不正确;旋转的次数越多,估计的结果越精确,所以 B 正确,A 不正确.

如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此试验数据为依据可以 估计出椭圆的面积约为( )

A.7.68 C.16.32

B.8.68 D.17.32

解析:选 C.设椭圆的面积为 S,则 264×-4S=39060,解之得 S=16.32.

b1 是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则 b 是区间 ________上的均匀随机数. 解析:0≤b1≤1,则函数 b=3(b1-2)的值域是[-6,-3],即 b 是区间[-6,-3]上的均匀随机数. 答案:[-6,-3]

探究点 1 用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,
用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率. 【解】 设“剪得两段长都不小于 1 m”为事件 A. 法一:①利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数 a1=RAND; ②经过伸缩变换,a=3a1;

③统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3]内随机数的个数 N; ④计算频率 fn(A)=NN1即为概率 P(A)的近似值. 法二:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0, 3](这里 3 和 0 重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断 绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)=NN1即为概率 P(A)的近似值.

利用随机模拟法计算概率的步骤 (1)确定概率模型. (2)进行随机模拟试验,即利用计算器等以及伸缩和平移变换得 到[a,b]上的均匀随机数. (3)统计计算. (4)得出结论,近似求得概率.

假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名 学生,并且这 50 名学生早上到校先后的可能性是相同的.设 计模拟方法估计下列事件的概率: (1)小燕比小明先到校; (2)小燕比小明先到校,小明比小军先到校. 解:记事件 A“小燕比小明先到校”;记事件 B“小燕比小明 先到校且小明比小军先到校”. ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数,a =RAND,b=RAND,c=RAND 分别表示小军、小燕和小明 三人早上到校的时间;

②统计出试验总次数 N 及其中满足 b<c 的次数 N1,满足 b< c<a 的次数 N2; ③计算频率 fn(A)=NN1,fn(B)=NN2,即分别为事件 A,B 的概 率的近似值.

探究点 2 与面积有关的几何概型

(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数

x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数对(x1,y1),(x2, y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个, 则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为( )

4n A. m C.4nm

2n B. m D.2nm

(2)解放军某部队进行特种兵跳伞演习,如图所示,在长为 16 m,宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆,其半径 分别为 5 m,2 m,1 m.若着陆点在圆环 B 内,则跳伞成绩为 合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若跳 伞者的着陆点在小圆 A 内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合 格.若一位特种兵随意落下,假设他的着陆点在矩形内,利用 随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.

【解】 (1)选 C.设由?????00≤ ≤xynn≤≤11构成的正方形的面积为 S,x2n+ y2n<1 构成的图形的面积为 S′,所以SS′=14π1 =mn ,所以 π=4nm, 故选 C. (2)设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”. ①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1= RAND,b1=RAND;

②经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[-8, 8]与[-7,7]上的均匀随机数; ③统计满足-8<a<8,-7<b<7 的点(a,b)的个数 N.满足 1 <a2+b2<4 的点(a,b)的个数 N1; ④计算频率 fn(A)=NN1,即为所求概率的近似值.

若本例(2)条件不变,如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成 绩为不合格的概率? 解:设事件 C 表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1= RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[-8, 8]与[-7,7]上的均匀随机数.

(3)统计满足-8<a<8,-7<b<7 的点(a,b)的个数 N,满足 a2 +b2>25 的点(a,b)的个数 N1. (4)计算频率 fn(C)=NN1,即为所求概率的近似值.

随机模拟法求解几何概型的思路 用随机模拟法解决概率问题的关键是得到所求事件 A 涉及的 变量所对应的均匀随机数,由于我们常用的随机数的范围是 [0,1],因此,对于任意区间[a,b]上的随机数,需要利用伸 缩和平移变换 y=(b-a)x+a 进行转换,对于多维的连续量, 可以利用计算机生成多组随机数进行计算.

设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续 不断的一条曲线,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近 似计算由曲线 y=f(x)及直线 x=0,x=1,y=0 所围成图形的 面积 S.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1, x2,…,xN 和 y1,y2,…,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1, 2,…,N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为________.

解析:这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成 N 个点,而在曲

线 y=f(x) 及直线 x=0,x=1,y=0 所围成图形内的点有 N1

个,所以 S ≈N1,又矩形的面积是 S矩形 N

1,所以由随机模拟方法

得到 S 的近似值为NN1.

答案:N1 N

探究点 3 用随机模拟法求解不规则图形的面积 (1)如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,
有 180 粒 落 到 阴 影 部 分 , 据 此 估 计 阴 影 部 分 的 面 积 为 ________.

(2)利用随机模拟的方法计算曲线 y=2x 与 x 轴,直线 x=±1 所 围成图形(如图中阴影部分)的面积.

【解】 (1)正方形的面积 S=1,设阴影部分的面积为 S′,因 为随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,所以由几何 概型的概率公式进行估计得SS′=1108000=0.18,即 S′=0.18.故填 0.18. (2)①利用计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND, b1=RAND; ②进行伸缩和平移变换,a=2a1-1,b=2b1,分别得到[-1, 1]和[0,2]上的均匀随机数;

③统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1;

④计算频率NN1,即点落在阴影部分的概率的近似值; ⑤设阴影部分的面积为 S,由几何概型的概率计算公式得点落

在阴影部分的概率为S4.

所以N1≈S,则 N4

S≈4NN1.此即阴影部分面积的近似值.

利用随机模拟方法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形 (长方形或圆等)的一部分,并用阴影表示. (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部 分的概率 P(A)=NN1. (3)设阴影部分的面积是 S,规则图形的面积是 S′,则有SS′=NN1, 解得 S=NN1S′,则所求图形面积的近似值为NN1S′.

用随机模拟方法求函数 y= x与 x 轴和直线 x =1 围成的图形的面积. 解:如图所示,阴影部分是函数 y= x的图象与 x 轴和直线 x =1 围成的图形,设阴影部分的面积为 S.

随机模拟的步骤: (1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND, y1=RAND. (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x 的点(x,y)的个数). (3)计算频率NN1,即为点落在阴影部分的概率的近似值.

(4)直线 x=1,y=1 和 x,y 轴围成的正方形面积是 1,由几何 概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1=S. 则 S≈NN1,即阴影部分面积的近似值为NN1.

1.与均匀随机数特点不符的是( ) A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数 C.出现每一个实数都是等可能的 D.是随机数的平均数 解析:选 D.A、B、C 是均匀随机数的定义,均匀随机数的均 匀是“等可能”的意思,并不是“随机数的平均数”.

2.要产生[-3,3]上的均匀随机数 y,现有[0,1]上的均匀随

机数 x,则 y 可取为( )

A.-3x

B.3x

C.6x-3

D.-6x-3

解析:选 C.法一:利用伸缩和平移变换进行判断.

法二:由 0≤x≤1,得-3≤6x-3≤3,故 y 可取 6x-3.

3.(2018·南昌摸底考试)在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个 不规则的图形 M,用随机模拟方法来估计不规则图形的面 积.若在正方形 ABCD 中随机产生了 10 000 个点,落在不规 则图形 M 内的点数恰有 2 000 个,则在这次模拟中,不规则图 形 M 的面积的估计值为________.

解析:由几何概型的概率计算公式可知 SM = 2 000 =1, S正方形ABCD 10 000 5
正方形的面积 S 正方形 ABCD=2×2=4, 故 SM=45. 答案:45

知识结构

深化拓展 用随机模拟法估计长度型与面积型几何概型概率的联系与区别 (1)联系:二者模拟试验的方法和步骤基本相同,都需产生随机 数. (2)区别:长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可,所求 事件的概率为表示事件的长度之比,对面积型几何概型问题, 一般需要确定点的位置,而一组随机数是不能在平面上确定点 的位置的,故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标, 从而确定点的位置,所求事件的概率为区域面积中的区域点的 个数比.

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