高考第一轮复习数学：4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)
4.2
两角和与差、二倍角的公式（一）
●知识梳理 1.C（α +β ）的推导 角α 的始边为 Ox，交单位圆于 P1，终边 OP2 交单位圆于 P2，角β 的始边为 OP2，终边 交单位圆于 P3，角－β 的始边为 Ox，终边交单位圆于 P4，由| P1 P3 |=| P2 P4 |，得［cos（α +β ） －1］2+sin2（α +β ）=［cos（－β ）－cosα ］2+［sin（－β ）－sinα ］2.
y P3 ? ? O ? ? P1 x P2
P4
∴cos（α +β ）=cosα cosβ －sinα sinβ . 2.S（α ±β ） （α －β ） （α ±β ）以及推导线索 、C 、T （1）在 C（α +β ）中以－β 代β 即可得到 C（α －β ）. （2）利用 cos（
π 2
－α ）=sinα 即可得到 S（α +β ） ；再以－β 代β 即可得到 S（α －β ）.
sin ? cos ?
（3）利用 tanα =
即可得到 T（α ±β ）.
说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式， 才能用活公式. ●点击双基 1.（2004 年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 A.－
1 2
B.
1 2
C.－
3 2
D.
3 2
解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°） （－sin47°） =－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=
1 2
.
答案：B 2.（2005 年春季北京，7）在△ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin（A+B） ， ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0. ∴sin（B－A）=0.∴B=A. 答案：B 3. A.
2 cos 10 ? ? sin 20 ? sin 70 ?
的值是 B.
3 2
1 2
C. 3
D.
2
解析：原式= =
2 cos 30 ? ? 20 ?）? sin 20 ? （ sin 70 ?
（ cos 30 ? ? cos 20 ? ? sin 30 ? ? sin 20 ?）? sin 20 ? 2 sin 70 ?
=
3 cos 20 ? cos 20 ?
= 3.
答案：C 4.已知α ∈ （0， ） β ∈ ， （
2 π π 2 π 2
， ） sin π ， （α +β ） =
π 2 56 65
33 65
， cosβ =－
3π 2
5 13
， sinα =_______. 则
解析：由 0＜α ＜
，
33 65
π 2
＜β ＜π ，得
＜α +β ＜ .
.
故由 sin（α +β ）= 由 cosβ =－
5 13
，得 cos（α +β ）=－
12 13
，得 sinβ =
.
33 65
∴sinα =sin［ +β ）－β ］=sin（α +β ）cosβ －cos（α +β ）sinβ = （α －（－
56 65
? （－
5 13
）
） ?
12 13
=－
507 845
.
答案：－
507 845
5.△ABC 中，若 b=2a，B=A+60°，则 A=_______. 解析：利用正弦定理，由 b=2a ? sinB=2sinA ? sin（A+60°）－2sinA=0 ? 3sinA=0 ? sin（30°－A）=0 ? 30°－A=0°（或 180°） ? A=30°. 答案：30° ●典例剖析 【例 1】 设 cos（α － 求 cos（α +β ）. 剖析：
? ? ?
2
3
cosA－
?
2
）=－
1 9
，sin（
?
2
－β ）=
2 3
，且
π 2
＜α ＜π ，0＜β ＜
π 2
，
=（α －
?
2
）－（
?
2
－β ）.
依上述角之间的关系便可求之. 解：∵
π 2
＜α ＜π ，0＜β ＜
?
2
π 2
，∴
π 4
＜α －
?
2
?
2
＜π ，－
4 5 9
π 4
＜
?
2
－β ＜
π 2
.
故由 cos（α － 由 sin（ ∴cos（
?
2
）=－
2 3
1 9
，得 sin（α －
?
2
）=
5 3
.
－β ）=
，得 cos（
?
2
－β ）=
?
2
239 729
.
7 5 27
? ? ?
2
）=cos［ － （α
? ? ?
2
）－（
－β ） ］=?= .
.
∴cos（α +β ）=2cos2
－1=?=－
评述： 在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时， 首先要分析已知和 要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换. 【例 2】 （2000 年春季京、皖）在△ABC 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.
证明：
a
2
?b c
2
2
=
sin（ A ? B ） sin C
.
剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理. 证明：由余弦定理 a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB， ∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB， 整理得
a
2
?b c
2
2
=
a c
a cos B ? b cos A c
. ，∴
a
2
依正弦定理有
=
sin A sin C
， =
c
b
sin B sin C
?b c
2
2
=
sin A cos B ? sin B cos A sin C
=
sin（ A ? B ） sin C
.
评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有 A+B+C=π ，a+b＞c， a＞b ? A＞B ? sinA＞sinB 等. 【例 3】 已知α 、β 、γ ∈（0，
π 2
） ，sinα +sinγ =sinβ ，cosβ +cosγ =cosα ，求β
－α 的值. 剖析：由已知首先消去γ 是解题关键. 解：由已知，得 sinγ =sinβ －sinα ，cosγ =cosα －cosβ . 平方相加得（sinβ －sinα ）2+（cosα －cosβ ）2=1. ∴－2cos（β －α ）=－1.∴cos（β －α ）=
1 2
.∴β －α =±
π 3
π 3
.
∵sinγ =sinβ －sinα ＞0，∴β ＞α .∴β －α = 评述：本题极易求出β －α =± 问题要注意分析隐含条件. ●闯关训练 夯实基础 1.（2004 年上海，1）若 tanα =
1 2
.
π 3
，如不注意隐含条件 sinγ ＞0，则产生增根.因此求值
，则 tan（α +
π 1 ?1 1 2
π 4
）=____________.
解析：tan（α +
π 4
t an ? ? t an
）=
4 π 1 ? t an ? ? t an 4
=
2 1? ?1
=3.
答案：3 2.要使 sinα － 3 cosα = A.m≤
7 3
4m ? 6 4? m
有意义，则应有 B.m≥－1
C.m≤－1 或 m≥
7 3
D.－1≤m≤ ）=
4m ? 6 4? m
7 3
解析：2sin（α － 由－1≤ 答案：D
2m ? 3 4? m
π 3
?
7 3
sin（α － .
π 3
）=
2m ? 3 4? m
.
≤1 ? －1≤m≤
3.（2004 年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2 B.2+ 3
sin 15 ? cos 15 ?
C.4 +
cos 15 ? sin 15 ?
D.
15 ? ? cos
2
4 3 3
解析一：tan15°+cot15°=
=
sin
2
15 ?
cos 15 ? sin 15 ?
=
1 1 2 ? sin 30 ?
=4.
解析二：由 tan15°=tan（45°－30°）=
tan 45 ? ? tan 30 ? 1 ? tan 45 ? tan 30 ?
1?
3 3
=
1?
=
3? 3?
3 3
.
3 3
∴原式= 答案：C
3? 3?
3 3
+
3? 3?
3 3
=4.
4.在△ABC 中，若
a b
2 2
=
t an A t an B
，则△ABC 的形状为_______.
sin sin
2 2
解析： 左边利用正弦定理， “切变弦” 原式可化为 右边 ， sin2A=sin2B ? 2A=2B 或 2A=π －2B ? A=B 或 A+B= 答案：等腰三角形或直角三角形 5.（2004 年湖南，17）已知 tan（ 解：由 tan（
π 4 π 4
A B
=
sin A cos B cos A sin B
?
sin A sin B
=
cos B cos A
?
π 2
.
+α ）=2，求
1
1 2 sin ? cos ? ? cos
2
?
的值.
+α ）=
1 ? tan ? ? ? tan ?
=2，得 tanα = .
3
（ 1 3 2? 1 3 ?1 ） ?1
2
于是
1 2 sin ? cos ? ? cos
2
?
=
sin
2
? ? cos ?
2 2
2 sin ? cos ? ? cos
?
=
tan
2
? ??
2 tan ? ? ?
=
=
2 3
.
6.已知 cosα = 解：由 cosα = 得β =
π 3
1 7 1 7
，cos（α +β ）=－
11 14
，α 、β ∈（0，
π 2
） ，求β .
1 2
，cos（α +β ）=－
11 14
，得 cosβ =cos［ +β ）－α ］= （α
，
.
培养能力 7.已知 sin（
π 4
－x）=
5 13
，0＜x＜
π 4
，求
cos 2 x cos （ π 4
的值.
? x）
分析：角之间的关系： （ 角函数的关系便可求之. 解：∵（
π 4
π 4
－x）+（
π 4
+x）=
π 2
及
π 2
－2x=2（
π 4
－x） ，利用余角间的三
－x）+（
π 4
+x）=
π 2
，∴cos（
π 4
+x）=sin（
π 4
－x）.
又 cos2x=sin（ ∴
cos 2 x cos （ π 4
π 2
－2x）=sin2（
π 4
π 4
－x）=2sin（
12 13
π 4
－x）cos（
π 4
－x） ，
=2cos（
－x）=2?
=
24 13
.
? x）
8.已知 sinβ =msin（2α +β ） （m≠1） ，求证：tan（α +β ）=
1? m 1? m
tanα .
证明：∵sinβ =msin（2α +β ） ， ∴sin［ +β ）－α ］=msin［ +β ）+α ］. （α （α ∴sin（α +β ）cosα －cos（α +β ）sinα =msin（α +β ）cosα +mcos（α +β ）sinα . ∴（1－m）sin（α +β ）cosα =（1+m）cos（α +β ）sinα . ∴tan（α +β ）=
1? m 1? m
tanα .
3 5
9.（2005 年北京西城区抽样测试）已知 sin2α = （1）求 cosα 的值；
，α ∈（
5π 4
，
3π 2
）.
（2）求满足 sin（α －x）－sin（α +x）+2cosα =－ 解： （1）因为
5π 4
10 10
的锐角 x.
＜α ＜
1 ? sin
2
3π 2
2?
，所以 =－
4 5
5π 2
＜2α ＜3π .
所以 cos2α =－
.
10 10
由 cos2α =2cos2α －1，所以 cosα =－
.
10 10
（2）因为 sin（α －x）－sin（α +x）+2cosα =－ 所以 2cosα （1－sinx）=－ 因为 x 为锐角，所以 x= 探究创新 10.sinα +sinβ =
2 2 10 10
，
.所以 sinx=
1 2
.
π 6
.
，求 cosα +cosβ 的取值范围. ① ②
解：令 t=cosα +cosβ ， sinα +sinβ =
2 2
，
1 2
①2+②2，得 t2+
=2+2cos（α －β ）.
3 2
∴2cos（α －β ）=t2－ ∴t∈［－
14 2
∈［－2，2］.
，
14 2
］.
●思悟小结 1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式） 、熟悉公式的正用逆用，还要
熟练掌握公式的变形应用. 2.注意拆角、拼角技巧，如α =（α +β ）－β ，2α =（α +β ）+（α －β ）等. 3.注意倍角的相对性，如 3α 是
3? 2
的倍角.
4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛 1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生 亲自推导一下 C（α +β ）. 2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、 拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.
拓展题例 【例 1】 已知 a=（cosα ，sinα ） ，b=（cosβ ，sinβ ）（a≠b）. ， 求证： （a+b）⊥（a－b）. 分析：只要证（a+b）（a－b）=0 即可. ? 证法一： （a+b）（a－b）=|a|2－|b|2=1－1=0，∴（a+b）⊥（a－b）. ? 证法二：在单位圆中设 OA =a， OB =b，以 OA 、 OB 为邻边作□OACB，则 OACB 为菱形.
y B A O x C
∴ OC ⊥ BA . ∴ OC ? BA =0， 即（a+b）（a－b）=0. ? ∴（a+b）⊥（a－b）. 【例 2】 α 、β ∈（0，
π 2
） ，3sin2α +2sin2β =1，①
3sin2α －2sin2β =0②，求α
+2β 的值. 解：由①得 3sin2α =1－2sin2β =cos2β . 由②得 sin2β =
3 2
sin2α .
∴cos（α +2β ）=cosα cos2β －sinα sin2β =3cosα sin2α －sinα ? ∵α 、β ∈（0， ∴α +2β =
π 2 π 2
3 2
sin2α =0.
3π 2
） ，∴α +2β ∈（0，
）.
.