辽宁省葫芦岛市六校协作体2017届高三上学期期初考试数学(文)试题

2016-2017 年度上学期省六校协作体高三期初考试 高三数学试题(文)
试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M={x|lgx>0},N={x|2 <1},则下列集合运算正确的是( (A)M∩N=R (B)M∪N=? (C)M∩CUN=M ) (D)N∪CUM=N
x

)

--i|的取值范围是( 2.设|z|=1,则|z (A) (B) (C) (D)

3.非零向量→ a ,→ b ,→ c 两两夹角相等,且|→ a |=1,|→ b |=2,|→ c |=3,则|→ a +→ b +→ c |=( (A) 3 (B)5 (C)5 或 6 ) (D) 3或 6

)

4.若 tan ?=2,则 sin2 ?=(

4 4 3 3 (A) (B)(C) (D)5 5 4 4 5.设双曲线的实轴长小于虚轴长,又渐近线方程为 2x ? y=0,则离心率是( (A) 3 (B) 5 (C) 5 2 (D) 6 2

)

? ? 6.函数 y=sin(?x+?- )的最小正周期为?,且其图像向左平移 单位得到的函数为奇函数,则?的一个 6 6 可能值是( ? (A) 3
2

) ? (B)3 ? (C) 6 ? (D)6 a11 a21 ? an1 a12 a22 ? an2 a13 a23 ? an3 ? ? ? ? a1n a2n ? ann i行

7.如图,n (n ? 4,n ? N+)个数排成 n 行 n 列方阵. 符号 aij(1 ? i ? n,1 ? j ? n,I,j ? N+)表示位于第 第 j 列的数.已知每一行的数都成等差数列, 每一列的数都成等比数列,且公比都是 q. 1 1 若 a11= ,a24=1,a32= ,则 a28=( 2 4 (A)4 (B) 3
2 2

) (D)1 )

(C) 2

8.设点 P(x,y)满足 x +y -|x|-|y|=0,则 P 点的轨迹所围成的平面区域面积是(
·1·

(A)?+2

(B)?+4

(C)2 ?+2

(D)2 ?+4

9.右图是从棱长为 2 的正方体中截出的几何体的三视图,则此几何 体的表面积是( (A)16 (B)13 ) (C)12+2 6 (D)8+4 6

10.设直线 y=t 与曲线 y=lnx 与直线 y=2x 分别交于 M,N, 则|MN|的最小值是( 1+ln2 (A) 2 ) 1+ln2 (C) 5 1-ln2 (D) 5

(第 9 题图)

1-ln2 (B) 2

(x>0) ?x+1 x 11.设 f(x)=-x -2x+1,g(x)=? ,若函数 y=g(f(x))-a 恰有四个不同零点, 1 3-( ) (x?0) ? 2
2 x

开始

则 a 的取值范围是( (A)(2,+∞)

)
输入 n

(B)恒成立,则 a 的取值范围是______

三、解答题:本大题共 6 小题,总 计 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 S=0,k=2. 17.(本题满分 10 分) ? ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列. (1)求 B 的最大值 B0; (2)数列{an}满足:an=n (cos B0n-sin B0n)(n ? N+),求数列{an}的前 30 项和 S30. 18.(本题满分 12 分) 某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心 球测试,成绩在 8 米及以上的为合格.把所得数 据整理后,分成六组得到频率分布直方图的一部分 (如图).已知前五个小组的频率分别为 0.06,0.10 ,0.14,0.28,0.30.第六小组的频数是 6. (1)求这次测试合格的人数; (2)用分层抽样方法在第 5、6 组的学生中抽取容量为 7 的一个样本,将该样本看作一个总体,从中抽
·2·
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 5 6 7 8 9 10 11 米
频率 组距 2 2 2

k?n 是 1 S=S+ 2 k -1 k=k+2



输出 S

结束

取 2 人,求恰有一人在第六组的概率. (3)经过多次测试发现,甲的成绩在 8 ? 10 米之间,乙的成绩在 9 ? 10 米之间 现两人各投一次,求甲投得比乙远的概率. 19.(本题满分 12 分) 在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 是 CD 中点,O 为 AE 中点, O 以 AE 为折痕将? ADE 向上折起,得到四棱锥 P-ABCE A (折后的点 D 记为 P),且 PC=PB. (1)证明:PO ?平面 ABCE (2)过点 C 作此棱锥的截面 CMN 分别交 AB,PB PN 于点 M,N,使截面 CMN∥平面 PAE.试求 的值. NB (3)求三棱锥 N-MBC 的体积. 20.(本题满分 12 分) 1 3 中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 E 过点(- 3, )及(1, ),两个焦点分别是 F1,F2. 2 2 (1)求椭圆 E 的方程; → ?PF → ?1,求 P 点横坐标的取值范围; (2)若点 P 在第一象限,且 4PF 1 2 (3)过点 Q(0,2)的直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 M,N,求? MON 面积的最大值. A E O B C P B D E C

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 A(e,f(e))处的切线斜率为 3 (1)求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)若不等式 f(x)-kx+k>0 对任意 x ?(1,+∞)恒成立,求 k 的最大整数值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点
·3·

(1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线 C:? sin ?=2acos ?(a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程是 2 ? ?x=-2+ 2 t (t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别交于点 M,N. ? 2 ? ?y=-4+ 2 t; (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 关于极点对称的直线的极坐标方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+1|+|x-5|,x ? R (1)求不等式 f(x)? x+10 的解集; (2)若不存在 实数 x 使得 f(x)<a-(x-2) ,求 a 的取值范围. ...
2 2

·4·

高三数学试题(文)参考答案 一.选择题: 二.填空题: 三.解答题 17.解(1)∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac a +c -b a +c -ac a +c 1 2 2 cosB= = = - ,∵a +c ? 2ac,当且仅当 a=c 时取等号 2ac 2ac 2ac 2 1 1 ? ∴cosB ? 1- = ,∴B 为锐角.而余弦函数减 于(0, ) 2 2 2 ? ? ∴0<B ? .故 B0= 3 3 (2)由(1)知 an=n (cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

CBDAB; DCACA; BB 13.10 14.1; 15.1; 16.{3}

??????????5 分 2n? 2? 2 ? n-sin n)=n cos 3 3 3 ??????????6 分

2n? 1 1 1 1 注意到 f(n)=cos 的周期为 3,其值依次为- ,- ,1,- ,- ,1,? 3 2 2 2 2 将{an} 的前 30 项从第一项起每连续三项分为一组,则共有 10 组 1 5 2 1 2 2 考虑第 n 组的三个数的和 bn=- ?(3n-2) - ?(3n-1) +(3n) =9n2 2 2 故知{bn}成等差数列,∴S30=b1+b2+?+b10=470 ??????????10 分

18.解:(1)依题知,第六组的频率为 1-(0.06+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.12 6 ∴测试总人数为 =50(人) 0.12 ??????2 分

第四、五、六组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.12)? 50=35(人) ????4 分 (2)由(1)知,第 5 组有 15 人,第 6 组有 6 人,由于是分层抽样,容量为 7 ∴应在第 5 组抽 5 人,第 6 组抽 2 人. 记第 5 组中的 5 人为 a,b,c,d,e;第 6 组的两人为 x,y 则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,e),(b,x), (b,y),(c,d),(c,e),(c,x),(c,y),(d,e),(d,x),(d,y),(e,x),(e,y),(x,y) 共 21 种.而恰有 1 人在第 6 组的事件有:(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y) (d,x),(d,y),(e,x),(e,y)共 10 种 10 故所求的概率是 p= 21 ?????????????8 分
·5·

?8?x?10 (3)设甲乙各投一次的成绩分别为 x,y 米,则基本事件满足于? ?9?y?10

事件“甲投得比乙远”满足条件 x>y 0.5(10-9)(10-9) 1 故所求概率为 P= = 2 4 ????????????? P 12 分 E 19.解: 解:(1)由题意知,PA=PE,OA=OE,∴PO ? AE 取 BC 中点 F,连 OF,PF,∴OF∥AB.∵AB ? BC,∴OF ? BC 又 PB=PC,∴BC ? PF, OF∩PF=F,∴BC ?平面 POF PO ?平面 POF,∴BC ? PO 在直角梯形 ABCE 中,注意到 AE 与 BC 必然相交,∴PO ?平面 ABCE (2)如图,∵截面 CMN∥平面 PAE,MC 和 AE 是它们与平面 ABCE 的交线 ∴AE∥M C,同理可得 AP∥MN 又 EC∥AB,∴四边形 AMCE 是平行四边形 A O N ?????? 6分 P E C B A O B F C

M ? ∴M 是 AB 的中点 ? ? PN 在? ABP 中,MN∥AP,∴N 是 PB 中点. 即 =1 ?????10 分 ? NB ? ? (3)由已知及(1)(2)知,N 到平面 ABCE 的距离是 P 到平面 ABCE 的距离 PO= 2的一半 6 分 1 1 1 2 2 又 S ? MBC= MB ? BC= ?2?2=2,∴VN-MBC= ?2? = ??????????12 分 2 2 3 2 3 =1 ?3m+n 4 1 20.解:(1)设椭圆方程为 mx +ny =1,则? ,解得 m= ,n=1 3 4 ?m+4n=1
2 2

x 2 ∴椭圆 E 的方程是 +y =1 4

2

??????????3 分

→ ?PF → =4(x2+y2-3),据题知,4(x2+y2-3)? 1 (2) 解法一:设 P(x,y),则 4PF 1 2 13 13 2 2 x +y ? ,因点 P 在第一象限,∴P 点横坐标 的取值范围是(0, ]???????6 分 4 2

解法二:当 P 点在椭圆上时 由(1)知,c= 3,不妨设 F1(- 3,0),F2( 3,0),设 P(x,y)
·6·

→ ?PF → =(- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=x2+y2-3,∵x +y2=1,∴PF → ?PF → =3x -2 则PF 1 2 1 2 4 4 3x 1 据题知, -2 ? ,解得- 3?x ? 3 4 4 因点 P 在第一象限,∴P 点横坐标的取值范围是(0, 3] 当 P 点不在椭圆上时 → ?PF → =4(x2+y2-3),据题知,4(x2+y2-3)? 1 则 4PF 1 2 13 13 2 2 x +y ? ,因点 P 在第一象限,∴P 点横坐标的取值范围是( 3, ] 4 2 综上所述,P 点横坐标的取值范围是(0, 以上两种情况答对的就可以赋分。 (3)设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入椭圆方程,消去 y 整理得 (4k +1)x +16kx+12=0,由题意知,?>0 ? 4k -3>0
2 2 2 2

2

2

???????5 分

13 ]????????6 分 2



????????8 分

16k 12 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得,x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 4k +1 4k +1 4 4k -3 2 ∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= 2 4k +1 1 4 4k -3 于是 S ? MON= |OQ||x1-x2|= 2 2 4k +1 令 t= 4k -3,则 4k =t +3,由①知,t>0 ∴S ? MON= 4t 4 ,∵t>0,∴t+ ?4,当且仅当 t=2 时取等号, ∴S ? AOB ? 1 2 t +4 t ???????????????12 分
? 2 2 2 2 2

???????????????10 分

即? AOB 面积最大值是 1
?

21. 解:(1)f (x)=lnx+a+1,由题意得,f (e)=3,即 lne+a+1=3,∴a=1
? ?

????2 分
-2

(2)由(1)知 f(x)=x+xlnx,定义域为(0,+∞).f (x)=1+lnx, f (x)=0 得,x=e 易知,当 x>e 时,f (x)>0;当 0<x<e 时,f (x)<0 ∴f(x)的增区间是(e ,+∞);减区间是(0,e ) x+xlnx (3)由(1)知 f(x)-kx+k>0 ? k< 对任意 x>1 恒成立 x-1 x+xlnx x-2-lnx ? 令 g(x)= ,则 g (x)= 2 x-1 (x-1) x-1 ? 令 h(x)=x-2-lnx,则 h (x)= >0,∴h(x)增于(1,+∞) ??????8 分 x 由于 h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,所以方程 h(x)=0 在(0,+∞)上有唯一根
·7·
-2 -2 -2 ? -2 ?

??????6 分

设 h(x0)=0,则 x0 ?(3,4)
?

?????????10 分
?

当 1<x<x0 时,h(x)<0,g (x)<0; 当 x>x0 时,h(x)>0,g (x)>0 ∴g(x)在(1,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数 x0(1+lnx0) 于是 g(x)min=g(x0)= =x0 ?(3,4) x0-1 而由题应有 k<g(x)min,故 k 的最大整数值为 3. ?????????12 分 22. 证明:(1)∵AC∥DE,∴? C DE=? DCA,又∵? DBA=? DCA,∴? CDE=? DBA ∵直线 DE 为圆 O 的切线,∴? CDE=? DBC 故? DBA=? DBC,即 BD 平分∠ABC ?????????????5 分

AH AB (2)∵? CAB=? CDB,且? DBA=? DBC,∴? ABH∽? DBC,∴ = CD BD 又? EDC=? DAC=? DCA,∴AD=DC AH AB ∴ = , ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 AD BD
2

???????????8 分 ???????????10 分
2 2 2

23.解:(1)∵? sin ?=2acos ?(a>0),当?? 0 时,? sin ?=2a ? cos ?,∴y =2ax(a>0) 当?=0 时,极点坐标(0,0)也适合上述方程 ∴曲线 C 的直角坐标方程是 y =2ax(a>0) ????????3 分 消去 t 得直线 l 的普通方程是 x-y-2=0,∴其极坐标方程是? cos ?-? sin ?-2=0 故其关于极点对称的直线的极坐标方程是? cos(?+?)-? sin(?+?)-2=0 2 即?= sin?-cos? ????????5 分
2

(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程,消去 x,y 整理得 t -2 2(a+4)t+8(a+4)=0,∵a>0,∴?=8(a+4)>0 设 M,N 对应的分别为 t1,t2,则 t1+t2=2 2(a+4),t1 t2=8(a+4) ∴|MN| =|t1-t2| =8a(a+4),|PM||PN|=|t1t2|=8(a+4) ∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,∴|MN| =|PM||PN|,∴a=1????????10 分
2 2 2 2

?-2x+4 (x<-1) ? 24.解:(1)∵f(x)=?6 (-1?x<5) ∴ ?2x-4 (x?5) ?
当 x<-1 时,-2x+4 ? x+10 ? x ? 2,∴-2 ? x<-1 当-1 ? x<5 时,6 ? x+10 ? x ?-4,∴-1 ? x<5
·8·

当 x ? 5 时,2x-4 ? x+10 ? x ? 14,∴5 ? x ? 14 综上所述,不等式的解集是 ????????5 分
2 2

(2)∵不存在实数 x 使 f(x)<a-(x-2) ,∴对任意 x ? R,f(x)? a-(x-2) 恒成立 设 g(x)=a-(x-2) ,则问题等价于 f(x)? g(x)恒成立 易得当 x=2 时,g(x)max=a, 而由(1)可知,f(x)min=6,故只要 6 ? a 即可 ∴实数 a 的取值范围是(-∞,6] ????????10 分
2

注:以上答案仅供参考,如有不当请批评指正!如有不同解法,请酌情赋分,谢谢! 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·9·


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