【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章 拓展资料:高考中的合情推理

高考中的合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验 和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,其主要形式 有归纳和类比。 一、归纳推理 例 1、 (2006 广东)在德国不莱梅举行的第 48 届世 乒赛期间, 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准 “正 三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓 球;第 2、3、4、?堆最底层(第一层)分别按图 4 所 示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? (答案用 n 表示) 分析:解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系,即下一堆的个数是上一 堆的个数加上其第一层的个数;其次是求出第一层的通项公式。 解:f(1)=1,观察图象可知 f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一 堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数,而第一层的个数满足 1,3,6,
n( n ? 1) n( n ? 1) ,所以 f(n)=f(n-1)+ , 2 2 2 ? ( 2 ? 1) 所以有:f(2)-f(1)= 2 3 ? (3 ? 1) f(3)-f(2)= 2 4 ? ( 4 ? 1) f(4)-f(3)= 2

; f ( n) ?

10,??,通项公式是

?????????????? f(n)-f(n-1)=
n( n ? 1) 2

以上各式相加得:f(n)=f(1)+

2 2 ? 2 ? 32 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? ? ? n 2 ? n 2

(12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) = 2

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n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? 6 2 = 2 n(n ? 1)( n ? 2) = 6 n(n ? 1)( n ? 2) 所以应该填:10; 6
点评:求 f(n)的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课 本知识、思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。 二、 类比推理(类比)

例 2、 (2006 湖北)半径为 r 的圆的面积 S (r ) ? ? ? r 2 ,周长 C (r ) ? 2? ? r ,若将 r看 作 (0,??) 上的变量,则 (? ? r 2 )' ? 2? ? r , ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数 的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作看作 (0,??) 上的变量, 请你写出类似于①的式子:_________________,②,②式可用语言叙述为 ___________. 解: 由提供的形式找出球的两个常用量体积、 表面积公式, 类似写出恰好成立,
4 3 ?R , S (r ) ? 4?R 2 . 3 4 答案:① ( ?R 3 )' ? 4?R 2 . ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 3 V ( R) ?

点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的 体积与表面积进行类比。 结论类比:已知简单命题 A 的结论去探索新命题 B 的结论,从而对问题从更高 层次上去把握,这类题目能训练学生的信息迁移能力和创造思维能力。 例 3、 (2006 上海)已知函数 y ? x ?
a 有如下性质:如果常数 a>o,那么该函 x

数在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a ,??) 上是增函数。
2b (1) 如果函数 y ? x ? ( x ? 0) 的值域为 [6,??) ,求 b 的值; x
c (常数 c ? 0) 在定义域内的单调性,并说明理由; x2 a c (3) 对函数 y ? x ? 和 y ? x 2 ? 2 (常数 c ? 0) 作出推广,使它们都是你所 x x

(2) 研究函数 y ? x 2 ?

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推广 的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 。 解: (1)函数 y ? x ?
2b ( x ? 0) 在 (0, 2 b ] 上是减函数,在 [ 2 b ,??) 上是增函 x

数,所以该函数在 x ? 2b 处取得最小值 2 2b . 令 2 2b ? 6 ,得 b ? log2 9.
c (2)设 t ? x 2 ? 0 ,显然函数 y ? t ? 在 (0, c ] 上是减函数,在 [ c ,??) 上是 t

增函数,令 x 2 ? c 得 ? 4 c ? x ? 4 c ,令 x 2 ? c 得 x ? 4 c 或 x ? ?4 c . 又因为 t ? x 2 在 (??,0] 上是减函数,在 [0,??) 上是增函数,于是利用复合函数的单 调性知, 函数 y ? x 2 ?
c 在 (??,?4 c ] 上是减函数, 在 [?4 c ,0) 上是增函数, 在 (0, 4 c ] x2

上是减函数, [4 c ,??) 上是增函数。 (3)推广结论:当 n 是正奇数时,函数 y ? x n ?
a (常数 a ? 0) 是奇函数, xn

故在 (??,?2n a ]上是增函数,在 [?2n a ,0) 是减函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在

[2n a ,??) 上是增函数。
而当 n 为正偶数时,函数 y ? x n ?
a (常数 a ? 0) 是偶函数,在 (??,?2n a ] 上 xn

是减函数,在 [?2n a ,0) 是增函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在 [2n a ,??) 上是增函数。 点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数 y ? x n ? 考查分析解决问题的能力。
a 的单调性、最值, xn

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