高三数学第九章第2课时精品课件_图文

第2课时

用样本估计总体

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考纲展示

1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分 布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差), 并给出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数 字特征估计总体的基本数字特征;理解用样本估计总体的 思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决 一些简单的实际问题.

备考指南
1.频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准 差是考查的重点,同时考查对样本估计总体思想的 理解. 2.频率分布直方图等内容经常与概率等知识相结合 出题. 3.题型以选择题和填空题为主,属于中、低档题.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

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教材回顾?夯实双基
基础梳理1
1.统计图表 分析 统计图表是_______和______数据的重要工具,常用的统计图 表达 条形统计图 扇形统计图 折线统计图 茎叶统计图 表有__________、__________、___________、___________等. 2.数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 最多 众数:在一组数据中,出现次数_______的数据叫作这组数据 的众数. 最中间 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在_________位置 的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位 数.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的的面 相等 积应该_______. 1 (x +x2+?+xn) n 1 平均数: 样本数据的算术平均数, x =__________________. 即
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(2)样本方差、标准差 标准差 s= 1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2], n

样本容量 其中 xn 是样本数据的第 n 项,n 是___________, x 是

平均数 ____________.
标准差 ________是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准 平方 差的_______.通常用样本方差估计总体方差,当样本容量
接近总体容量时,样本方差很接近总体方差.

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思考探究
1.现实中的总体所包含个体数往往是很多的,如何求得总 体的平均数和标准差呢?

提示:通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体 的平均数和标准差,这与用样本的频率分布来近似地代替 总体分布是类似的,只要样本的代表性好,这样做就是合 理的,也是可以接受的.

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3.用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用

样本的频率分布估计总体的分布 ________________________________,另一种是用 样本的数字特征估计总体的数字特征 _____________________________________. 频率 (2)在频率分布直方图中,纵轴表示________内的频率用各 组距

小长方形的面积 _________________表示,各小长方形的面积总和等于
1 _____.

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(3)在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边 各加一个区间.从所加的左边区间的_______开始,用线段 中点 依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点, 就可以得到一条折线,称之为频率折线图. (4)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它 不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记 录和表示都带来方便.

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思考探究
2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图在描述数据分布 时各有什么特点?

提示:茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信 息,可以随时记录;而频率分布表和频率分布直方图则损 失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作.频率 分布表和频率分布直方图可以直观地反映样本数据的总体 分布情况.

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课前热身
1.(教材习题改编)某工厂生产滚珠,从某批产品中随机抽 取 8 粒,量得直径分别为(单位:mm): 14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9, 则估计该厂生产的滚 珠直径的平均数为( A.14.8 mm C.15.0 mm ) B.14.9 mm D.15.1 mm

1 解析:选 B.平均数 x = (14.7+14.6+15.1+15.0+14.8+ 8 15.1+15.0+14.9)=14.9(mm).
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2. (2012· 高考山东卷)在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据 每个都加 2 后所得数据, A,B 两样本的下列数字特征对 则 应相同的是( A.众数 C.中位数 ) B.平均数 D.标准差

解析:选 D.只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数 都加 2.

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3.(2012· 高考陕西卷)

对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本 的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别 是( ) A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53
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解析:选 A.从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间 45+47 两个数的平均数,即 =46,众数为 45,极差为 68- 2 12=56,故选 A.

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4.在某次考试中,要对甲、乙两名同学的学习成绩进行检 查,甲同学的平均得分 x 甲=76 分,方差 s2 =4 分 2,乙同 甲 学的平均得分 x 乙=77 分,方差 s2 =10 分 2,则________ 乙 同学平均成绩好,________同学各科发展均衡.
解析: x 代表平均水平,由于 x 甲 < x 乙 ,故乙同学的平均 成绩好;s2 表示相对于平均成绩的波动程度的大小,s2 <s2 , 甲 乙 故甲同学各科发展均衡.

答案:乙



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5.(2013· 芜湖检测)某校为了了解学生的课外阅读情况,随机 调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间 的数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这 50 名 学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.

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解析:由条形统计图可知,这 50 名学生这一天平均每人的 1 课外阅读时间为 (5×0+20×0.5+10×1.0+10×1.5+ 50 5×2.0)=0.9(小时).

答案:0.9

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考点探究?讲练互动
考点突破 考点1 用样本的频率分布估计总体分布
例1
(2012· 高考广东卷)

某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100].
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(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平 均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成 绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在 [50,90)之外的人数.

分数段 x∶y

[50,60) 1∶1

[60,70) 2∶1

[70,80) 3∶4

[80,90) 4∶5
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【解】 (1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10= 1,解得 a=0.005. (2)由 频率 分布直 方图知这 100 名 学生语 文成绩 的平均 分为 55×0.005×10 + 65×0.04×10 + 75×0.03×10 + 85×0.02×10 +95×0.005×10=73(分). (3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80), [80,90) 各 分 数 段 的 人 数 依 次 为 0.005×10×100 = 5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次 1 4 5 为 5,40× =20,30× =40,20× =25. 2 3 4 故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.
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【规律小结】

频率分布直方图反映了样本的频率分布

频率 频率 (1)在频率分布直方图中纵坐标表示 , 频率=组距× . 组距 组距 (2)频率分布表中频率的和为 1, 故频率分布直方图中各长方 形的面积和为 1.

(3)用样本的频率分布可以估计相应总体的频率分布.

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跟踪训练
1.某中学高一女生共有 450 人,为了了解高一女生的身高 情况,随机抽取部分高一女生测量身高,所得数据整理后 列出频率分布表如下:

组别 145.5~149.5 149.5~153.5 153.5~157.5 157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 合计

频数 8 6 14 10 8 m M

频率 0.16 0.12 0.28 0.20 0.16 n N
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(1)求出表中字母 m、n、M、N 所对应的数值; (2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图; (3)估计该校高一女生身高在 149.5~165.5 cm 范围内有多少人?
8 解:(1)由题意 M= =50,落在区间 165.5~169.5 内数据频数 0.16 m=50-(8+6+14+10+8)=4, 频率为 n=0.08,总频率 N=1.00.

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(2)频率分布直方图如下图:

(3)该所学校高一女生身高在 149.5~165.5 cm 之间的比例为 0.12+0.28+0.20+0.16=0.76, 则该校高一女生在此范围内 的人数为 450×0.76=342(人).

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考点2 例2

茎叶图的应用
(2012· 高考陕西卷)

从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销 售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲、 乙两组数据的平均数分别为 x 甲 、 x 乙 ,中位数分别为 m 甲、 m 乙 ,则( ) B. x 甲 < x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲 > x 乙 ,m 甲<m 乙
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A. x 甲 < x 乙 ,m 甲>m 乙 C. x 甲 > x 乙 ,m 甲>m 乙

【解析】 直接利用公式求解. 1 x 甲 = (41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14 16 345 +18+18+5+6+8)= , 16 1 x 乙 = (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23 16 457 +23+27+10+12+18)= . 16 ∴ x 甲< x
乙.

又∵m 甲=20,m 乙=29,∴m 甲 <m 乙.

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【答案】

B
(1)茎叶图适用的原则

【名师点评】

样本数据较少时,效果较好,样本数据较多时,枝叶会很 长不方便记录,此方法不实用. (2)茎叶图的优点 ①能够保留原始数据; ②展示数据的分布情况.

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跟踪训练 2.(2013· 亳州调研)某良种培育基地正在培育一种小麦新品 种 A,将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验,两种 小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品种 A: 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,42 3,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种 B: 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,40 1,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出茎叶图; (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进 行比较,写出统计结论.
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解:(1)茎叶图如下:

(2)由于每个品种的数据都只有 25 个,样本不大,画茎叶图 很方便;此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情 况,便于比较,没有任何信息损失,而且还可以随时记录 新的数据. (3)结合茎叶图可知:①品种 A 的亩产平均数(或均值)比品 种 B 高;②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大,故 品种 A 的亩产稳定性较差.
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考点3 例3

用样本的数字特征估计总体的数字特征
(2012· 高考江西卷)样本(x1,x2,?,xn)的平均数为

x ,样本(y1,y2,?,ym )的平均数为 y ( x ≠ y ).若样本 (x1,x2,?,xn,y1,y2,?,ym)的平均数 z =α x +(1 1 -α) y ,其中 0<α< ,则 n,m 的大小关系为( 2 A.n<m C.n=m B.n>m D.不能确定 )

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【解析】

x1+x2+?+xn y1+y2+?+ym x= , y= , n m

x1+x2+?+xn+y1+y2+?+ym z= , m+n 则 z= n x +m y m+n n m = x+ y. m+n m+n

n 1 由题意知 0< < ,∴n<m. m+n 2

【答案】

A

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【规律小结】 (1)平均数与方差都是重要的数字特征,是 对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的 实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差 和标准差描述其波动大小. (2)平均数、方差的公式推广 ①若数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2 +a,mx3+a,?,mxn+a 的平均数是 m x +a. ②数据 x1,x2,?,xn 的方差为 s2. 1 2 2 a.s = [x1+x2+?+x2 )-n x 2]; 2 n n b.数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方差也为 s2; c.数据 ax1,ax2,?,axn 的方差为 a2s2.
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跟踪训练
3.(2013· 汉中调研)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期 的五次测试成绩得分情况如图.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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解:(1)由图像可得甲、乙两人五次测试成绩分别为:(单位:分) 甲:10,13,12,14,16; 乙:13,14,12,12,14. 10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 5 1 2 s甲 = [(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2] 5 =4, 1 s乙= [(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2] 5
2

=0.8.
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(2)由 s2 >s2 , 甲 乙 可知乙的成绩较稳定. 从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上 下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明 显提高.

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方法感悟
1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和 频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布, 难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计 数和计算时一定要准确,在绘制小矩形时,宽窄要一致.通 过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计. 2.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面 积相等,由此可以估计中位数的值,而平均数的估计值等 于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和,众数是最高的矩形的中点的横坐标.

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3.若取值 x1,x2,?,xn 的频率分别为 p1,p2,?,pn, 则其平均值为 x1p1+x2p2+?+xnpn;若 x1,x2,?,xn 的 平均数为 x ,方差为 s2,则 ax1+b,ax2+b,?,axn+b 的平均数为 a x +b,方差为 a2s2. 4.对标准差与方差的理解 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标 准差、方差越大,数据的离散程度越大,标准差、方差越 小,数据的离散程度越小,因为方差与原始数据的单位不 同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标 准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实 际问题时,一般多采用标准差.
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名师讲坛?精彩呈现
规范解答 概率与统计的综合问题 例
(本题满分 12 分)(2012· 高考湖南卷)某超市为了解顾

客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了 在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

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1至 一次购物量 4件 顾客数(人) 结算时间( 分钟/人) x 1

5至 8件 30 1.5

9至 12件 25 2

13至 16件 y 2.5

17件及 以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x, 的值, y 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将 频率视为概率)
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【解】 (1)由已知得 25+y+10=55, x+30=45, 所以 x=15, y=20.2 分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本 平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟).1 6 分 100

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(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟”,A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算 时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分 钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.8 分 15 3 30 3 将频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = , 100 20 100 10 25 1 P(A3)= = .9 分 100 4 2 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,? 3 3 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + 20 10 1 7 + = .11 分 4 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 3 .? 10 12 分
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抓关键

促规范

1 求平均值时,易犯只算时间而不乘顾客数的错误.如:

1+1.5+2+2.5+3 =0.1. 100 ?2 不说明 A1,A2,A3 是互斥事件,而直接利用结论,造 成缺步扣分. ?3 结论不明是考生常犯的错误.

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【题后感悟】 解决统计应用问题时,还有以下几点容易造成失 分,在备考时要高度关注: (1)对样本的获取即抽样方法应用不熟练; (2)对常用的统计图表和数学特征反映的总体的特征理解不透彻;

(3)与其他知识,特别是概率结合时,相关的概率模型不熟悉.

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跟踪训练
4.(2013· 宁波模拟)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算两组数据的平均数; (2)分别计算两组数据的方差; (3)根据计算结果, 估计一下两名战士的射击水平谁更好一些.

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1 解: x 甲 = (8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环), (1) 10 1 x 乙 = (6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环). 10 2 1 (2)由方差公式 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] n 可求得 s2 =3.0(环 2),s2 =1.2(环 2). 甲 乙 (3)由 x 甲 = x 乙 ,说明甲、乙两战士的平均水平相当; 又∵s2 >s2 ,说明甲战士射击情况波动大,因此乙战士比甲 甲 乙 战士射击情况稳定.

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知能演练?轻松闯关

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