2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(新课标Ⅱ卷)解析

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科) (新课标Ⅱ卷)解析
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓 名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题: 本大题共 10 小题。 每小题 5 分, 50 分。 共 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x-1) < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N=( (A) {0,1,2} (C){-1,0,2,3} 答案:A 思路分析: 考点解剖:该题主要考查集合交集运算与不等式的解法. 解题思路:求出集合 M 中不等式的解集,确定出 M,找出 M 与 N 的公共元素,即可确定 出两集合的交集. 解答过程:由 M ? {x | ( x ? 1) ? 4, x ? R} ? {x | ?1 ? x ? 3} 所以由交集的定义可知
2
2



(B) {-1,0,1,2} (D){0,1,2,3}

M ? N ? {0,1,2}
规律总结:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. (2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= (A)-1+i 答案:A 思路分析: 考点解剖: 本题考查复数代数形式的除法运算 解题思路: 根据所给的等式两边同时除以 1-i, 得到 z 的表示式, 进行复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果. (B)-1-i (C)1+i ( (D)1-i )

1

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解答过程:由题目中的表达式可得 z ?

2i 2i (1 ? i ) ? ? ?1 ? i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

规律总结: 对于复数代数形式的运算可类比多项式运算, 复数的除法运算关键是分子和 分母同乘以分母的共轭复数. (3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1=( ) (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

答案:C 思路分析: 考点解剖:本题主要考查等比数列的基本公式的运用 解题思路:设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 a1+a1q+a1q =a1q+10a1
2

a1q =9,解出即可。

4

解 答 过 程 : 由 题 中 S3 ? a2 ? 10a1 得 出 a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? 10a1 , 从 而 就 有

a3 ? 9a1 ? q 2 ?

a3 1 ? 9 ,又由 a5 ? a1q 4 ? 9 ? a1 ? a1 9

规律总结:熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键. (4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α ,n⊥平面 β 。直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,

l ? ? , l ? ? ,则(
(A)α ∥β 且 l∥α

) (B)α ⊥β 且 l⊥β (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l

(C)α 与 β 相交,且交线垂直于 l 答案:D 思路分析:

考点解剖:本题主要考查空间线面关系的判定,考查了平面与平面之间的位置关系,考 查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间 想象和思维能力。 解题思路:由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接 得到正确的结论 解答过程:若 ? // ? ,由题中条件可知 m // n ,与题中 m, n 为异面直线矛盾,故 A 错; 若 l ? ? 则有 l // n ,与题设条件 l ? n 矛盾,故 B 错;由于 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 都垂直 于 ? , ? 的交线,而 m和n 是两条异面直线,可将 m 平移至与 n 相交,此时确定一个平面 ? , 则 ? , ? 的交线垂直于平面 ? ,同理也有 l ? ? ,故 l 平行于 ? , ? 的交线,D 正确 C 错。 2 www.chinaedu.com

规律总结:解答有关空间线面关系的判定的问题,空间想象力是关键,由于这类题目涉 及到的线面较多,可借助我们学过的几何体为载体,在几何体中寻找这些线面. (5)已知(1+ɑ x)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 ɑ =( (A)-4 答案:D 思路分析: 考点解剖:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某 项的系数。 解题思路:由展开式中的通项可得 展开式中 x 的系数为 C5 +aC5 ? 5 ,由此解得 a 的
2 5

2



(B)-3

(C)-2

(D)-1

2

1


5 5 解答过程:因为 (1 ? x ) 的展开式中的通项可表示为 Tr ?1 ? C5 x ,从而有 (1 ? x ) 中
r r

1 x 2与x 的系数分别为 C52 ? 10和C5 ? 5 ,所以原式 (1 ? ax)(1 ? x)5 ? (1 ? x)5 ? ax(1 ? x)5 中

x 2 系数为 10 ? 5a ? 5 ? a ? ?1
规律总结:求二项展开式中某项的系数,主要是利用二项式展开式的通项公式,即通项 公式法。 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=

3

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(A) 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 10 1 1 1 ? ?? ? 2 3 11

(B) 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 10! 1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 11!

(C) 1 ? 答案:B

(D) 1 ?

思路分析: 考点解剖:该题考查程序的输出结果,重点是了解算法中循环结构的功能. 解题思路:从赋值框给出的两个变量的值开始,逐渐分析写出程序运行的每一步,便可 得到程序框图表示的算法的功能 解答过程:该题考查程序的输出结果,重点是了解算法中循环结构的功能, T ?

T 的 k

计算结果是

1 , S ? S ? T 是求和的算法语句,结合以上两点,当 N ? 10 时, k ? 11 时结 k!

束循环,所以应该选 B。 规律总结: 处理循环结构的框图问题, 关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次 数, 解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律,弄清是一个什 么样的的算法。 (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分 别是(1,0,1)(1,1,0)(0,1,1)(0,0,0) , , , ,画该四 面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视 图可以为

(A) 答案:A

(B)

(C)

(D)

思路分析: 考点解剖:该题考查三视图与空间坐标系综合应用. 解题思路:由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图 即可. 解答过程:由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下:
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从右到左投影到 xoz 平面的正投影为 A。 规律总结: 本题考查几何体的三视图的判断, 根据题意画出几何体的直观图是解题的关 键。 (8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 (A)c>b>a 答案:D 思路分析: 考点解剖:本题考查对数比较大小的问题,对数函数的单调性的应用,不等式的基本性 质的应用. 解题思路: 利用 loga xy) ( =logax+logay (x、 y>0) 化简 a, c 然后比较 log32, 52, , b, log log72 大小即可. . 解答过程:将题中的条件进行变形可知 a ? log3 ? log3 ? log3 ? 1 ? log3 ,
6 3 2 2 2 2 2 2 b ? log10 ? log5 ? log5 ? 1 ? log5 , c ? log14 ? log 7 ? log 7 ? 1 ? log 7 , 5 5 7 7

( )

(B)b>c>a

(C)a>c>b (D)a>b>c

因为 y=log2x 是增函数,所以 log27>log25>log23, ∵log27=

1 1 1 ,log25= ,log23= 2 2 2 log 7 log 5 log 3
2 2

所以 log 3 ? log 5 ? log 7 ,所以有 a ? b ? c 。
2

规律总结:比较对数值大小时若底数相同,构造相应的对数函数,利用单调性求解;若 底数不同,可以找中间量,也可以用换底公式化成同底的对数再比较

? x ?1 ? (9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? y ? a ? x ? 3? ?
(A)

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=

1 4

(B)

1 2

(C)1
5

(D)2 www.chinaedu.com

答案:B 思路分析: 考点解剖:本题考查线性规划的应用,主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及 简单的转化思想和数形结合的思想. 解题思路:先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只 需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 解答过程: 题目给出的可行域含有参数 a , 由于直线 y ? a( x ? 3) 过定点 (3,0) 且 a ? 0 , 所以可行域如图所示。先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,将最大值转化为 y 轴上的 截距, ,当直线 2x+y=z 过 x=1 与 y=a(x-3)的交点(1,-2a)时 z 取得最小值 1,所以有

2 ? 2a ? 1 , a ?

1 2

规律总结:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化 归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函 数几何的意义 (10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是 (A) ? xα ∈R,f(xα )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,xα )单调递减 (D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ? x0 ? ? 0 答案:C
6
3 2

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思路分析: 考点解剖:本题主要考查对三次函数图像的理解, 考查函数在某点取得极值的条件;命 题的真假判断与应用. 解题思路:利用导数的运算法则得出 f (x) ,分△>0 与△≤0 讨论,列出表格,即可 得出. 解答过程:解:f (x)=3x +2ax+b. (1)当△=4a -12b>0 时,f (x)=0 有两解,不妨设为 x1<x2,列表如下 x f'(x) f(x) (-∞,x1) + 单调递增 x1 0 极大值 (x1,x2) 单调递减 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 单调递增
2 ′ ′ 2 ′

由表格可知: ①x2 是函数 f(x)的极小值点,但是 f(x)在区间(-∞,x2)不具有单调性,故 C 不 正确. ②∵f( ?

2a -x)+f(x) 3

=( ?

4 a 3 2 ab 2a 2a 2a 3 2 3 2 -x) +a( ? -x) +b( ? -x)+c+x +ax +bx+c= +2c, 9 3 3 3 3
f(-

2 a 2 ab a a 3 a 2 a )=(- ) +a(- ) +b(- )+c= +c, 9 3 3 3 3 3

∵f( ?

2a a -x)+f(x)==2f(- ), 3 3 a a ,f(- ))为对称中心,故 B 正确. 3 3
′ ′

∴点 P(-

③由表格可知 x1,x2 分别为极值点,则 f (x1)=f (x2)=0,D 正确. ④∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即 ?xα ∈R,f(xα )=0,故 A 正确. (2)当△≤0 时,f (x)=3(x+ 点,故 D 正确,C 不正确; ②B 同(1)中②正确;


a 2 ) ≥0,故 f(x)在 R 上单调递增,①此时不存在极值 3

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③∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数 f(x)必然穿过 x 轴,即 ?xα ∈R,f(xα )=0,故 A 正确. 综上可知:错误的结论是 C. 故选 C. 规律总结: (1)若函数 y ? f (x) 定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ( a, b, c 为常数) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 (

a?b c , ) 对称。 2 2

(2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像不间断,并且在它的两个端点处的函数 值 异号,即 f(a)f(b)<0, 则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点 x0 ∈(a,b),使 f(x0)=0,

(3)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,即 f ′(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0 处取得极值的必要不充分条件. 本题还可这样解:若 c ? 0 则有 f (0) ? 0 ,所以 A 正确。由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得
3 2

f ( x) ? c ? x3 ? ax 2 ? bx , 因 为 函 数 y ? x3 ? ax 2 ? bx 的 对 称 中 心 为 ( 0,0 ) 所 以 , f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 的对称中心为 (0, c) ,所以 B 正确。 由三次函数的图象可知, x0 是 若
f(x)的极小值点,则极大值点在 x0 的左侧,所以函数在区间(-∞, x0 )单 错误的,D 正确。选 C. (11)设抛物线 y =3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过 点(0,2) ,则 C 的方程为 (A)y =4x 或 y =8x (C)y =4x 或 y =16x 答案:C 思路分析: 考点解剖: 本题是圆的方程与抛物线的综合性问题, 着重考查了抛物线的定义与简单几 何性质。 解题思路:根据抛物线方程算出|OF|=
2 2 2 2 2

调递减是

(

)
2 2

(B)y =2x 或 y =8x (D)y =2x 或 y =16x
2 2

3p ,设以 MF 为直径的圆过点 A(0,2),在 Rt 4

△AOF 中利用勾股定理算出|AF|= 4 ?

9 p2 .再由直线 AO 与以 MF 为直径的圆相切得到∠ 16

OAF=∠AMF,Rt△AMF 中利用∠AMF 的正弦建立关系式,从而得到关于 p 的方程,解之得到实 8 www.chinaedu.com

数 p 的值,进而得到抛物线 C 的方程. 解答过程:∵抛物线 C 方程为 y =3px(p>0) ∴焦点 F 坐标为(
2

3p 3p ,0),可得|OF|= 4 4

∵以 MF 为直径的圆过点(0,2), ∴设 A(0,2),可得 AF⊥AM

3p 2 9 p2 Rt△AOF 中,|AF|= 2 +( ) = 4 ? 16 4
2

3P 4 ∴sin∠OAF= = AF 9P2 4? 16
OF
∵根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于 A 点,

3P 4 ∴∠OAF=∠AMF,可得 Rt△AMF 中,sin∠AMF= = , MF 9P2 4? 16
AF

∵|MF|=5,|AF|= 4 ?

9p ∴ 16

2

4?

9 p2 16 = 5

3P 9 p 2 15 p 4 ? ,整理得 4+ ,解之 16 4 9P2 4? 16

可得 p=

4 16 或 p= 3 3
2 2

因此,抛物线 C 的方程为 y =4x 或 y =16x 故选:C 规律总结:
9

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1、 研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用:抛物线的定义实质上是一种转 化思想,即 ①.抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离. ②.抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用. 2、本题更常规的解法:设点 M(x,y),圆心 B(a,b)如图,

由 MM ' ? MF ? 5得 BB ' ?

MM ' ? FF ' 2

?

5 3p 5 ? ,从而可以得到 B 的横坐标 a ? , 2 4 2
2

所以可以设圆 B 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? b) ?
2

5 2

25 ,将点(0,2)代入得 4

5 25 3p ( ) 2 ? ( 2 ? b) 2 ? ? b ? 2 ,从而可以得到点 M 的坐标为 (5 ? , 4) ,代入 2 4 4 4 16 y 2 ? 3 px解得p ? 或p ? 3 3 ,故答案选 C
(12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面 积相等的两部分,则 b 的取值范围是 (A) (0,1)(B) ? 1 ? 答案:B 思路分析: 考点解剖: 本题主要考查确定直线的要素, 点到直线的距离公式以及三角形的面积公式 的应用,还考察运算能力以及综合分析能力,分类讨论的数学思想。 解题思路:先求得直线 y=ax+b(a>0)与 x 轴的交点为 M(10

? ? ?

? 2 1? 2 1? ?1 1 ? , ? ( C) ? 1 ? , ? (D) ? , ? ? 2 2? 2 3? ?3 2 ? ? ?

b b ,0),由- ≤0 可得 a a
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点 M 在射线 OA 上.求出直线和 BC 的交点 N 的坐标, ①若点 M 和点 A 重合,求得 b=

1 1 ;②若点 M 在点 O 和点 A 之间,求得 b< ; ③若点 3 2

M 在点 A 的左侧,求得 b>1解答过程:

2 .结合所给的选项,综合可得结论 2

设直线 y=ax+b 与直线 BC:x+y=1 的交点为 D(xD,yD),与 x 轴的交点为 E ( ? 可知,要平均分割三角形,则 b>0,所以 E 点只能处于 x 轴负半轴, 当 E 在 A 点与原点之间时,如图可得△DEB 的面积为

b ,0) ,由题意 a

1 ,联立 2

直 线

y=ax+b

与 线

BC : x+y=1

得 , yD=

a?b 1? a

, 所 以 有

S ?BDE ?

1 1 b a?b 1 BE ? y D ? (1 ? ) ? 整理得 2 2 a 1? a 2

a?

b2 1 ? 0, 得b ? 。 1 ? 2b 2
1 1 2 2

当 E 与 A (?1,0) 点重合时, 直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积, 必须过 B、 的中点 ( , ) , C

如下图此时可确定直线 y=ax+b 的方程为 y ?

1 1 1 x ? ,此时 b ? 。 3 3 3

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当 E 点处于 A 点左侧时,如图

此时若直线 y=ax+b 想平分△ABC 的面积,则 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,且三角形 CDF 面积 为

1 1? b ,联立直线 y=ax+b 与线 BC:x+y=1 得 xD ? ,联立直线 y=ax+b 与 AC:-x+y=1 得 2 1? a 1? b ,所以有 1? a 1 1 2 1 (1 ? b)( xD ? xF ) ? (1 ? b) 2 ? ? a 2 ? 1 ? 2(1 ? b) 2 ? 0 ,解得 2 2 2 1? a 2

xF ?

S ?CDF ?
1?

2 2 ? b ? 1? 2 2

综上所述 1 ?

2 1 ? b ? ,故答案选 B 2 2

规律总结:求解的数学问题有多种情况或多种可能,需用分类讨论。分类时需要做到不 重复、不遗漏、标准统一、分层不越级。 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考 生根据要求作答。
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ?BD =_______. 答案:2 思路分析: 考点解剖:向量在几何中的应用。 解题思路:建立平面直角坐标系,将所需要向量用坐标表示出来,利用数量积计算。 解答过程:如图建立平面直角坐标系

??? ??? ? ?

从而有 AE ? (1,2), BD ? ( ?2,2) ,所以 AE? BD ? ?2 ? 4 ? 2 规律总结:向量方法解决平面几何问题的步骤: 第一步:建立平面直角坐标系,将所需要向量用坐标表示出来,即用向量表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题,注意分清已知向量和未知向量; 第二步: 选择适当的向量运算公式和定理, 通过向量的运算, 研究几何元素之间的关系; 第三步:将运算结果还原成几何关系 本题也可不建坐标系:在正方形中, AE ? AD ?

?

?

?

?

??? ?

? ? ???? 1 ???? ??? ??? ???? ???? ???? DC , BD ? BA ? AD ? AD ? DC , 2

所以 AE ? BD ? ( AD ?

??? ??? ? ?

???? 1 ???? ???? ???? ???? 2 1 ???? 2 1 DC ) ? ( AD ? DC ) ? AD ? DC ? 22 ? ? 22 ? 2 2 2 2

(14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为

1 ,则 n=________. 14

答案:8 思路分析: 考点解剖:本题考查古典概率的计算。 解题思路:n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数 Cn ?
2

n(n ? 1) ,两正整 2

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数之和等于 5 只有 1+4=5 和 2+3=5 两种情况,然后带入古典概率的计算公式即可。
2 解答过程:由题可知所有基本事件总数为 Cn ?

n(n ? 1) ,选出来的正整数要求和为 5, 2

则只能是 1+4=5 和 2+3=5 两种情况,所以有 规律总结: 1、计算古典概型事件的概率可分三步:

2 1 ? , 解得n ? 8 。 2 Cn 14

①算出基本事件的总个数 n;②求出事件 A 所包含的基本事件个数 m;③代入公式求出 概率 P. 2、古典概型中基本事件的探求方法: (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 (3)排列组合法(后面将学到) :在求一些较复杂的基本事件的个数时,可利用排列或组 合的知识. 3.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求. (15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

??

1 ?? 4? 2

,则 sin ? ? cos? =_________.

答案: ?

10 5

思路分析: 考点解剖:本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题。 解题思路: 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简, 求出 tanθ 的值, 再根据θ 为第二象限角, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的 值,即可求出 sinθ +cosθ 的值. 解答过程:由 tan(? ?

?
4

)?

1 ? tan? 1 1 ? 得 tan? ? ? ,又因为 ? 为第二象限角,利 1 ? tan? 2 3

用 tan? ?

10 3 10 sin ? , cos? ? ? , sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 可求得 sin ? ? 10 10 cos?
10 5
可实现角 ? 的正弦与余弦的互化,但注意角的范围;

所以有 sin ? ? cos? ? ? 规律总结:利用

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

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tan ? ?

sin ? 可实现角 ? 的弦与切的互化. 熟练掌握公式是解本题的关键 cos ?

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________. 答案:

?49

思路分析: 考点解剖:此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的前 n 项和公式,熟练掌握性质 及公式是解本题的关键。 解题思路: 由等差数列的前 n 项和公式化简已知两等式, 联立求出首项 a 与公差 d 的值, 利用数列的前 n 项和公式写出 Sn,,求 nSn 的最小值就转化为了三次函数求最值问题。 解答过程: 本 题 考 查 等 差 数 列 与 导 数 的 综 合 问 题 , 由

2 S10 ? 0, S15 ? 25得2a1 ? 9d ? 0,3a1 ? 21d ? 5 , 联 立 后 就 可 以 解 得 d ? , a1 ? ?3 , 则 3
Sn ? n 2 ? 10n n3 ? 10n 2 n 令 f (n) ? nS n ? ,求导后可得 f '(n) ? (3n ? 20) ,因为 n ? 0 , 3 3 3
20 20 20 时 f (n) 单调递减,当 n ? 时, f (n) 单调递增,所以当 n ? 时取得最小 3 3 3

故当 n ?

值,又因为 n 为整数,所以当 n=6 或 n=7 时取最小, f (6) ? ?48 , 为

f (7) ? ?49

,故最小值

?49
规律总结:用导数求数列这类特殊函数的最值,要注意 n 取整数这一条件。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。 思路分析: 考点解剖:本题考查正、余弦定理的应用。 解题思路: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱

导公式变形,求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,把 sinB 的值代入,得到三角
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形面积最大即为 ac 最大,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 ac 的最大值, 即可得到面积的最大值. 解答过程: (1)因为 a=bcosC+csinB 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB 因为 sinC>0,所以有 cosB=sinB 从而 B=45 ? (2)由余弦定理可知:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 45 ? ? 2ac ? 2ac
所以有

ac ? 2(2 ? 2 ) ,当且仅当 a ? c 取等号

S?

1 1 2 ac sin B ? ? 2(2 ? 2 ) ? ? 2 ?1 2 2 2

故面△ABC 面积的最大值为 2 ? 1 。 规律总结:解决这类与三角形结合的三角函数的最值问题,要注意正余弦定理的应用, 用正余弦定理把条件全部化为角, 利用三角恒等变换求最值, 或者用正余弦定理把条件全部 化为边,利用基本不等式求最值。 (18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, AA1=AC=CB=

2 AB。 2

(Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值

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思路分析: 考点解剖:本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,二面角的平面角的求法,考查 空间想象能力与计算能力 解题思路: (Ⅰ)通过证明 BC1 平行平面 A1CD 内的直线 DF,利用直线与平面平行的判定 定理证明 BC1∥平面 A1CD (Ⅱ)证明 DE⊥平面 A1DC,作出二面角 D-A1C-E 的平面角,然后求解二面角平面角的正 弦值即可.也建立空间直角坐标系,可分别求出平面 A1CD 和平面 A1CE 的法向量,利用法向 量夹角的正弦值来计算 解答过程: 证明: (1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 平分 AC1 又因为 D 为 AB 的中点,所以有 FD//BC1 FD ? 面 A1CD BC1 ? 面 A1CD 所以 BC1//平面 A1CD

AC ? CB ?
(Ⅱ)由 AC +CB =AB
2 2 2

2 2 AB 从而有

得 AC⊥BC。 以 C 为坐标原点,CA 的方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz 。 设 CA=2,则
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D(1,1,0), E (0,2,1), A1 (2,0,2) ,
CD ? (1,1,0), CE ? (0,2,1), CA1 ? (2,0,2) 。
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 A1CD 的法向量,则

?n ? CD ? 0, ? x1 ? y1 ? 0, ? 即? ? ?n ? CA1 ? 0, ?2 x1 ? 2 z1 ? 0. ?
可取 n ? (1,?1,?1) 。 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 ?

?m ? CE ? 0, ? ?m ? CA1 ? 0. ?

可取 m ? (2,1,?2) 。

从而 cos ? n, m ??

n?m 3 6 ,故 sin ? n, m ?? 。 ? | n || m | 3 3

即二面角 D ? A1C ? E 的正弦值为

6 。 3

方法二:(Ⅱ)因为直棱柱 ABC-A1B1C1,所以 AA1⊥CD, 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB, 又 AA1∩AB=A,于是,CD⊥平面 ABB1A1, 设 AB=2 2 ,则 AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°, CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D,所以 DE⊥平面 A1DC, 又 A1C=2 2 ,过 D 作 DF⊥A1C 于 F,∠DFE 为二面角 D-A1C-E 的平面角,
2 2 2

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在△A1DC 中,DF=

A1 D ? DC 6 3 2 2 2 = ,EF= DE ? DF ? , 2 2 A1C
DE 6 ? EF 3

所以二面角 D-A1C-E 的正弦值.sin∠DFE= 规律总结:

1、利用空间向量求二面角可以有两种方法:一是分别在二面角的两个半平面内找到一 个与棱垂直且从垂足出发的两个向量, 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大 小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为 n1 和 n2,则二面 角的大小等于〈n1,n2〉(或π -〈n1,n2〉). 2.利用空间向量求二面角时,注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角. (19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出 的产品,每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位:t,

100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x? ?100,110 ? ) 则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110 ? 的利润 T 的数学期望。 思路分析: 考点解剖: 本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力, 求解的重点是对题 设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义。 解题思路: (I)由题意先分段写出,当 x∈[100,130)时,当 x∈[130,150)时,和
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利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可. (II)由(I)知,利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120≤x≤150.再由直方图知需 求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值. (III)利用利润 T 的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得. 解答过程: (1)当 1 ? ?3时, TX(? 0 9 0 X1 0 0 ?? 3 ?? 530 83 0 0 XX 0 00 ? 1)00 0 当 1 ? ?5时, T? 5 0 3 X1 0 0 600 所以 T 与 X 的函数关系式为 T ? ?

8 X 3 01 X 1 ) 0 0( 0 0 ? 0 ?9 0 0? ?3 6 01 X 1 ) 0( 0 0 ?5 0 3? ?5

(2)当 8 ?050 0 307 时,即 X ?120时,概率 P=0.7 0 9 ?0 X0 0 (3)X 可能的取值为: X P T 105 0.1 45000 115 0.2 53000 125 0.3 61000 135 0.25 65000 145 0.15 65000

ET ? 45000 ? 0.1 ? 53000 ? 0.2 ? 61000 ? 0.3 ? 65000 ? 0.25 ? 65000 ? 0.15 ? 59400
规律总结:1、解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义.掌握图表中各个量的 意义,通过图表对已知数据进行分析. 2、求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事 件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率. 3、求随机变量的数学期望的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项 分布或两点分布,则可直接使用公式求解. (20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x+ya 2 b2

=0 交 M

于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ι )求 M 的方程

1 2

(Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大 值 思路分析: 考点解剖:本题综合考查了椭圆的标准方程、 “点差法” 、中点坐标公式、直线与椭圆相
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交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、 二次函数的单调性等基础知识,考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问 题和解决问题的能力 解题思路:(I)把右焦点(c,0)代入直线可解得 c.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点 P(x0,y0),利用“点差法”即可得到 a,b 的关系式,再与 a =b +c 联立即 可得到 a,b,c. (II)由 CD⊥AB,可设直线 CD 的方程为 y=x+m,与椭圆的方程联立得到根与系数的关 系,即可得到弦长|CD|.把直线 x+y=0 与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,即可得
2 2 2

到弦长|AB|,利用 S ACBD ? 即可得到其最大值. 解答过程:

1 CD ? AB 即可得到关于 t 的表达式,利用二次函数的单调性 2

解析: (1)设 A yB, 2 P, 0 将 A、B 代入得到 (, 1 ( ) ( ) x ) xy xy , 2 , 0 , 1

? ? ? ? ? ? ?

x12 y12 ? ? 1 (1 ) a2 b2 x22 y22 ? 2 ? 1(2 ) a2 b

,则(1)-(2)得到

y2 ? y1 b2 x ?? 2 ? 0 , x1 ? x2 a y0

由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1

x b 2 x0 1 ? ? 1 ,OP 的斜率为 0 ? ,所以 a2 ? 2b2 所以 ? 2 ? y0 2 a y0
由 a ?b ?c 得到 a ? 6,b ?3
2 2 2

2

2

所以 M 得标准方程为

x2 y2 ? ?1 6 3

1 S ? CD ? AB D B 2 (2)若 四 边 形 ACBD 的 对 角 线 C ?A , 由 面 积 公 式 可知,当
CD 最长时四边形 ACBD 面积最大,由直线 AB: x ? y ? 3 ? 0的斜率 k=-1,设 CD 直线方

x2 y2 ? ?1 3 程为 y ? x ? m ,与椭圆方程 6 联立得:

3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 3 3
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则 CD ? 1 ? k 2 ( x ? x ) 2 ? 4 x ? x ? CD 1 2 1 2

2?

72 ? 8m 2 ,当 m=0 时 CD 最大值为 4, 9

x2 y2 ? ?1 2 3 联立直线 AB: x ? y ? 3 ? 0与椭圆方程 6 得 3x ? 4 3 x ? 0
同理利用弦长公式 AB ? 1 ? k AB
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ?

4 6 3

S ACBD max ?

1 8 6 。 CD max ? AB ? 2 3

规律总结:当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不 求计算弦长(即应用弦长公式); 涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与 量间的关系灵

活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦 长,根的分布找范围,曲线定义不能忘” (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=e -ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0 思路分析: 考点解剖:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式的证明,考查了函数 与方程思想, 综合考查了学生分析问题和解决问题的能力. 熟练函数与导数的基础知识是解 决该题的关键,是难题. 解题思路(Ⅰ)求出原函数的导函数,因为 x=0 是函数 f(x)的极值点,由极值点处 的导数等于 0 求出 m 的值, 代入函数解析式后再由导函数大于 0 和小于 0 求出原函数的单调 区间; (Ⅱ)证明当 m≤2 时,f(x)>0,转化为证明当 m=2 时 f(x)>0.求出当 m=2 时函 数的导函数,可知导函数在(-2,+∞)上为增函数,并进一步得到导函数在(-1,0)上有 唯一零点 x0,则当 x=x0 时函数取得最小值,借助于 x0 是导函数的零点证出 f(x0)>0,从 而结论得证. 解答过程: (1) f ??x ? ? e x
x

1 x?m
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因为 X=0 是极值点 所以 f ??0? ? 0 即: e 0

1 ? 0 ? m ?1 m

f ??x ? ? e x -

1 x ?1 x ?x ? 1?e - 1 (x>-1) ? x ?1
x ′ x x ′

设 g(x)=e (x+1)-1,则 g (x)=e (x+1)+e >0,所以 g(x)在(-1,+∞)上为 增函数,又∵g(0)=0,所以当 x>0 时,g(x)>0,即 f (x)>0;当-1<x<0 时,g (x)<0,f (x)<0. 所以 f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数; (Ⅱ)证明:当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时 f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f ?(? x ? ? e x (0)>0. 故 f (x)=0 在(-2,+∞)上有唯一实数根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f (x)<0,当 x∈(x0,+∞)时,f (x)>0, 从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值.由 f (x0)=0,得 e 0=
′ x ′ ′ ′ ′

1 ′ ′ 在(-2,+∞)上为增函数,且 f (-1)<0,f x?2

1 ,ln(x0+2)=-x0. x0 ? 2

故 f(x)≥f(x0)=

( x ? 1) 2 1 +x0= 0 >0. x0 ? 2 x0 ? 2

综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 规律总结:1、可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值 点,因此题目给出“x=0 是 f(x)的极值点 ”我们不仅要计算 f ??0? ? 0 ,还要检验 f′(x)= 0 的根 x=0 的左右侧 f′(x)的符号。 2、本题(Ⅱ)的证明用到了等价转化的思想,把“m≤2时,证明f(x)>0”转化为“证 明当m=2时f(x)>0.”这种由未知向已知转化,把不熟悉的、不规范的、复杂的问题转化 为熟悉的、规范的甚至模式化的、简单的问题,从而求得原问题的解,是解决较难问题的常 用方法 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答 时请写清题号。
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(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲

如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC? AE=DC? AF,B、E、F、C 四点共圆。 (1) (2) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆

的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 思路分析: 考点解剖:本题考查了 弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直 径的判定、切割线定理、勾股定理 解题思路: (1)已知 CD 为△ABC 外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB=∠A,及 BC ? AE=DC? AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD=∠AFE.利用 B、E、F、C 四点共圆,可得∠ CFE=∠DBC,进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明 CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.只需求出其外接 圆的直径的平方之比即可.由过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE,及 DB=BE,可得 CE=DC, 利用切割线定理可得 DC =DB? DA,CA =CB +BA ,都用 DB 表示即可 解答过程: 解: (Ⅰ)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知 △CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA。 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°。 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径。 (Ⅱ)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB= BE,有 CE=DC,又 BC 2 ? DB ? BA ? 2DB 2 ,所以
2 2 2 2

BC DC ? ,故 FA EA

CA2 ? 4DE 2 ? BC 2 ? 6DB 2 。
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而 DC 2 ? DB ? DA ? 3DB 2 ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的 比值为

1 。 2

规律总结:熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的 判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键 (23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2 cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数 ?

上,对应参数分别为 β =α

与 β =2α 为(0<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 思路分析: 考点解剖:本题主要考查两点间的距离公式的应用,轨迹方程. 解题思路:(I)根据题意写出 P,Q 两点的坐标:P(2cosα ,2sinα ),Q(2cos2α , 2sin2α ),再利用中点坐标公式得 PQ 的中点 M 的坐标,从而得出 M 的轨迹的参数方程; ( II ) 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到 M 到 坐 标 原 点 的 距 离

d?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos? (0 ? ? ? 2? )

,再验证当α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标

原点. 解答过程: (Ⅰ)依题意有 P(2 cos? ,2 sin ? ), Q(2 cos 2? ,2 sin 2? ) ,因此

M (cos? ? cos 2? , sin ? ? sin 2? ) 。
M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos? ? cos 2? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) 。 ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离

d?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos? (0 ? ? ? 2? ) 。
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当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点。 www.chinaedu.com

规律总结:解决本题需熟悉两点间的距离公式。 24. (24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c 2 ? ? ?1 b c a

思路分析: 考点解剖:本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论 证能力。 解题思路:(Ⅰ)依题意,由 a+b+c=1?(a+b+c) =1?a +b +c +2ab+2bc+2ca=1,利用 基本不等式可得 3(ab+bc+ca)≤1,从而得证;
2 2 2 2

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c c a (Ⅱ)利用基本不等式可证得: b ,三式累加即
可证得结论. 解答过程: 解: (Ⅰ)由 a 2 ? b 2 ? 2ab, b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca 得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 。
由题设得 (a ? b ? c) 2 ? 1 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 。 所以 3(ab ? bc ? ca) ? 1,即 ab ? bc ? ca ?

1 。 3

(Ⅱ)因为

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c , b c a



a2 b2 c2 a2 b2 c2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ?b ?c。 b c a b c a a2 b2 c2 ? ? ? 1。 b c a

所以

规律总结:证明不等式的常用方法 (1)比较法:分作差比较法和作商比较法两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较 法,对于含有幂指数类的用作商比较法. (2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是“由因 导果”.常用到以下不等:a2≥0,(a±b)2≥0,a2+b2≥2ab(a,b∈R),
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(a,b∈ www.chinaedu.com

R+). (3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为 判定这些条件是否具备的问题.这是一种“执果索因”的方法. (4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利 用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性,一定要把握好“度”,使其恰到好处. (5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性. (6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的,考虑用反证法.

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