2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数课件新人教A版必修1_图文

§2.3 学习目标 幂函数 1. 了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式 ( 易错 2 3 1 1 点).2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2 的图象,掌 握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大 小(重点). 预习教材 P77-P78,完成下面问题: 知识点 1 幂函数的概念 y=xα 一般地,函数 __________ 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数. 【预习评价】 (1)函数 y=x (正确的打“√”,错误的打“×”) - 4 5 是幂函数.( ) ) ) (2)函数 y=2-x 是幂函数.( (3)函数 1 y=-x2 是幂函数.( 提示 (2)× (1)√ 函数 y=x - 4 5 符合幂函数的定义,所以是幂函数; - 幂函数中自变量 x 是底数,而不是指数,所以 y=2 x 不 是幂函数; (3)× 幂函数中 x 的系数必须为 1,所以 α 1 y=-x2 不是幂函数. 知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象: (2)幂函数的性质: 幂函数 定义域 值域 奇偶性 y=x y=x 2 y=x 3 1 y=x2 y=x -1 R ____ R ____ [0,+∞) _________ 偶 ____ __________ (-∞,0) ,+∞) R [0 ____ ________ ∪ (0,+∞) _________ R ____ 奇 ____ R ____ 奇 ____ [0 ,+∞) ________ 非奇非偶 ________ {y|y∈R, __________ 且y≠0} __________ 奇 ____ 幂函数 y=x y=x 2 y=x 3 1 y =x 2 y=x-1 x∈(0,+ x∈[0,+ 单调性 增 ∞),_____ 增 ____ x∈(-∞, 减 ∞), ____ 增 ____ 增 __________ x∈(- ∞,0), 减 ______ 减 0],______ 公共点 (1,1) 都经过点 __________ 【预习评价】 (1)设函数 5 f(x)=x3 ,则 f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 (2)3.17-3 与 3.71-3 的大小关系为________. 解析 函数. (1)易知 f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇 1 (2)易知 f(x)=x =x3在(0,+∞)上是减函数,又 3.17<3.71,所 -3 以 f(3.17)>f(3.71),即 3.17-3>3.71-3. 答案 (1)A (2)3.17-3>3.71-3 题型一 幂函数的概念 【例1】 (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂 ) 函数的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 (2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=________. 解析 B. (1)根据幂函数定义可知,只有y=x-2是幂函数,所以选 (2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0, 解得m=5或m=-1. 答案 (1)B (2)5或-1 规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y=xα(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才 是幂函数,否则就不是幂函数. (2) 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y = xα(α为常数) 的形式,函数的解析式为一个幂的形式,且: ①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为1.形如y= (3x)α,y=2xα,y=xα+5?形式的函数都不是幂函数.反过 来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式. 【训练 1】 若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(4)=3f(2),则 值等于________. 解析 设 f(x)=xα,因为 f(4)=3f(2),∴4α=3×2α, ?1? f?2?的 ? ? 解得:α=log23, ?1? ?1? 1 log23 ? ? ? ? ∴f 2 = 2 =3. ? ? ? ? 1 答案 3 题型二 幂函数的图象及应用 【例 2】 (1)如图所示, 图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限 1 的图象,已知 n 取± 2,± 2四个值,则相应于 C1,C2,C3, C4 的 n 依次为( ) 1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 C.-2,-2,2,2 1 1 D.2,2,-2,-2 (2)点( ? 1? 2,2)与点?-2,-2?分别在幂函数 ? ? f(x),g(x)的图象上, 问当 x 为何值时, 分别有: ①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x); ③f(x)<g(x). (1)解析 根据幂函数 y=xn 的性质, 在第一象限内的图象当 n>0 1 时,n 越大,y=x 递增速度越快,故 C1 的 n=2,C2 的 n=2; n 1 当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 C3 的 n=-2,曲 线 C4 的 n=-2,故选 B. 答案 B (2)解 1 设 f(x)=x ,g(x)=x .∵( 2) =2,(-2) =-2,∴α=2, α β α β - β=-1,∴f(x)=x2,g(x)=x 1.分别作出它 们的图象,如图所示.由图象知: ①当 x∈(-∞, 0)∪(1, +∞)时, f(x)>g(x); ②当 x=1 时,f(x)=g(x); ③当 x∈(0,1)时,f(x)<g(x). 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象

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