【推荐】2020高中数学 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修4

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3.1.1

两角差的余弦公式

学习目标: 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. (重点)2.理解用向量法导出公式的主 要步骤.(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计 算.(重点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 两角差的余弦公式 公式 适用条件 公式结构 cos(α -β )=cos_α cos_β +sin_α sin_β 公式中的角 α ,β 都是任意角 公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符 号相反 [基础自测] 1.思考辨析 (1)cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30°.( ) ) )

(2)对于任意实数 α ,β ,cos(α -β )=cos α -cos β 都不成立.(

(3)对任意 α ,β ∈R,cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 都成立.( (4)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0.( )

[解析] (1)错误.cos(60°-30°)=cos 30°≠cos 60°-cos 30°. (2)错误.当 α =-45°,β =45°时,cos(α -β )=cos(-45° -45°)=cos(-90°)=0, cos α -cos β =cos(-45°)-cos 45°=0, 此时 cos(α -β )=cos α -cos β . (3)正确.结论为两角差的余弦公式. (4)正确.cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=cos(120°-30°)=cos 90°= 0. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.cos(-15°)的值是( A. C. D 30°= 6- 2 2 6- 2 4 ) B. D. 6+ 2 2 6+ 2 4

[cos( -15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 2 3 2 1 6+ 2 × + × = .] 2 2 2 2 4

3.cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=________.

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2 2

[cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°-20°)=cos 45°= [合 作 探 究·攻 重 难] 给角求值问题 13π (1)cos 的值为( 12 ) B. 6- 2 4 6+ 2 4

2 .] 2

A. C.

6+ 2 4 2- 6 4

D.-

(2)求下列各式的值: ①cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; ②sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; 1 3 ③ cos 15°+ sin 15°. 2 2 【导学号:84352295】 (1)D π? 13π π ? [(1)cos =cos?π + ?=-cos 12? 12 12 ?

?π π ? =-cos? - ? ?4 6?
π π π π =-cos cos -sin sin 4 6 4 6 =- 2 3 2 1 6+ 2 × - × =- . 2 2 2 2 4

(2)①cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195° =cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°) =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° 1 =cos(75°-15°)=cos 60°= . 2 ②sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14° =cos(44°-14°)=cos 30°= 1 3 ③ cos 15°+ sin 15° 2 2 =cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°
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3 . 2

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=cos(60°-15°)=cos 45°=

2 .] 2

[规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是: (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用 公式求值. 2.两角差的余弦公式的结构特点: (1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦. (2)把所得的积相加. [跟踪训练] 1.化简下列各式: (1)cos(θ +21°)cos(θ -24°)+sin(θ +21°)sin(θ -24°); (2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°. [解] (1)原式=cos[θ +21°-(θ -24°)] =cos 45°= 2 . 2

(2) 原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°- 47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)= 3 . 2 给值(式)求值问题 [探究问题] 1.若已知 α +β 和 β 的三角函数值,如何求 cos α 的值? 提示:cos α =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β . 2.利用 α -(α -β )=β 可得 cos β 等于什么? 提示:cos β =cos[α -(α -β )]=cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ). (1)已知 sin α -sin β =1- A.- 1 C. 2 3 2 3 1 , cos α -cos β = , 则 cos(α -β )=( 2 2 1 B.- 2 D. 3 2 )

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?π ? 12 ?π 2π ? (2)已知 sin? +α ?= ,α ∈? , ?,求 cos α 的值. 3 ? ?3 ? 13 ?6
【导学号:84352296】 [思路探究] (1)先将已知两式平方,再将所得两式相加,结合平方关系和公式 C(α -β ) 求 cos(α -β ). π ?π ? π (2)由已知角 +α 与所求角 α 的关系即 α =? +α ?- 寻找解题思路. 3 ?3 ? 3 (1)D [(1)因为 sin α -sin β =1-
2 2

3 , 2

所以 sin α -2sin α sin β +sin β =?1-

? ?

3?2 ?, 2?

① ②

1 ?1?2 2 2 因为 cos α -cos β = ,所以 cos α -2cos α cos β +cos β =? ? , 2 ?2? 3 1 ①,②两式相加得 1-2cos(α -β )+1=1- 3+ + 4 4 所以-2cos(α -β )=- 3 所以 cos(α -β )= 3 . 2

?π 2π ? (2)∵α ∈? , ?, 3 ? ?6
∴ π ?π ? +α ∈? ,π ?, 3 ?2 ?

?π ? ∴cos? +α ?=- ?3 ?
=- ∵α =?

? 2?π 1-sin ? +α ? ?3 ?

5 ?12?2 1-? ? =- . 13 ?13?

?π +α ?-π , ? 3 ?3 ?

??π ? π? cos α =cos?? +α ?- ? ? 3? ?? 3 ?π ? π ?π =cos? +α ?cos +sin? +α 3 ?3 ? ?3 ?sinπ =- 5 ×1+12× 3=12 3-5.] ? 3 13 2 13 2 26 ?

π? 4 π 3π ? 母题探究:1.将例 2(2)的条件改为“sin?α + ?= ,且 <α < ”,如何解答? 4? 5 4 4 ? π? 4 π 3π ? [解] ∵sin?α + ?= ,且 <α < , 4? 5 4 4 ? ∴ π π <α + <π , 2 4
4

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π? ? ∴cos?α + ?=- 4? ?

3 ?4?2 1-? ? =- , 5 ?5?

π? π? ?? ∴cos α =cos??α + ?- ? 4? 4? ?? π? π? π π ? ? =cos?α + ?cos +sin?α + ?sin 4? 4? 4 4 ? ? 3 2 4 2 2 =- × + × = . 5 2 5 2 10 π? 12 ?π ? ? π 5π ? ? 2.将例 2(2)的条件改为“sin? -α ?=- ,α ∈? , ?”,求 cos?α - ?的 6 ? 12? 13 ?3 ? ?6 ? 值. π 5π π π π [解] ∵ <α < ,∴- < -α < , 6 6 2 3 6 又 sin?

?π -α ?=-12<0, ? 13 ?3 ?
1-sin ?
2

π π ?π ? ∴- < -α <0,cos? -α ?= 2 3 ?3 ?

?π -α ?= 5 , ? 13 ?3 ?

π? 2 2 ??π ? π? ? ?π ? ?π ? ?π ? ∴cos?α - ?=cos? -α ?=cos?? -α ?- ?= cos? -α ?+ sin? -α ? 3 12? 3 3 4 2 2 ? ? ? ?12 ? ? ? ? ? ? ? = 2 5 2 ? 12? 7 2 × + ×?- ?=- . 13 2 13 2 ? 26 ? [规律方法] 给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. 由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或 凑角.常见角的变换有: ①α = α -β +β ;

α +β α -β ②α = + ; 2 2 ③2α = α +β ④2β = α +β + α -β - α -β 给值求角问题 4 3 13 π 已知 sin(π -α )= , cos(α -β )= , 0<β <α < , 求角 β 的大小. 7 14 2 【导学号:84352297】 [思路探究] 求cos α 、 α -β → 求cos β =cos[α - α -β ;

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→ 求β [解] 因为 sin(π -α )= 4 3 , 7

4 3 π 所以 sin α = .因为 0<α < , 7 2 1 2 所以 cos α = 1-sin α = . 7 13 因为 cos(α -β )= , 14 π π 且 0<β <α < ,所以 0<α -β < , 2 2 所以 sin(α -β )= 1-cos
2

α -β

3 3 = , 14

1 13 所以 cos β =cos[α -(α -β )]=cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )= × + 7 14 4 3 3 3 1 π π × = .因为 0<β < ,所以 β = . 7 14 2 2 3 [规律方法] 已知三角函数值求角的解题步骤 界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. 求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 结合三角函数值及角的范围求角. 提醒:在根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案. [跟踪训练] 2 5 10 2.已知 α ,β 均为锐角,且 cos α = ,cos β = ,求 α -β 的值. 5 10 [解] ∵α ,β 均为锐角, ∴sin α = 5 3 10 ,sin β = , 5 10

∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = 2 5 10 5 3 10 2 × + × = . 5 10 5 10 2

又 sin α <sin β , π π ∴0<α <β < ,∴- <α -β <0, 2 2 π 故 α -β =- . 4 [当 堂 达 标·固 双 基]
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1.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=(

) 【导学号:84352298】

A.

3 2 3 2

1 B. 2 1 D.- 2

C.- B

[∵sin 14°=cos 76°,cos 74°=sin 16°

1 ∴原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°= .] 2 2.若 sin α sin β =1,则 cos(α -β )的值为( A.0 C.±1 B B.1 D.-1 )

[由 sin α sin β =1,得 cos α cos β =0,

cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β =1.] 12 3 3.已知 α 为锐角,β 为第三象限角,且 cos α = ,sin β =- ,则 cos(α -β ) 13 5 的值为( ) 【导学号:84352299】 63 A.- 65 63 C. 65 A 33 B.- 65 33 D. 65

12 5 2 [∵α 为锐角,cos α = ,∴sin α = 1-cos α = , 13 13

3 4 2 ∵β 为第三象限角,sin β =- ,∴cos β =- 1-sin β =- , 5 5 12 ? 4? 5 ? 3? 63 ∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = ×?- ?+ ×?- ?=- .] 13 ? 5? 13 ? 5? 65 4.cos(α -35°)cos(α +25°)+sin(α -35°)sin(α +25°)=________. 1 2 [原式=cos[(α -35°)-(α +25°)]

1 =cos(-60°)=cos 60°= .] 2 4 5 5. 已知 sin α =- , sin β = , 且 180°<α <270°, 90°<β <180°, 求 cos(α 5 13 -β )的值. 【导学号:84352300】

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4 [解] 因为 sin α =- ,180°<α <270°, 5 3 所以 cos α =- . 5 5 因为 sin β = ,90°<β <180°, 13 12 所以 cos β =- , 13 所以 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β

? 3? ? 12? ? 4? 5 =?- ?×?- ?+?- ?× ? 5? ? 13? ? 5? 13
36 20 16 =65-65=65.

二(,针对大)谈心为此大学一的学工作我以寝生理生上室、班问题一之后级特直都是存在殊辅导员段迷等为单的茫期,他位在我重中之们所学生,大以进行了整是因谈心工合程度为作和相对来没有奋们说较低斗的目聊学习,他标,生个人与因活班级并班主兴趣爱没有联任在每好在系起来天的早大家发的纽带自习对言中留,对于他们进意每一学生行了教育个日常活,以往状况最重要的旦发之的学习目现问题教室是标性都及时解一流十分决。在动场明确,谈所,就心过小像个程中我的就是临停也会和升入一靠站一大家分个比较样在享的好高这两学寝中,上,明室生活初是天又讲为了不同地发我较的方上课身边的高。没有故事上中固定让每一去教室就名学一个比在寝较个家,中首先好的人永找到自大学。远是己的可真他让到们和集觉得了,他体之间不们究竟没有联再孤单应该怎系,更。在开么办不要说纽展班级团知道?带了日活动缺由此可、主题少一定以看出会的的奋斗,缺乏过程中目标,一定又让在这个社整同学特殊合使大寝室为心理时期生感单位出我给觉自己节目,他们开没有归通过这了主题属一形式班团会集让每,体责任个寝专感,室在班级讲授职了学生这业生活人向中找规划到自己帮他们往的家归属一起确定自己那份。在大学信念,的奋斗目他们没标。让有一个他们觉统的得原来思想。那个虽然爱唠叨们现在的班主有固定任还在的课室,,是但也只有人管是相对他们稳而。我个已。觉得,大一时期是学四年非常重要的个,也是基础需认真对待的所以在每天固定课室早读、晚修我都非常重视,除找同学谈心外更有点的进行主题教育活动,使大家尽量避免懒散养成良好的个人学习、生活工作惯。所以大一,我主要是从养成教育入手对有针性的大一新生进行养成教育、校情貌安全心理教育、适应性为人处世等。 (三坚持)深入管理“个沟通学家说:”高级和两者,引导的工人思作理念。想低三个深级管入”即者经常到课行为堂、作一深名辅导寝室员,十经常分注重入到学生思班级。“想政治两个沟教育工通”,作主即经常要从以和学生下三方面开展工家长沟通。利用自己住校的便条件,经常深入寝室与学生进行沟通,及时发现在寝室活中出的问题,和各位班委一同解决。定期与学生家长进行电话沟通,将在校各方面情况向家长进行反馈,与一起把小孩教育好使在各方面得到很的发展。 (一作为)班委名专带头,职辅导学生跟员我进清楚的认识到,所带领不仅是普通大学生其中绝部分青年团员,还有党对他们要注重政治意识的培养和提高。在新生入学不久后,他们部分参加了院团课的学习,在第二期系举办团干部培训中又有一分同学参与,通过各种习和培训使班级的凝聚力向心不断增强,使得班委在实际工作中也心应用,不但使每一次活动都开展的好而且在过程

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