2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案:第二章 §7 向量应用举例 Word版含答案

[核心必知] 1.点到直线的距离公式 |Ax0+By0+C| 若 M(x0,y0)是一平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 2.直线的法向量 (1)定义:称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. (2)公式:设直线 l:Ax+By+C=0,取其方向向量 v=(B,-A),则直线 l 的法向量 n=(A, B). 3.向量的应用 向量的应用主要有两方面:一是在几何中的应用;二是在物理中的应用. [问题思考] 1.教材中在证明点到直线的距离公式时,为什么有 d=| ·n0|? 提示: 如图所示,过 M 作 MN⊥l 于 N,则 d=| 在 Rt△MPN 中,| 则| =|| =| |=|| |是 在 |. 方向上的射影的绝对值, |cos∠PMN| |×1×cos∠PMN| |×|n0|×|cos∠PMN|=| ·n0| ∴d=| ·n0|. 2.你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么? 提示:关键是如何将几何问题转化为向量问题,对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解 决. 3.利用向量可以解决哪些物理问题? 提示:利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的 问题等. 讲一讲 1.已知 Rt△ABC,∠C=90°,设 AC=m,BC=n,若 D 为斜边 AB 的中点, 1 (1)求证:CD= AB; 2 (2)若 E 为 CD 的中点,连接 AE 并延长交 BC 于 F,求 AF 的长度(用 m,n 表示). [尝试解答] 以 C 为坐标原点,以边 CB、CA 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐 标系,如图所示,A(0,m),B(n,0), AB =(n,-m). (1)证明:∵D 为 AB 的中点, ∴D( , ), 2 2 ∴| CD = 1 2 n m n2+m2,| AB |= m2+n2, 1 1 ∴| CD |= | AB |,即 CD= AB. 2 2 (2)∵E 为 CD 的中点,所以 E( , ),设 F(x,0),则 4 4 n m AE =( ,- m), AF =(x,-m), 4 ∵A、E、F 共线,∴ AF =λ AE , n 3 4 n 3 解得(x,-m)=λ ( ,- m), 4 4 n ? ?x=4λ , ∴? 3 ? ?-m=-4mλ , 即 x= ,即 F( ,0). AF =( ,-m). 3 3 3 ∴| AF |= 1 3 n n n n2+9m2.即 AF= 1 2 n +9m2. 3 利用向量解决几何中常见问题的基本策略: (1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模; (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量平行; (3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直; (4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题; (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直 线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题. 练一练 1.已知?ABCD 中,AD=1,AB=2,对角线 BD=2,试求对角线 AC 的长. 讲一讲 2.已知过点 A(0,2),且方向向量为 a=(1,k)的直线 l 与圆 C:(x-2) +(y-3) =1 相交 于 M,N 两点,若 O 为坐标原点,且 [尝试解答] 设 M(x1,y1),N(x2,y2). =12,求 k 及直线 l 的方程. 2 2 由题意知,l 的方程为 y=kx+2, 由? ? ? ? ?y=kx+2, x- 2 2 2 + y- 2 =1 得, (1+k )x -(4+2k)x+4=0. 由根与系数的关系得, x1+x2= ∵ 4+2k 4 2 ,x1x2= 2 1+k 1+k =(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y2=12. y1=kx1+2,y2=kx2+2 ∴x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0, 即(1+k )x1x2+2k(x1+x2)-8=0, 4 4+2k 2 ∴(1+k )× 2+2k× 2 -8=0, 1+k 1+k 1 解得 k= , 2 1 ∴直线 l 的方程为 y= x+2,即 x-2y+4=0. 2 2 向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面:一是作为题设条件;二是作为解决问题的工 具使用,充分体现了几何问题代数化的思想,是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转 化为代数运算,其转化途经主要有两种:一是向量平行或垂直的坐标表示;二是向量数量积的公 式和性质. 练一练 1 2 2 2. 过点 M( ,1)的直线 l 与圆 C:(x-1) +y =4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当 2 大时,求直线 l 的方程. 解:可知圆 C 的圆心 C(1,0),半径 r=2 最 ∴ = cos ∠ACB =2×2cos ∠ACB=4cos ∠ACB 当 最大时,∠ACB 最小. 连接 CM,当 AB⊥CM 时,∠ACB 最小 这时直线 l 的法向量为: 1 1 =( ,1)-(1,0)=(- ,1). 2 2 1 1 ∴l 的方向向量为(1, ),∴l 的斜率为 k= 2 2 1 1 故直线 l 的方程为 y-1= (x- ),即 2x-4y+3=0. 2 2 讲一讲 3. 一架飞机从 A 地向北偏西 60°方向飞行 1 000 km 到达 B 地,因大雾无法降落,故转向 C 地飞行,若 C 地在 A 地的南偏西 60°方向,并且 A、C 两地相距 2 000 km,求飞机从 B 地到 C 地 的位移. 1 2 2 =2 000 +1 000 -2×1 000×2 000× 2 =3×10 6 有∠ABD=60°, 于是∠DBC=30°. 所以飞机从 B 地到 C 地的位移的

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