高二数学上期末试题3

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高二数学期末试题
( 2005 年 12 月 ) 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. c ? 0 是方程 ax ? y ? c 表示椭圆或双曲线的
2 2

x2 x2 2 6.若椭圆 ? y ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2,P 是两曲线 m n
的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是 A.4 ( ) B .2 C .1 D. ( )

1 2

7.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF 1 (F 1 为椭圆的左焦 点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为 A. ( C. )

A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件

1 2
2

B.

2 2

3 2

D. 3 ? 1

2.圆 C 切 y 轴于点 M 且过抛物线 y ? x ? 5 x ? 4 与 x 轴的两个交点,O 为原点,则 OM 的长 是 A.4 B. ( )

8.圆心在抛物线 y ? 2 x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2
2 2



5 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. 2 2

D.2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ) 9.当 0 ? k ? A.0

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4
( )

3.与曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为 ( 24 49 36 64
B.

1 时,方程 1 ? x ? k x 的解的个数是 2
B .1
2 2

C .2

D.3

A.

y2 x2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 16 9

2 10.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是

( y y y y



y2 x2 C. ? ?1 9 16
2

x2 y2 D. ? ?1 9 16

x 2 2 2 4.若抛物线 y ? 与圆 x ? y ? 2ax ? a ? 1 ? 0 有且只有三个公共点,则 a 的取值范围是 2
( A. ? 1 ? a ? 1
2

O

x

O

x

O

x

O

x



A 11.下列命题正确的是

B

C

D ( )

B.

17 ? a ?1 18

C. a ?

17 18

D. a ? 1

A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd ) C.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

B.若 a ? b ,则 ac ? bc
2

2

5.抛物线 y ? ?4 x 上有一点 P,P 到椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左顶点的距离的最小值为( 16 15
C. 3 D. 2 ? 3

D.若 a ? b ,则 a ? b ( )

12.直线 l 过点 P(0,2) ,且被圆 x2+y2=4 截得弦长为 2,则 l 的斜率为 A. 2 3
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B.2+ 3

A. ? 3 2

B. ? 3
3

C. ?

2

D. ? 3

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值范围. 二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.

x2 y2 20. (本小题满分 12 分)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等距 a b
离的点,求离心率 e 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知圆 O : x ? y ? 1 和抛物线 y ? x ? 2 上三个不同的点 A、B、C.
2 2 2

14.设圆过双曲线 心的距离为
2

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中 9 16
.
2 2 2

如果直线 AB 和 AC 都与圆 O 相切.求证:直线 BC 也与圆 O 相切. 22. (本小题满分 14 分)A、B、C 是我军三个炮兵阵地,A 在 B 的正东方向相距 6 千米,C 在 B 的北 30°西方向,相距 4 千米,P 为敌炮阵地.某时刻,A 发现敌炮阵地的某信号,由于 B、C 比 A 距 P 更远,因此,4 秒后,B、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒 1 千米).若从 A 炮击敌阵地 P,求炮击的方位角.

15.已知椭圆

x y x y ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )有相同的焦点 F1、F2、P 是两 m n a b
.

曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 等于

16.对于椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 16 9 7 9

①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知圆 c 关于 y 轴对称,经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且被直线 y ? x
2

分成两段弧长之比为 1∶2,求圆 c 的方程. 18. (本小题满分 12 分)已知直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切于点 T,且与双曲线 x ? y ? 1
2 2 2 2

相交于 A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 19. (本小题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取
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期末考试参考答案
一、1.B; 2.D; 3.A; 4.D; 5.A; 6.C; 7.C; 二、13.(0,±3); 14.
2

8.D; 9.D; 16.①②
2

10.A; 11.D; 12.B

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………6 分. 3
?y ? kx? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
2

16 ; 3

15. m ? a ;

得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0
2 2 2

三、17.设圆 C 的方程为 x ? ( y ? a) 2 ? r 2 抛物线 y ? 4 x 的焦点 F(1,0) ?1 ? a ? r
2

2

①………………………………………………4 分

1 又直线 y ? x 分圆的两段弧长之比为 1:2,可知圆心到直线 y ? x 的距离等于半径的 ; 2


由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2

①………………8 分

a 2

?

r 2

? xp ?
? k Ap ?

②………………………………………………8 分
2

xM ? x N 3mk ?? 2 2 3k ? 1
yp ?1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 3mk

从而 y p ? kxp ? m ?

m 3k 2 ? 1

解①、②得 a ? ?1 , r ? 2 故所求圆的方程为

x ? ( y ? 1) ? 2 ……………………12 分
2 2

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

18.直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

?

(k 2 ? 1) y 2 ? 2kay ? a 2 ? 1 ? 0

……………………4 分

而 k ?1 ? 0
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3mk k

即 2m ? 3k ? 1
2
2

②…………………………10 分

,于是 把 ② 代 入 ① 得 2m ? m 解得 0 ? m ? 2 由②得

k2 ?

yT ?

y A ? yB ak ?? 2 2 k ?1

从而 xT ? kyT ? a ? ?

a ak a 即 T( , ) ……6 分 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

2m ? 1 ? 0 解得 3

m?

1 2

.故所求 m 的取范围是( ,2 )……………………………………12 分

1 2

?点 T 在圆上
由圆心 O?(?1,0)

ak 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ? 0 即k2 ? a ? 2 2 2 2 1? k 1? k 1? k
. O?T ? l 得 k O?T ? k l ? ?1 则 k ?0
2



20.设 M ( x0, y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点,且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的距离

或 k ? 2a ? 1

MN 2 ,即 MF2 ? MN ,由双曲线定义可知

MF1 MN

?e

?

MF1 MF2

? e ……5 分

当 k ? 0 时,由①得 a ? ?2,
2

? l 的方程为 x ? ?2 ;
由焦点半径公式得

当 k ? 2a ? 1 时,由①得 a ? 1 K ? ? 3,? l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 .故所求直线 l 的方程为

ex0 ? a ?e ex0 ? a

? x0 ?


a(1 ? e) …………………………7 分 e2 ? e
e 2 ? 2e ? 1 ? 0
解 得 1? 2 ? e ?

x ? ?2 或 x ? ? 3 y ? 1 …………………………12 分
19.(1)依题意可设椭圆方程为

而 x0 ? a

?

a(1 ? e) ?a e2 ? e

2 ?1



x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 2 a
2

e ?1

?1 ? e ? 2 ? 1 ……………………………………12 分
2 2 2

a2 ?1 ? 2 2 2
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?3

解得 a ? 3

x2 ? y2 ? 1. 故所求椭圆的方程为 3

21.设 A(a, a ? 2) , B(b, b ? 2), C (c, c ? 2) 则 AB 的方程为

(a ? b) x ? y ? ab ? 2 ? 0

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BC 的方程为 AC 的方程为

(b ? c) x ? y ? bc ? 2 ? 0 (a ? c) x ? y ? ac ? 2 ? 0 ……………………………………5 分
ab ? 2 (a ? b) ? 1
2

? AB 为圆的切线,有

?1

即 (a ? 1)b ? 2ab ? 3 ? a ? 0
2 2 2

同理

?a

2

? 1 c 2 ? 2ac ? 3 ? a 2 ? 0
2a 1? a2 , bc ?

?

? b 、 c 为方程 (a 2 ? 1) x 2 ? 2ax ? 3 ? a 2 ? 0 的两根,则

b?c ?

3 ? a2 ………………………………………………10 分 a2 ?1

于是圆心到直线 BC 的距离 d ?

bc ? 2 (b ? c) 2 ? 1

?

3 ? a2 ?2 a2 ?1 4a 2 ?1 (1 ? a 2 ) 2

? 1 故 BC 也与圆 O 相切。

…………………………………………12 分. 22 . 以 线 段 AB 的 中 点 为 原 点 , 正 东 方 向 为 x 轴 的 正 方 向 建 立 直 角 坐 标 系 , 则

A(3,0) B(?3,0) C (?5,2 3 ) 依题意

PB ? PA ? 4

? P 在以 A、B 为焦点的双曲线的
( x ? 0) ……6 分

2 右支上.这里 a ? 2 , c ?3 , b ? 5 .其方程为

x2 y2 ? ?1 4 5



PB ? PC

? P 又在线段 AB 的垂直平分线上 x ? 3 y ? 7 ? 0 ………………8 分
? ? x ? 8(负值舍去) ? ? ?y ? 5 3

由方程组 ? 由于 k AP ?

? ?x ? 3 y ? 7 ? 0 2 2 ? ?5 x ? 4 y ? 20

解得

即 P 8,5 3 …………12 分

?

?

3 ,可知 P 在北 30°东方向.………………………………………………14 分

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