1.1.2 余弦定理(教案)

§1.1.2 余弦定理
●教学目标:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解 决两类基本的解三角形问题。 ●教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; ●教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.复习与导入 问题 1:回顾正弦定理及其适用范围。 问题 2:如果已知三角形的两边及其夹角,能用正弦定理解三角形吗? 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c b a C

Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决问题 2? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则

A

c (图 1.1-4)

B

A

? b

? c

? ? ? ? ? ? c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? ? b ?? a?? b 2 ? 2 b2 ? a ? b ? 2a ? b

?2

?

??

?
C

? a

B

从而 同理可证

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

(图 1.1-5)

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦 的积的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三 边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac

cosC ?

b2 ? a 2 ? c 2 2ba

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三 边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC ? 0 ,这时

c2 ? a2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析] 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2? 2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) = 8 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A ? ∴ b ? 2 2.

b 2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ? ( 6 ? 2)

∴ A? 600.

a 2 3 解法二:∵sin A ? sin B ? ?sin450 , 又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ?3.8, 2 3 < 2?1.8?3.6, b 2 2
∴ a < c ,即 00 < A < 900, ∴ A? 600.

评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ?87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 (见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 解:由余弦定理的推论得:cos A ? cos B ?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7
B ?32053? ;

A?56020? ;

c2 ? a 2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?)
变式训练: 1、在△ ABC 中:?

(1)已知 c=8,b=3,b=60° A;? ,求 (2)已知 a=20,bB=29,c=21,求 B;? (3)已知 a=33,c=2,b=150° B;? ,求 (4)已知 a=2,b=2,c=3+1,求 A.? 解: (1)由 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=82+32-2× 3cos60° 8× =49.∴A=7.? (2)由 cos B ?

c2 ? a2 ? b2 20 2 ? 212 ? 29 2 ,得 cos B ? .? ? 0 .∴B=90° 2ca 2 ? 20 ? 21

(3)由 b2=c2+a2-2cacosB,得 b2=(33)2+22-2× 2cos150° 33× =49.∴b=7.?

( 2 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 2 b2 ? c2 ? a2 ? (4)由 cos A ? ,得 cos A ? .∴A=45° .? 2 2bc 2 2 ( 3 ? 1)
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效 率.?

2、在△ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C.(精确到 1° )? 分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式 二.? 解:∵ cos A ? ∴A≈44°.? ∵cosC=

b 2 ? c 2 ? a 2 10 2 ? 6 2 ? 7 2 ? ? 0.725 ,? 2bc 2 ?10 ? 6

a 2 ? b 2 ? c 2 7 2 ? 10 2 ? 6 2 113 ? ? ≈0.807 1,? 2ab 2 ? 7 ?10 140

∴C≈36°.? ∴B=180° -(A+C)=180° -(44° +36° )=100° .?

[备用练习]在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A(答案:A=120 0 )

Ⅳ.课时小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。

Ⅴ.课后作业 ①课后阅读:课本第 8-9 页[探究与发现] ②课时作业: 1 在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 为;若 a2=b2+c2,则△ABC 为
王新敞
奎屯 新疆

;若 a2

<b2+c2 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为 2.在△ABC 中,已知 a=31,b=42,c=27,解三角形(角度精确到 1° ).? 解:由 cos A ? 由 cos B ?

b2 ? c2 ? a2 42 2 ? 27 2 ? 312 ,得 cos A ? ≈0.675 5,∴A≈48°.? 2bc 2 ? 42 ? 27

c 2 ? a 2 ? b 2 312 ? 27 2 ? 42 2 ≈-0.044 2,∴B≈93°.? ? 2ca 2 ? 31 ? 27

∴C=180° -(A+B)=180° -(48°+93°)≈39°.? 3.在△ABC 中,已知 a=49cm,b=26cm,C=107°,解三角形(角度精确到 1° ,边长精确到 1cm).


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