2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习:第4章 1.1、1.2 定积分的概念 活页作业15 Word版含解析

活页作业(十五) 定积分的概念 1.对于由直线 x=1,y=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,把区间 3 等分,则曲边梯 形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( 1 A. 9 1 C. 27 ) 1 B. 25 D. 1 30 1? ?1 2? ?2 ? 3 1 解析:将区间[0,1]三等分为? ?0,3?,?3,3?,?3,1?,各小矩形的面积和为 s1=0 ×3+ ?1?3×1+?2?3×1= 9 =1. ?3? 3 ?3? 3 81 9 答案:A 2.当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间? 代替( ) 2? B.f? ?n? D.f(0) i-1 i ? ?i? ? n ,n?上的值均可以用 f?n?近似代替. i-1 i ? ? n ,n?上的值,可以用下列中的哪一项来近似 1? A.f? ?n? i? C.f? ?n? 解析:任一函数在? 答案:C 3.下列等式成立的是( A.? ?a0dx=b-a b 1 B.? ?axdx=2 b ) C.? ?0|x|dx ?-1|x|dx=2? D.? ?a(x+1)dx=? ?axdx 解析:? ?0|x|dx ?-1|x|dx=? ?-1|x|dx+? =? ?0xdx ?-1(-x)dx+? =? ?0xdx+? ?0xdx =2? ?0xdx=2? ?0|x|dx. 1 1 1 1 0 1 1 0 1 b b 1 1 答案:C 6 4.已知定积分∫6 0f(x)dx=8,且 f(x)为偶函数,则? -6f(x)dx 等于( ? ) A.0 C.12 B.16 D.8 6 解析:偶函数的图像关于 y 轴对称,故∫6 -6f(x)dx=2∫0f(x)dx=16. 答案:B 1 ?x2?x≥0?, ? 5.设 f(x)=? x 则? ?-1f(x)dx 的值是( ?2 ?x<0?, ? ) 1 A.? ?-1x2dx C.? ?02xdx ?-1x2dx+? 0 1 1 B.? ?-12xdx D.? ?0x2dx ?-12xdx+? 0 1 解析: 由定积分的性质 4 求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分, 可以通过求 f(x)在区间[-1,0] 与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确. 答案:D 6.已知? ?af(x)dx=6,则? ?a6f(x)dx=________. 解析:? ?a6f(x)dx=6? ?af(x)dx=6×6=36. 答案:36 7.用定积分表示下列各图中阴影部分的面积(不要求计算): (1)图(1)中 S1=________; (2)图(2)中 S2=________; (3)图(3)中 S3=________. b b b b 2 2 x ππ 答案:(1)∫ 3sin xdx (2)? ?-4 2 dx 9 1 (3)-? ?4(-x2)dx 8.计算:? ?0(2x-4)dx=________. 解析:如右图,由 y=2x-4 可得 A(0,-4),B(6,8). 6 1 则 S△AOM= ×2×4=4, 2 1 S△BCM= ×4×8=16. 2 ∴? ?0(2x-4)dx=16-4=12. 答案:12 x?x∈[0,2??, ? ?4-x?x∈[2,3??, 9.已知 f(x)=? x - ?x∈[3,5]?, ?5 ? 2 2 6 求 f(x)在区间[0,5]上的定积分. 2 1 解:如右图,由定积分的几何意义,得? ?0xdx=2×2×2=2, 1 3 ? ?2(4-x)dx=2×(1+2)×1=2, 5 x? 1 ? ?3? ?2-2?dx=2×2×1=1. 5 2 3 5 5 x? 3 9 ∴? ?0f(x)dx=? ?0xdx+? ?2(4-x)dx+? ?3? ?2-2?dx=2+2+1=2. 5 3 10.利用定积分的几何意义计算? ?0(2x+1)dx. 1 解:如右图,所求定积分为阴影部分的面积,其面积为 ×(1+5)×2=6. 2 2 故? ?0(2x+1)dx=6. 2 11.如下图,由曲线 y=x2-1 和 x 轴围成图形的面积等于 S. 给出下列结果: ①? ?0(x2-1)dx;④2? ?-1(x2-1)dx;②? ?-1(1-x2)dx;③2? ?-1(1-x2)dx.则 S 等于( A.①③ C.②③ 解析:? ?-1(1-x2)dx=2? ?-1(1-x2)dx 答案:D π 12. 若∫20cos xdx=1, 则由 x=0, x=π, f(x)=sin x 及 x 轴围成的图形的面积为________. 解析:由正弦函数与余弦函数的图像,知 f(x)=sin x,x∈[0,π]的图像与 x 轴围成的图 π? 形的面积等于 g(x)=cos x,x∈? ?0,2?的图像与 x 轴围成的图形的面积的 2 倍.所以答案应 为 2. 答案:2 1 13.在等分区间的情况下,写出 f(x)= (x∈[0,1])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式 1+x2 的极限形式为___________. 解析:将区间[0,1]等分成 n 份,形成 n 个小区间[xi-1,xi]=? i-1 i ? ? n ,n?(i=1,2,…,n), 1 0 1 1 1 0 ) B.③④ D.②④ i-1 i ? 1 且每个小区间的长度为 Δxi= (i=1,2,…,n),在区间? n ? n ,n?(i=1,2,…,n)上取一点 ξi 1 1 n n ? i ·? i = (i=1,2,…,n),则 ?f(ξi)Δxi= ? ? ? ?2 n?. n i=1 i=1 ?1+?n? ? 1? ? 1 · i ∴和式的极限形式为 lim ? ? ? ?2 n?. n→+∞=1 1+ ? ?n? ? n 1? ? 1 · i 答案: lim ? ? ? ?2 n? n→+∞=1 1+ ? ?n? ? n

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