高中数学第二章平面向量2.2.1平面向量基本定理课件新人教b必修4_图文

向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理

预习课本 P96~98,思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么?

(2)如何定义平面向量基底?

(3)直线的向量参数方程式是什么?

[新知初探]
1.平面向量基本定理 (1)定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行 的向量,那么该平 面内的 任一向量 a,存在唯一的 一对实数 a1,a2,使 a=a1e1 +a2e2. (2)基底 把 不共线 向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2} 的分解式.

[点睛]

对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:

①e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量; ②该平面内任意 向量 a 都可以用 e1,e2 线性表示,且这种表示是唯一的; ③基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可 作为基底.

2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上的任意两点,O 是 l 外一点(如图所示), 则对于直线 l 上任意一点 P, 存在 唯一 实数 t,使 OP = (1-t) OA+tOB; 反之, 对每一个实数 t, 在直线 l 上都有 唯一 的 一个点 P 与之对应.向量等式 OP =(1-t) OA+tOB 叫做直线 l 1 的向量参数方程式, 其中实数 t 叫做参变数, 简称 参数 . 当 t= 时, 2 1

( +t ) 此时 P 点为线段 AB 的 中点 , 这是线段 AB OP =_____________ 2 OA OB ,
[点睛] 直线的向量参数方程式中,其 OA, OB 的系数和为 1.

中点的向量表达式.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底. ( )

(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内 所有向量的基底. (3)零向量不可以作为基底中的向量.
答案:(1)× (2)√ (3)√

( (

) )

2.如图,向量 e1,e2,a 的起点与终点 均在正方形网格的格点上,则向量 a 用基底 e1,e2 表示为 A.e1+e2 C.2e1-e2 ( ) B.-2e1+e2 D.2e1+e2

答案:B

3.设 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量 中不能作为基底的是 A.e1,e2 C.e1,5e2 ( )

B.e1+e2,3e1+3e2 D.e1,e1+e2

答案:B

4. 设 e1, e2 为两个不共线的向量, 若点 O 是?ABCD 的中心,

AB =4e1, BC =6e2,则 3e2-2e1=________.

1 解析:3e2-2e1= (6e2-4e1) 2 1 1 = ( BC - AB )= ( AD - AB ) 2 2 1 = BD = BO . 2 答案: BO (答案不唯一)

用基底表示向量
[典例] 如图,在平行四边形 ABCD 中, 设对角线 AC =a,BD =b,试用基底 a,b 表示

AB , BC .
1 1 1 1 [解] 法一:由题意知, AO = OC = AC = a,BO =OD = BD = b. 2 2 2 2 1 1 所以 AB = AO + OB = AO - BO = a- b, 2 2 1 1 BC = BO + OC =2a+2b,

法二:设 AB =x, BC =y,则 AD = BC =y,
? ? AB + BC = AC , 又? ? ? AD - AB = BD , ? ?x+y=a, 则? ? ?y-x=b,

1 1 1 1 所以 x= a- b,y= a+ b, 2 2 2 2 1 1 1 1 即 AB = a- b, BC = a+ b. 2 2 2 2

用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方 法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量 方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.

[活学活用]

如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 分别是 AD,BC 边上的中点,且 BC=3AD,

BA =a, BC =b.试以 a,b 为基底表示 EF , DF , CD . 1 解:∵AD∥BC,且 AD= BC, 3
1 1 ∴ AD = BC = b. 3 3 ∵E 为 AD 的中点, 1 1 ∴ AE = ED = AD = b. 2 6

1 ∵ BF = BC , 2 1 ∴ BF = b, 2 ∴ EF = BA + AB + BF 1 1 1 =- b-a+ b= b-a, 6 2 3 1 1 1 DF = DE + EF =-6b+3b-a=6b-a,

CD = CF + FD =-( DF + FC )
?1 1 ? =-( DF + BF )=-?6b-a+2b? ? ?

2 =a- b. 3

直线的向量参数方程式的应用
[典例] 已知平面内两定点 A, B, 对该平面内任一动点 C,

总有 OC =3λOA+(1-3λ) OB (λ∈R,点 O 为直线 AB 外的一 点),则点 C 的轨迹是什么图形?简单说明理由.

[解]

法一:3λ+(1-3λ)=1 且 λ∈R,结合直线的向

量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB. 法二:将已知向量等式两边同时减去 OA,得

OC - OA=(3λ-1) OA+(1-3λ) OB
=(1-3λ)( OB - OA) =(1-3λ) AB , 即 AC =(1-3λ) AB ,λ∈R, ∴A,B,C 三点共线,即点 C 的轨迹是直线 AB.

直线的向量参数方程式的两方面应用 (1)若 A,B,C 三点共线,则有 OC =xOA+yOB ,且 x+y=1; (2)若 OC =xOA+y OB ,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线.

[活学活用]
1 在△ABC 中, D 为 AB 上一点, 若 AD =2 DB ,CD = CA+λCB , 3 则 λ=________.
解析:法一:∵ AD =2 DB , 2 2 ∴ AD = AB = ( CB - CA). 3 3 2 1 2 ∵在△ACD 中, CD = CA+ AD = CA+ ( CB - CA)= CA+ CB , 3 3 3

2 ∴λ= . 3 法二:∵ AD =2 DB ,∴A,B,D 三点共线, 1 2 又∵C 在直线 AB 外,则 +λ=1,∴λ= . 3 3 2 答案: 3

平面向量基本定理的应用
[典例] 如图,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 与 BP∶PN.

[解]

设 BM =e1, CN =e2,

则 AM = AC + CM =-3e2-e1, BN = BC + CN =2e1+e2. ∵A,P,M 和 B,P,N 分别共线, ∴存在实数 λ,μ 使得 AP =λ AM

=-λe1-3λe2,

BP =μ BN =2μe1+μe2.
故 BA = BP + PA= BP - AP =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而 BA = BC + CA=2e1+3e2,由平面向量基本定理,
? ?λ+2μ=2, 得? ? ?3λ+μ=3,

? 4 ?λ=5, 解得? ?μ=3. 5 ? 4 3 ∴ AP = AM , BP = BN , 5 5 ∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.

[一题多变] 1.[变设问]在本例条件下,若 CM =a, CN =b,试用 a,b 表示 CP ,
2 解:由本例解析知 BP∶PN=3∶2,则 NP = NB , 5 2 2 CP = CN + NP = CN +5 NB =b+5(―CB - CN ) 4 2 3 4 =b+ a- b= b+ a. 5 5 5 5

2.[变条件]若本例中的点 N 为 AC 的中点,其它条件不变, 求 AP∶PM 与 BP∶PN.
解: 如图,设 BM =e1, CN =e2, 则 AM = AC + CM =- 2e2 - e1 , BN =

BC + CN =2e1+e2.
∵A,P,M 和 B,P,N 分别共线, ∴存在实数 λ,μ 使得 AP =λ AM =-λe1-2λe2,

BP =μ BN =2μe1+μe2.

故 BA = BP + PA= BP - AP =(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2. 而 BA = BC + CA=2e1+2e2,由平面向量基本定理,
? ?λ+2μ=2, 得? ? ?2λ+μ=2,

? 2 ?λ=3, 解得? ?μ=2. 3 ? 2 2 ∴ AP = AM , BP = BN , 3 3 ∴AP∶PM=2,BP∶PN=2.

若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量 并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条 件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量( 一般 需建立两个不同的向量表达式), 再根据待定系数法确定系 数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.


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