2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用:第一讲 一 平行线等分线段定理 Word版含解析

一 平行线等分线段定理 [对应学生用书 P1] 1.平行线等分线段定理 (1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相 等. (2)用符号语言表述:已知 a∥b∥c,直线 m、n 分别与 a、b、c 交于 点 A、 B、 C 和 A′、 B′、 C′(如图), 如果 AB=BC, 那么 A′B′=B′C′. [说明] (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线;它是由三条 或三条以上的平行线组成的. (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等. 2.平行线等分线段定理的推论 文字语言 推 论 1 经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必 平分第三边 图形语言 符号语言 在△ABC 中,若 AB′= B′B, B′C′平行于 BC 交 AC 于点 C′, 则 AC′ =C′C 在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,若 AE=EB,EF 平 行于 BC 交 DC 于 F 点, 则 DF=FC 推 论 2 经过梯形一腰的中点, 且 与底边平行的直线平分 另一腰 [对应学生用书 P1] 平行线等分线段定理 [例 1] 已知如图,直线 l1∥l2∥l3∥l4,l,l′分别交 l1,l2,l3, l4 于 A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,AB=BC=CD. 求证:A1B1=B1C1=C1D1. [思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可. [证明] ∵直线 l1∥l2∥l3,且 AB=BC, ∴A1B1=B1C1. ∵直线 l2∥l3∥l4 且 BC=CD, ∴B1C1=C1D1, ∴A1B1=B1C1=C1D1. 平行线等分线段定理的应用非常广泛,在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对 应,分析存在相等关系的线段,并会运用相等线段来进行相关的计算与证明. 1.已知:如图,l1∥l2∥l3,那么下列结论中错误的是( A.由 AB=BC 可得 FG=GH B.由 AB=BC 可得 OB=OG C.由 CE=2CD 可得 CA=2BC 1 D.由 GH= FH 可得 CD=DE 2 解析:OB、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段. 答案:B 2.如图,已知线段 AB,求作线段 AB 的五等分点. ) 作法:如图,(1)作射线 AC; (2)在射线 AC 上依任意长顺次截取 AD=DE=EF=FG=GH; (3)连接 HB; (4)过点 G,F,E,D 分别作 HB 的平行线 GA1,FA2,EA3,DA4, 分别交 AB 于点 A1,A2,A3,A4. 则 A1,A2,A3,A4 就是所求的五等分点. 证明:过点 A 作 MN∥HB, 则 MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB. 又 AD=DE=EF=FG=GH, ∴AA4=A4A3=A3A2=A2A1=A1B(平行线等分线段定理). 平行线等分线段定理推论 1 的运用 [例 2] 如图,在△ABC 中,AD,BF 为中线,AD,BF 交于 G,CE∥FB 交 AD 的延 长线于 E. 求证:AG=2DE. AF=FC, [思路点拨] GF∥EC → AG=GE → △BDG≌△CDE → AG=2DE [证明] 在△AEC 中, ∵AF=FC,GF∥EC, ∴AG=GE. ∵CE∥FB, ∴∠GBD=∠ECD,∠BGD=∠E. 又 BD=DC, ∴△BDG≌△CDE. 故 DG=DE,即 GE=2DE, 因此 AG=2DE. 此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论 1 的运用, 寻找便于证明三角形中线段相 等或平行的条件,再结合三角形全等或相似的知识,达到求解的结果. 3.如图,在?ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O,OE 平行于 AB 交 BC 于 E,AD=6,求 BE 的长. 解:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 OA=OC,BC=AD. 又因为 AB∥DC,OE∥AB, 所以 DC∥OE∥AB. 又因为 AD=6, 1 1 所以 BE=EC= BC= AD=3. 2 2 4.已知:AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,BE 的延长线交 AC 于点 F. 1 求证:AF= AC. 3 证明:如图,过 D 作 DG∥BF 交 AC 于 G. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点, DG∥BF, ∴G 为 CF 的中点.即 CG=GF. 在△ADG 中,E 是 AD 的中点,EF∥DG, ∴F 是 AG 的中点.即 AF=FG. 1 ∴AF= AC. 3 平行线等分线段定理推论 2 的运用 [例 3] 已知,如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,M 是 CD 的中点,求证: AM=BM. [思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论 2 的应用条件. [证明] 过点 M 作 ME∥BC 交 AB 于点 E, ∵AD∥BC, ∴AD∥EM∥BC. 又∵M 是 CD 的中点, ∴E 是 AB 的中点. ∵∠ABC=90° , ∴ME 垂直平分 AB. ∴AM=BM. 有梯形且存在线段中点时, 常过该点作平行线, 构造平行线等分线段定理的推论 2 的基 本图形,进而进行几何证明或计算. 5.若将本例中“M 是 CD 的中点”与“AM=BM”互换,那么结论是否成立?若成立, 请给予证明. 解:结论成立.证明如下: 过点 M 作 ME⊥AB 于点 E, ∵AD∥BC,∠ABC=90° , ∴AD⊥AB,BC⊥AB. ∵ME⊥AB,∴ME∥BC∥AD. ∵AM=BM,且 ME⊥AB, ∴E 为 AB 的中点,∴M 为 CD 的中点. 6.已知:如图,?ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,过点 A,B,C,D,O 分别作直 线 a 的垂线,垂足分别为 A′,B′,C′,D′,O′; 求证:A′D′=B′C′. 证明:∵?ABCD 的对角线 AC,BD 交于 O 点, ∴OA=OC,

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